3.7 切线长定理 课时练习 2025-2026学年 北师大版数学九年级下册

**基本信息** 初中数学北师大版九年级下册切线长定理同步练，分层梯度清晰，从基础概念辨析到综合推理应用，适配新授课知识巩固与能力提升需求，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选）|切线长相等、切线性质、角度计算|以简单图形为主，直接考查定理基本应用，如切线长与半径关系计算| |巩固层（填空）|内切圆性质、切线长与三角形边长关系|结合三角形周长等实际情境，强化定理在图形中的迁移应用| |提升层（解答）|切线长定理与全等、勾股定理、相似综合|包含证明题与多步计算题，如切线与直径关系证明，培养综合推理能力|

【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.7切线长定理 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)如图，PA,PB分别切O0于点A,B,连接OP.若∠AP0=30°，0A=2,则BP的长 为() A.1 B.2 C.25 D.4 2.(本题3分)如图，PA,PB与⊙0分别相切于点A,B.如果∠P=60°，AB=2,那么PA的长度是() A 0 A.2 B.3 C.5 D.25 3.(本题3分)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙0的直径，∠BAC=25°.则∠P的 度数为() A.65° B.50° C.609 D.70 4.(本题3分)如图，AB,AC,BD均是OO的切线，切点分别是P,C,D.若AC=5,BD=3,则AB的长 是() A.8 B.10 C.12 D.15 1 5.(本题3分)如图，⊙0是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,若CF=8,AB=10,则△ABC的周长 为() B D E A.8 B.10 C.20 D.36 6.(本题3分)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0外一点，过点C的两条直线分别与圆相切于点B、D, 点E是圆周上任意一点，连接AE、DE,若LC=70°，则∠AED=() A.50° B.40° C.25° D.35° 7.(本题3分)如图，PA,PB分别与⊙O相切于AB两点，DE与OO相切于点C,与PA,PB相交于D,E 两点，若PA=9,∠APB=50°，则△PDE的周长和∠ACB的度数分别为() B A.9,130° B.18,130° C.9,115° D.18,115° 8.(本题3分)下列说法中错误的是() A.切线与圆有唯一的公共点 B.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C.垂直于切线的直线必经过切点 D.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 9.(本题3分)如图，已知PA、PB是OO的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C,交O0于D, 连接OA、OB,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为() 2 B A.1,2B.2,2 C.2,6 D.1,6 10.(本题3分)如图，AC是⊙O的直径，PB,PC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠P=60°，AC=6, 则AB的长度为() A.4 B.3 C.3V5 D.2 二、填空题（共15分） 11.(本题3分)如图，PA,PC是O0的切线，A,C为切点，若LAPC=60°，AP=5√5，则直径AB的长 是 B 12.(本题3分)如图，PA与O0相切于点A,PB与O0相切于点B,M为AB上一点，过点M与O0相 切的直线分别交PA,PB于点E,F.若PEF的周长为12，则PA的长为 M F B 13.(本题3分)如图，△ABC与它的内切圆分别相切于点D,E,F.若△ABC周长为20，BC=7,则AD 的长为」 D 14.(本题3分)如图，AC,AB,BD是⊙0的切线，切点分别为C,E,D点，若AB=12,BD=3,则 AC的长为 0 15.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,作BG平分∠ABC,交AC于点 BF G.以点G为圆心，作OG切AB于点D,交BG于点E、F,则 EF = G C B 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，△ABC的内切圆O0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm, BC =7cm,CA=6cm. B D (1)求AF的长. (2)已知Sa4c=6V6cm,求0D的长. 17.（本题7分)如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，延长BO,A0与PA,PB延长线交于点 D,点E. A (1)求证：PD=PE; (2)过点O作OF∥PD交PB于点F.若PD=6,∠P=45°.求OF的长. 18.(本题8分)如图，O0是△ABC的外接圆，AB=AC,DA,DC是⊙O的切线，切点分别为A,C. D 0° (1)求证：∠D=∠BAC (2)连接OD,与AC交于点P,连接BP,若CD=3,BC=4,求圆的半径. 19.(本题8分)如图，P为⊙0的直径BA延长线上的一点，PC为⊙0的切线，切点为C,CD⊥AB于D, 连接AC. A DO (1)求证：AC平分∠PCD; (2)若PA=3,AC=√5，求⊙0的半径. 20.(本题8分)如图，已知AB为O0的直径，CD为O0的弦（不是直径）且交AB于点F,F为CD的中 点，四边形AFCG为矩形，FG为矩形的对角线，延长GF交BD于点H. G D B (1)求证：GH⊥BD; 6 (2)若点F是OB的中点，GF=6,求O0的半径. 21.(本题9分)如图，△ABC的内切圆O0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F. E 图1 图2 (1)点0是△ABC的心： (2)如图1，若AB=9,BC=14,CA=13.设AF=x,求BF的值： (3)如图2，若LB=90°，AB,BC,CA的长分别是a,b,c,则⊙0半径是 (用含a,b,c的式子表 示). 22.(本题9分)如图，P为O0外一点，PA和PB为⊙0的两条切线，A和B为切点，BC为直径. 0 B (1)求证： ①△APO≌△BP0. ②P0∥AC. (2)若AC=4,0C=2V5,求AP的长. 【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.7切线长定理 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)如图，PA,PB分别切O0于点A,B,连接OP.若∠AP0=30°，OA=2,则BP的长 为() B A.1 B.2 C.23 D.4 解：PA切OO于点A, ∠0AP=90° 在RtAOAP中， tan∠APo=O4 AP :.PA=_ OA 、2 =2√5 tan∠APO tan30° 又：PB切OO于点B PA=PB=2V3 0 故选：C 2.(本题3分)如图，PA,PB与⊙0分别相切于点A,B.如果∠P=60°，AB=2,那么PA的长度是() y A.2 B.3 C.5 D.25 解：PA,PB与OO分别相切于点A,B, ∴.PA=PB, 又，∠P=60°， .△PAB为等边三角形， .'PA=AB=2, 故选：A. 3.(本题3分)如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，AC是⊙0的直径，∠BAC=25°.则∠P的 度数为() B A.65° B.50° C.60° D.70° 解：PA是⊙0的切线，∠BAC=25°， .∠BAP=90°-25°=65°， PA,PB是OO的切线，A,B为切点， .'PA=PB, .∠ABP=65°， ∴.∠P=180°-65°×2=50°， 故选：B 4.(本题3分)如图，AB,AC,BD均是OO的切线，切点分别是P,C,D.若AC=5,BD=3,则AB的长 10 是() 0 D A.8 B.10 C.12 D.15 解：AB,AC,BD是⊙O的切线，切点分别是P,C,D .'AP=AC,BD=BP, .AB=AP+BP=AC+BD, .AC=5,BD=3, ∴.AB=5+3=8. 故选A. 5.(本题3分)如图，⊙0是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,若CF=8,AB=10,则△ABC的周长 为() E A.8 B.10 C.20 D.36 解：OO是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, :AD=AE,BD=BF,CE=CF, .CF=8,AB=10, .AD+BD=10,CE=8, .△ABC的周长=AD+BD+AE+BF+CE+CF=10+10+8+8=36, 故选：D. 6.(本题3分)如图，AB是O0的直径，点C是OO外一点，过点C的两条直线分别与圆相切于点B、D, 点E是圆周上任意一点，连接AE、DE,若∠C=70°，则∠AED=() 11 E B D A A.50° B.40° C.25° D.35° 解：连接BD, B C :CB,CD分别切圆于B、D, :CB=CD, :ZCBD ZCDB, :∠C=70°， 1 ∴.∠CBD=二×(180°-70°)=55°， :AB是圆的直径， ∠ABC=90°， ∠ABD=LABC-∠CBD=35° LAED=∠ABD=35°， 故选：D. 7.(本题3分)如图，PA,PB分别与⊙0相切于A,B两点，DE与OO相切于点C,与PA,PB相交于D,E 两点，若PA=9,∠APB=50°，则△PDE的周长和∠ACB的度数分别为() B A.9,130° B.18,130° C.9,115° D.18,115° 12 解：PA,PB分别与O0相切于A,B两点， .PA=PB=9,AD+DP=9,BE+EP=9, ,DA,DC分别与⊙0相切于A,C两点， ..DA=DC, :EB,EC分别与O0相切于B,C两点， .EB=EC .AD+DE=DC+DP,BE+EP=EC EP .△PDE的周长为DC+DP+EC+EP=AP+BP=9+9=18, 如图所示，连接OA,OB,OP, ,PA,PB分别与O0相切于A,B两点，∠APB=50°， aO1 -AP.OBLOP,∠AP0=∠BP0-APB= 2×50°=25， 在Rt△AP0中，∠A0P=90°-∠AP0=90°-25°=65°， 同理，∠B0P=65°， .ACB所对的圆心角LA0B=65°+65°=130°， .AFB所对圆心角∠A0B=360°-130°=230°， L4CB=2×230°=115 故选：D 8.(本题3分)下列说法中错误的是() A.切线与圆有唯一的公共点 B.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C.垂直于切线的直线必经过切点 D.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 解：A、B、D说法均正确； C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；故选：C 9.(本题3分)如图，已知PA、PB是⊙0的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C,交O0于D, 连接OA、OB,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为() 13 B A.1,2B.2,2 C.2,6 D.1,6 解：因为OA、OB为圆0的半径，所以OA=OB,所以△AOB为等腰三角形， 根据切线长定理，PA=PB,故△APB为等腰三角形，共两个， 根据切线长定理，PA=PB,∠APC=∠BPC,PC=PC,所以△PAC≌△PBC, 故AB⊥PE,根据切线的性质定理∠OAP=∠OBP=90°， 所以直角三角形有：△AOC,△AOP,△APC,△OBC,△OBP,△CBP,共6个.故选C. 10.(本题3分)如图，AC是⊙O的直径，PB,PC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠P=60°，AC=6, 则AB的长度为() B A.4 B.3 C.35 D.2 解：连接BC, :PB、PC是OO的两条切线， :PB=PC, :∠P=60°， :△PBC是等边三角形， ∠BCP=60°， :AC是⊙0的直径， LACP=LABC=90°， ∠ACB=90°-60°=30°， 14 :AC=2AB, :AC=6, AB=3. 故选：B 二、填空题（共15分） 11.(本题3分)如图，PA,PC是O0的切线，A,C为切点.若∠APC=60°，AP=5√5，则直径AB的长 是 解：，PA,PC是OO的切线，A,C为切点， ∠0AP=90,∠0PA=∠APC=30, 04-4P.tan305x 3 5 .AB=20A=10: 故答案为：10. 12.(本题3分)如图，PA与O0相切于点A,PB与O0相切于点B,M为AB上一点，过点M与00相 切的直线分别交PA,PB于点E,F,若PEF的周长为I2,则PA的长为 F \B 解：由题意可得：PA=PB.EA=EM. 同理，FB,FM是OO的切线，切点分别为B,M, :FB=FM. C.PEF PE+EF+PF. :.C.PEF PE+EM +FM+PF (PE+EA)+(PF+FB)=PA+PB. 又：PA=PB, ·.CPr=2PA. :△PEF的周长为12，即CPEr=12, CPEr=2PA,可得2PA=12, 解得PA=6. 故答案为：6 13.(本题3分)如图，△ABC与它的内切圆分别相切于点D,E,F.若△ABC周长为20，BC=7,则AD 的长为 A D B 解：设AD=x, :△ABC与它的内切圆分别相切于点D、E、F, .AD=AF=x,CE CF,BE BD, 则BC=BE+CE=BD+CF=7. :△ABC周长为20， :AD+AF +CF+BC+BD=20, 即x+x+7+7=20, 解得x=3, 即AD=3. 故答案为：3. 14.(本题3分)如图，AC,AB,BD是O0的切线，切点分别为C,E,D点，若AB=12,BD=3,则 AC的长为】 C 0 D E 解：AC,AB,BD是OO的切线， 16 ∴.AC=AE，,BE=BD=3, AE=AB-BE=12-3=9, ..AC=AE=9. 故答案为：9. 15.(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,作BG平分∠ABC,交AC于点 G,以点G为圆心，作OG切AB于点D,交BG于点E、F,则 BF G 解：连接DG, D F B 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3, .AB=√AC2+BC2=5, .∠ACB=90°，CG是⊙G的半径， .BC是⊙G的切线， :AB是⊙G的切线，切点为D, .GD⊥AB,即∠BDG=90°，BD=BC=3, ,BG平分∠ABC,∠ACB=90°， ∴.DG=CG, ∴.AD=AB-BD=2, 设DG=x,则CG=x,AG=4-x, 在RtAADG中，AG=AD2+GD2, 17 .(4-x)2=x2+2, 3 x= 6o号 3 ..FG=CG=DG 2 ∴.EF=2FG=3, ·BG=VBC2+CG-35 ∴.BF=BG+FG= 3+3√5 2 3+35 ∴.BF 2 _1+V5. EF 3 2 故答案为： 1+5 2 三、解答题（共55分） 16.(本题6分)如图，△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm, BC =7cm,CA=6cm. B D (1)求AF的长. (2)己知SA48c=6V6cm2,求0D的长。 (1)解：，△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, :AF=AE,BF=BD,CD=CE, 设AF=AE=x, BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm AF=2cm,BD=5-x=5-2=3cm,EC=6-x=6-2=4(cm, 则AF的长为2cm; 18 (2)解：：AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, :半周长5=MB+BC+CA_5+7+6=9cm, 2 2 又：SA4Bc=6V6cm', 66=r.9, r=26 3 则0D的长为26c0 cm 3 17.(本题7分)如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，延长BO,A0与PA,PB延长线交于点 D,点E, D A (I)求证：PD=PE; (2)过点0作OF∥PD交PB于点F.若PD=6,∠P=45°，求OF的长. (1)解：PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点， .PA=PB,OB⊥PB,OA⊥PA, .∠PBD=∠PAE=90°， 在△PBD和△PAE中， ∠PBD=∠PAE=90° PB=PA ∠P=∠P .△PBD≌△PAE(ASA, .'PD=PE (2)解：，∠P=45°，∠PBD=∠PAE=∠DA0=90°， .∠D=45°， .∠D0A=45°， ∴.∠D=∠D0A=45°， 19 :.0A=DA, .OD=V20A=V2DA=√20B, ,OF∥PD, ∴.△BOF∽△BDP, OF OB OB OB 1 DP-BD-OD+08-208+0B2+1 PD=6, .OF=DP 6一=6、2-6 √2+1√2+1 18.(本题8分)如图，⊙0是aABC的外接圆，AB=AC,DA,DC是⊙0的切线，切点分别为A,C. (1)求证：∠D=∠BAC (2)连接OD,与AC交于点P,连接BP,若CD=3,BC=4,求圆的半径 (1)证明：连接A0并延长，交BC于点E. D B E :⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC, 所以AE⊥BC,∠B=∠ACB. 又：DA,DC是⊙O的切线， .DA=DC,AO⊥DA. 所以∠DAC=∠DCA,DAI BC. 所以LDAC=∠ACB, .∴.∠B=∠DAC,∠ACB=∠DCA .∠D=∠BAC; 20 (2)解：由(1)得AE⊥BC,∠B=∠DAC,∠ACB=∠DCA ∴.△ABCn△DAC, DC AC 所以CE=BE, AC BC 因为CD=3,BC=4, 所以CE=2,AC2=12, 在Rt△AEC中，由勾股定理，得AE=√AC2+CE2=2V2, 连接0C, D B E 设⊙0的半径为，则0A=OC=r 所以0E=2√2-r 在Rt△OEC中，由勾股定理， 得0C2=0E2+CE2, 所以r2=(2√2-r)2+22 解得=32 ·半径为32 2 19.(本题8分)如图，P为⊙0的直径BA延长线上的一点，PC为⊙0的切线，切点为C,CD⊥AB于D, 连接AC. B DO (1)求证：AC平分∠PCD; (2)若PA=3,AC=√5，求⊙0的半径. 21 (1)解：连接0C. A DO .PC为⊙0切线， .∠PC0=∠PCA+∠AC0=90°. CD⊥AB, .∠ADC=90°. .∠CAD+∠ACD=90°. ,0A=0C, ∠CAD=∠OCA. ∠PCA=LACD .AC平分∠PCD. (2)设0A=0C=0B=r. 在Rt△PC0中，PC2=(3+r)2-r2=6r+9. 在Rt△ABC中，BC2=(2r)2-（N5}=4r2-3. 结合(1)中， ∠BCO=∠B=∠PCA=90°-∠ACO :ZPCA=ZB :∠P=∠P ∴.△PAC∽aPCB. 小是瓷 是设 ∴.PC2=3BC2 .9+6r=34r2-3 3 解得1（舍去），5 2 3-2 即⊙0的半径 20.(本题8分)如图，已知AB为OO的直径，CD为O0的弦（不是直径）且交AB于点F,F为CD的中 点，四边形AFCG为矩形，FG为矩形的对角线，延长GF交BD于点H. G (1)求证：GH⊥BD; (2)若点F是OB的中点，GF=6,求⊙0的半径. (1)证明：如图，连接AC交GF于点M. G M D ,四边形AFCG为矩形， ∴.MA=MF,∠MAF=∠MFA. ,∠MFA=∠BFH,∠MAF=∠CDB, .∠BFH=∠CDB. ,AB为O0的直径，F为弦CD的中点， ∴.AB⊥CD,∠BFD=90°， 即∠BFH+∠DFH=90°， ∴.LDFH+∠CDH=90°， ∴.∠FHD=90°， .GH⊥BD. (2)解：如图，连接0D. 23 G A 0 ⊙ ,AB⊥CD,F为OB中点， .OD=BD 0B=0D, ∴△OBD是等边三角形， .∠B=60° .∠ACD=∠B=60°. ,四边形AFCG为矩形， ..AC=GF=6, .CF=3. ,F为CD的中点， ..DF=CF=3, ..OD-BD= DF 3 inB√3 =2V5 2 .00的半径为25 21.(本题9分)如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F. 0 图1 图2 (1)点0是△ABC的 心： (2)如图1，若AB=9,BC=14,CA=13.设AF=x,求BF的值： (3)如图2，若LB=90°，AB,BC,CA的长分别是a,b,c,则O0半径是 (用含a,b,c的式子表 示)， 24 (1)解：，O0是△ABC的内切圆， 点0是△ABC的内心. 故答案为：内； (2)解：，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, .AE AF,BF=BD,CE CD, .AB=9,BC=14,CA=13,AF=x, .AE AF =x, .BD=BF=AB-AF=9-x,CD=CE=AC-AE=13-x, .BC=BD+CD=9-x+13-x=14,解得x=4, .BF=9-x=5; 3)解：如下图，连接OD,OE,OF, E ,△ABC的内切圆O0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, .AE=AF,BF=BD,CE=CD,∠OFB=∠ODB=90°， 设⊙0半径为r, ∴.0D=0F=r, .∠B=∠OFB=∠ODB=90°， .四边形ODBF为矩形， 又：0D=0F, ∴.四边形ODBF为正方形， .BD BF=r, .AE=AF=a-r,CE=CD=b-r, ..AC=AE+CE=a-r+b-r=c, ∴.a+b-2r=C, ..r=a+b-c 2 25 故答案为： a+b-c 2 22.(本题9分)如图，P为O0外一点，PA和PB为O0的两条切线，A和B为切点，BC为直径 0 B (1)求证： ①△APO≌△BP0. ②P0∥AC. (2)若AC=4,0C=2V5,求AP的长 (1)①证明：：P为00外一点，PA和PB为⊙0的两条切线， :PA=PB, :0A=0B,P0=P0, :△APO≌△BP0(SSS); ②证明：：AB=AB, ∠AOB, :∠ACB=2 :△APO≌△BP0, .∠AOP=∠BOP=∠AOB, .∠ACB=∠BOP, P0∥AC; (2)解：连接AB,如图， 由(1)知∠ACB=∠A0P, 26 PA和PB为⊙O的两条切线，BC为直径， ∠PA0=LBAC=90°， △ABC∽△APO, APAO AB AC :AC=4,0C=2V5, A0=0C=2V5,BC=20C=45, :AB=BC2-AC2=8, AP-25 84 解得AP=45, 27