精品解析：安徽省合肥市望湖中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

2025-2026学年第二学期期中教学质量检测 七年级数学试题卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每一小题都给出了A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代号填在题后的括号内． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.1415926 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断各选项即可得出答案． 【详解】解：选项A：是分数，属于有理数； 选项B：，是整数，属于有理数； 选项C：是有限小数，属于有理数； 选项D：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 4是16的算术平方根 B. 是的一个平方根 C. 的平方根为 D. 0的立方根是0 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义，逐一判断各选项，即可得到错误说法． 【详解】解：A选项：且，故4是16的算术平方根，A说法正确； B选项：，故是的一个平方根，B说法正确； C选项：，正数有两个平方根，25的平方根是，不是只有，C说法错误； D选项：，故0的立方根是0，D说法正确． 3. 据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒，数据0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示规则即可求解． 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意． 5. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：、∵， ∴，该选项不等式正确，符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意． 6. 下列不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式求出的取值范围，再根据“小于向左，大于向右，有等号画实心点，无等号画空心圈”的原则在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式，解得， 在数轴上表示为：实心点在2处，方向向左，如图所示： 8. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（ ） A. 5张 B. 6张 C. 7张 D. 8张 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方形面积公式计算拼成的大长方形面积，展开后项的系数即为所需类卡片的张数． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为：  ， ∵类卡片是长为、宽为的长方形，其面积为， ∴需要类卡片的张数为张． 9. 已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，代入得出，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A. 19 B. 28 C. 77 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】设甲正方形纸片的边长为a，乙正方形纸片的边长为b．根据题意得a+b=8，，再根据完全平方公式求出，再结合图1用甲，乙两个正方形面积减去△DAH和△HEF的面积，并代入计算即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设甲正方形纸片的边长为a，乙正方形纸片的边长为b． ∴AD=AB=a，BE=FE=b，甲正方形的面积S甲=a2，乙正方形的面积S乙=b2． ∵甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6， ∴a+b=8，AE=AB+BE=8，． ∴． ∴． ∴． ∵点H为AE的中点， ∴AH=HE=4． ∴，． ∴S阴=S甲+S乙． 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，三角形面积公式，正方形面积公式，正确对完全平方公式进行等价变形是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 12. 在建筑美学中，黄金比例被广泛应用于营造和谐的视觉效果．比较大小：___________（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13. 若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：解不等式 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵不等式组的解集是， ∴． 14. 在某珠宝店的宝石展览中，展示了许多精美的宝石，这些宝石被放置在三位数字编号的展柜中．如果一个展柜编号是一个三位正整数，且满足百位上的数字小于个位上的数字，同时百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么就称这个编号为“宝石和谐号”编号． （1）最小的“宝石和谐号”编号是___________； （2）对于“宝石和谐号”编号，用的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为．珠宝店举办活动，若是“宝石和谐号”编号，且的4倍与的十位数字的2倍之和是5的倍数，那么的最大值为___________． 【答案】 ①. 132 ②. 【解析】 【分析】（1）首先要保证百位数字最小，则百位数字为1，其次要保证十位数字最小，根据题意可得当个位上的数字最小时，十位上的数字也最小，据此可得答案； （2）设t的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则，，求出，则可推出是5的倍数，求出，且，讨论的值，求出对应的a、c的值，再求出的值，比较即可得到答案． 【详解】解：（1）∵要使m最小， ∴首先要保证百位数字最小， ∴百位数字为1， 其次要保证十位上的数字最小， ∵百位上的数字小于个位上的数字，同时百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字， ∴当个位上的数字最小时，十位上的数字也最小， ∴个位数字为2， ∴十位数字为， ∴最小的“宝石和谐号”编号是132； （2）设t的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴， ∴ ； ， ∵的4倍与的十位数字的2倍之和是5的倍数，且是5的倍数， ∴是5的倍数， ∵，, ∴，， 当时，，此时,符合题意，则； 当时，若，此时,符合题意，则， 若，此时,符合题意，则， 若，此时,符合题意，则； 当时，若，此时，不符合题意； 若，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； ∵， ∴的最大值为，即的最大值为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂、算术平方根、立方根的运算，分别计算各项后合并即可得到结果． 【详解】解：． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共解集即可得答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式化简是解答本题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式化简，然后再代入求解即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式 18. 求不等式的正整数解． 【答案】x取1，2，3 【解析】 【分析】解不等式求出解集，即可确定正整数解． 【详解】解： 整理得， 解得 ∴正整数解为1，2，3． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列关于自然数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第5个等式：___________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并说明其正确性． 【答案】（1） （2） 猜想的第个等式为， 证明：左边 ， 右边， ∴左边右边，第个等式成立． 【解析】 【分析】（1）根据前个等式的特点，写出第个等式即可； （2）根据前个等式的特点，猜想第个等式，再利用完全平方公式证明即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式为． 【小问2详解】 略 20. 已知的算术平方根是的立方根是1． （1）求和的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列方程求解即可； （2）根据（1）所求，求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是的立方根是1， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴的平方根为． 六、（本题满分12分） 21. 为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． （1）最多能租用型客车多少辆？ （2）若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】（1）最多能租用A型客车12辆． （2）所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 【解析】 【分析】（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元建立不等式求解即可； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元，总载客量不低于600建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为12， 答：最多能租用A型客车12辆； 【小问2详解】 解：设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为10或11或12， 当时，， 当时，， 当时，， 所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆； ∵一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金多， ∴当A型客车数量最少时，最省钱， ∴租用A型客车10辆，B型客车3辆最省钱； 答：所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 七、（本题满分12分） 22. 学校2026年科技节设置了“数智闯关”趣味赛事，赛事规则如下：对于给定的正整数，用符号表示不大于的最大整数，称为该数的“闯关步进值”；每次闯关都将当前持有的数字替换为它的闯关步进值，直到得到数字1即为闯关成功，替换的总次数为选手的闯关用时（次数越少排名越高）． 请结合上述规则完成下列问题： （1）若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为___________；若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为___________； （2）若某选手第一次计算得到的闯关步进值为2，请求出他抽到的参赛正整数的所有可能整数值； （3）若小宇抽到的参赛数字是137，求他的闯关用时为多少次？ 【答案】（1）4；7 （2）4，5，6，7，8 （3）3次 【解析】 【分析】（1）估算出的取值范围，再根据定义求出的值即可得到第一空的答案；估算出的取值范围，再根据定义求出的值即可得到第二空的答案； （2）根据定义可得，则可推出，即，据此求出x的取值范围即可得到答案； （3）估算出的范围，根据定义求出的结果，若结果不为1，则估算的结果，进而求出的结果不为1，则继续上述过程，直至结果为1停止，统计对应的次数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为4； ∵， ∴， ∴， ∴若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为7； 【小问2详解】 解：∵某选手第一次计算得到的闯关步进值为2， ∴， ∴，即， ∴， ∴他抽到的参赛正整数的所有可能整数值为4，5，6，7，8； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 答：他的闯关用时为3次． 八、（本题满分14分） 23. 1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． （1）根据上面的规律，则的展开式___________ （2）的展开式共有___________项，系数和为___________． （3）运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． （4）直接写出的展开式中第三项的系数___________． （5）若，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）二 （4）420 （5）0 【解析】 【分析】（1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1，则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【小问1详解】 解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ∴； 【小问2详解】 解：观察可知：的展开式有2项， 的展开式有3项， 的展开式有4项， 的展开式有5项， 依此类推， 共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依此类推，的展开式的系数和为； 【小问3详解】 解：∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； 【小问4详解】 解：的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； 【小问5详解】 解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中教学质量检测 七年级数学试题卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每一小题都给出了A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代号填在题后的括号内． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.1415926 D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 4是16的算术平方根 B. 是的一个平方根 C. 的平方根为 D. 0的立方根是0 3. 据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒，数据0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 7. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（ ） A. 5张 B. 6张 C. 7张 D. 8张 9. 已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A. 19 B. 28 C. 77 D. 21 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：___________． 12. 在建筑美学中，黄金比例被广泛应用于营造和谐的视觉效果．比较大小：___________（填“”或“”）． 13. 若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 14. 在某珠宝店的宝石展览中，展示了许多精美的宝石，这些宝石被放置在三位数字编号的展柜中．如果一个展柜编号是一个三位正整数，且满足百位上的数字小于个位上的数字，同时百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么就称这个编号为“宝石和谐号”编号． （1）最小的“宝石和谐号”编号是___________； （2）对于“宝石和谐号”编号，用的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为．珠宝店举办活动，若是“宝石和谐号”编号，且的4倍与的十位数字的2倍之和是5的倍数，那么的最大值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 求不等式的正整数解． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列关于自然数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第5个等式：___________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并说明其正确性． 20. 已知的算术平方根是的立方根是1． （1）求和的值； （2）求的平方根． 六、（本题满分12分） 21. 为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． （1）最多能租用型客车多少辆？ （2）若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 七、（本题满分12分） 22. 学校2026年科技节设置了“数智闯关”趣味赛事，赛事规则如下：对于给定的正整数，用符号表示不大于的最大整数，称为该数的“闯关步进值”；每次闯关都将当前持有的数字替换为它的闯关步进值，直到得到数字1即为闯关成功，替换的总次数为选手的闯关用时（次数越少排名越高）． 请结合上述规则完成下列问题： （1）若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为___________；若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为___________； （2）若某选手第一次计算得到的闯关步进值为2，请求出他抽到的参赛正整数的所有可能整数值； （3）若小宇抽到的参赛数字是137，求他的闯关用时为多少次？ 八、（本题满分14分） 23. 1261年，我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书—《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． （1）根据上面的规律，则的展开式___________ （2）的展开式共有___________项，系数和为___________． （3）运用：今天是星期一，经过天后是星期___________． （4）直接写出的展开式中第三项的系数___________． （5）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $