2026年中考数学二轮专题复习：规律探究问题 课件

专题五 规律探究 【中考二轮复习专题】 专题 规律探究问题 01 考前概览 02 方法点拨 03 重点题型 典例精讲.通性通法. 变式训练 目录 图片替换区 规律探索类问题的特征是给出若干个按照一定顺序排列的具有某种特定变化规律的数、式或图形，要求解题者通过观察、分析、归纳和猜想等一系列活动找出蕴藏于其间的一般性规律.这类较为新颖的探索型问题不仅可以锻炼学生的逻辑推理能力，培养创新意识和创新能力，而且还具有较强的综合性和较高的区分度，因此成为近年各地中考数学中的一个考查热点. 考前概览 3 1.将从具体数、式、图形或坐标中发现的规律进行归纳，用数学语言或符号表示出来，得出一般性的结论. 2.将得出的规律代入更多的例子中进行验证，确保规律的正确性和普遍性. 3.当遇到新的规律探究问题时，可联想已解决过的类似问题，尝试用类似的方法去探究. 总之，解决规律探究性问题需要仔细观察、大胆猜想、认真验证，通过多种方法的综合运用，找出问题中的规律. 方法点拨 例1 将全体正偶数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第10行第5个数是（    ） A．98 B．100 C．102 D．104 类型一 数字变化类规律问题 点拨：观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解． 解：观察数字的变化可知：第n行有n个偶数，因为第1行的第1个数是： ；第2行的第1个数是： ；第3行的第1个数是： ；…所以第n行的第1个数是： ，所以第10行 第1个数是： ，所以第10行第5个数是： ． B 重点题型 总结：这类规律题通常呈现出一列按照某种特定的递进变化规律排列的数字，要求变化的一般规律.解决这类题目的关键在于根据前若干项已知量(若没直接给出则需根据题目的信息求出来)的变化部分找出与它们对应的排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律. 类型一 数字变化类规律问题 重点题型 变式 按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ……按此规律排列，则第30个数是 _____． 解：∵ ， ， ， …， ∴第n个数是 ， 当n＝30时 ， . 类型一 数字变化类规律问题 重点题型 例2 观察下列等式： ， ， ， ， ， ，…根据其中的规律可得 的结果的个 位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 点拨:观察等式，发现尾数分别为：1，7，9，3，1，7，9，3，...，每4个数一组进行循环，所以2023÷4=505......3，进而可求. 类型一 数字变化类规律问题 重点题型 例2 观察下列等式： ， ， ， ， ， ，…根据其中的规律可得 的结果的个 位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 类型一 数字变化类规律问题 解:观察等式，发现尾数分别为：1，7，9，3，1，7，9，3，...，每4个数一组进行循环，所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，所以2023÷4=505......3，而 ,可得 所以 的结果的个位数字是7. C 重点题型 总结：这类题目中有着一列存在着循环规律排列的数字.计算并观察题目规律中前若干项的结果，当发现这些数字存在循环规律时，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数是解决此类问题的关键. 类型一 数字变化类规律问题 重点题型 变式：下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…通过观察，用你所发现的规律，22024的结果的个位数字是(    ) A．2 B．4 C．8 D．6 解：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，… 根据上述等式，得到结果的个位数字以四个数(2，4，8，6)依次循环， ∵2024÷4＝506， ∴22024的个位数字是6． 故选：D． D 类型一 数字变化类规律问题 重点题型 例3 观察下面的等式： ， ， ，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示， n为正整数). (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 点拨：（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…， 另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1； 从而可得出第（n+1）个式子. . 类型二 算式变化类规律问题 重点题型 解：（1）∵第一个式子 ， 第二个式子 ， 第三个式子 ，…… ∴第n个式子 例3 观察下面的等式： ， ， ，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示， n为正整数). (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 类型二 算式变化类规律问题 重点题型 例3 观察下面的等式： ， ， ，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示， n为正整数). (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 类型二 算式变化类规律问题 点拨：由（1）的规律发现第n个式子，用分式的加法计算式 子右边即可证明． 解：∵右边= =左边 ∴ 重点题型 变式：观察以下等式： 第1个等式： ，第2个等式： ， 第3个等式： ，第4个等式： ， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 类型二 算式变化类规律问题 重点题型 (1)写出第5个等式：________； 解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为： 类型二 算式变化类规律问题 重点题型 (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 解：第n个等式为 . 证明如下：等式左边： ， 等式右边： ， 故等式 成立． 类型二 算式变化类规律问题 重点题型 总结：这类规律题通常呈现出一列按照某种特定的递进变化规律排列的等式或代数式等，要求变化的一般规律.解决这类题目的关键在于根据前若干项已知量(若没直接给出则需根据题目的信息求出来)的变化部分找出与它们对应的排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律. 类型二 算式变化类规律问题 重点题型 类型三 图形变化类规律问题 例4 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ） A．32 B．34 C．37 D．41 ① ② ③ ④ ... 重点题型 点拨：第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2； 第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．． 第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1； 当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37． 故选：C． 类型三 图形变化类规律问题 重点题型 变式：把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（    ）   A．12 B．14 C．16 D．18 类型三 图形变化类规律问题 ... ① ② ③ 重点题型 点拨：观察发现每一个图形比前一个图形多2个黑色圆点，利用此规律求解即可． 解：第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有4+2×1=6个黑色三角形，第③个图案中有4+2×2=8个黑色三角形，…， 按此规律排列下去， 则第n个图案中黑色三角形的个数为4+2×(n-1)=2n+2， ∴第⑦个图案中黑色三角形的个数为2×7+2=16， 故选：C． 类型三 图形变化类规律问题 重点题型 例5 如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为_____． 点拨：利用勾股定理可求得AC的长，根据面积比等于相似比的平方可得矩形AB1C1C的面积，同理可求出矩形AB2C2C1、AB3C3C2，……的面积，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积，继而即可求得矩形AB4C4C3的面积． 类型三 图形变化类规律问题 重点题型 解：∵在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，∴AC= ∵矩形ABCD与矩形AB1C1C相似，∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的相似比为 ，∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的面积比为. ∵矩形ABCD的面积为1×2=2，∴矩形AB1C1C的面积为， 同理：矩形AB2C2C1的面积为 ， 矩形AB3C3C2的面积为 ，...， ∴矩形ABnCnCn-1面积为 .∴矩形AB4C4C3的面积为 . 类型三 图形变化类规律问题 重点题型 总结：观察给定图形的摆放特点或变化规律，猜想下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用含字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等的规律特点． 类型三 图形变化类规律问题 重点题型 变式：如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长2025次后得到的△A2025B2025C2025的面积为_____． 类型三 图形变化类规律问题 重点题型 解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等， △A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、 △A1BC1、△ABC的面积都相等， 所以，＝7S△ABC， 同理＝72S△ABC， 依此类推，△A2025B2025C2025的面积为＝72025S△ABC， ∵△ABC的面积为1，∴△A2025B2025C2025的面积为72025. 类型三 图形变化类规律问题 重点题型 类型四 坐标变化类规律问题 例6 如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（0,1）运动到点（1,0），第二次运动到点（2，-2），第3次运动到点(3,0),...,按这样的运动规律，动点P第2025次运动到的点的坐标是_______. 点拨：根据图形分析点P的运动规律：第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次为一个循环，即可得到答案． y 重点题型 解：第1次运动到点（1,0）， 第二次运动到点（2，-2）， 第3次运动到点(3,0),... ∴第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次一个循环， 从第一次运动到的纵坐标开始，分别为0、-2、0、1、 ∵2025÷4=506......1 ∴动点第2025次运动到的点的坐标是（2025,0). 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 总结：对于坐标系内点的坐标规律，先根据已知点的横纵坐标推出横纵坐标的一般规律，再根据此规律解决特殊点的坐标. 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 变式：育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2，……第n次移动到点An，则 的面积是（ ） A．1009 B． C．505 D． 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 解：由题意得：点A1的坐标为A1(0,1),点A5的坐标为A5(2,1),点A9的坐标为A9(4,1),点A13的坐标为A13(6,1), 归纳类推得：点A4n-3的坐标为A4n-3(2n-2,1),其中n为正整数， 因为2021=4×506-3， 所以点A2021的坐标为A2021(2×506-2,1),即A2021(1010,1), 又因为A2(1,1), 所以A2A2021=1010-1=1009，且 的 边上的高为1， 则 的面积为 . 故选：D． 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 例7 如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2024B2024C2024，则点B2025的坐标为______． 点拨：根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形O A1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1）； 连接OB，由勾股定理得：OB= ， 由旋转得：OB= OB1= OB2=OB3=…=； ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到 正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°， ∴B1（0，），B2（-1，1），B3（-，0），B4（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2025÷8=253…1， ∴点B2025的坐标为（0，）． 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 总结：这类规律题通常要求某个连续变化的图形中某点的坐标，在某点的变化过程中对应坐标的数字存在着循环变化的规律.解题的重点在于仔细观察图形变化的特点，计算和分析某点变化中横坐标或纵坐标的规律，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数，进而得出要求的坐标。 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 变式：如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3....都在x轴上，点B1，B2，B3都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3....都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2025的坐标是______. 点拨：根据OA1=1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3....都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B2025的坐标． 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为（1，0）， ∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1（1，1）， ∵△B1A1A2是等腰直角三角形， ∴A1A2=1，B1A2= 同理：∵△B2B1A2为等腰直角三角形， ∴A2A3=2，∴B2（2，2）， 依次可得，B3（22,22），B4（23,23），...，Bn（2n-1,2n-1） 所以B2025(22024，22024). 类型四 坐标变化类规律问题 重点题型 $