3.7切线长定理 课堂练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.7切线长定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（    ） A．130° B．120° C．110° D．100° 2．已知⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距O1O2的长是(　　) A．O1O2＝1 B．O1O2＝5 C．1＜O1O2＜5 D．O1O2＞5 3．如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 4．如图，AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长为(                ) A．8 B．12 C．16 D．不能确定 5．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 6．如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（　　） A．38° B．28° C．30° D．40° 7．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（　　） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．=PC•PO 8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（　 　） A．50° B．60° C．70° D．75° 9．如图，AB为的直径，P点在AB的延长线上，PM切于M点，若，那么的周长是（  ） A． B． C． D． 10．若O是△ABC的内心，且∠BOC＝100°，则∠A＝（     ） A．20° B．30° C．50° D．60° 11．如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A．5，（90°+∠P） B．7，90°+ C．10，90°-∠P D．10，90°+∠P 二、填空题 13．如图，△ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F，且BD＝3 cm，DC＝ 5 cm，△ABC的周长为22 cm，那么AB的长为 cm. 14．如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 15．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何?”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步?则此问题的答案是 步． 16．如图，中，，内切圆与边、、分别切于点、、，若，，则 ． 17．以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 三、解答题 18．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长． 19．如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 20．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线． (1)求证：∠DCF＝∠CAD． (2)探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由； (3)若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 22．如图：已知⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程的两根． （1）求线段OA，OB的长； （2）已知点C是劣弧OA的中点，连结BC交OA于D． ① 求证：； ② 求点C的坐标； 23．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．    （1）求证：△AED≌△CEB； （2）求证：FG⊥AD； （3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由． 24．如图所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ， 求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆． 《3.7切线长定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C B C D B C A 题号 11 12 答案 A C 1．C 【详解】∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选C． 2．B 【分析】根据两圆的位置关系可以得到两圆半径和圆心距之间的数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R＋r；外切，则d＝R＋r；相交，则R−r＜d＜R＋r；内切，则d＝R−r；内含，则d＜R−r． 【详解】根据题意，得：O1O2＝R+r＝5． 故选B． 【点睛】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法． 3．D 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，然后根据三角形周长的定义进行计算． 【详解】解：∵直线分别与相切于点A、B、C， ∴， ∴的周长． 故选：D． 4．C 【分析】根据切线长定理得到AD=AE，BD=BF，CF=CE，再根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵AD，AE是圆的切线， ∴AD=AE， 同理，BD=BF，CF=CE， ∴三角形ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BD+AC+CE=AD+AE=2AD=16， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟知切线长定理是解题的关键． 5．B 【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5即可得到△ABC的周长． 【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF， ∵BE+CE＝BC＝5， ∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5， ∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14， 故选：B． 【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 6．C 【分析】根据切线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到结论． 【详解】解：∵PM，PN是⊙O的切线， ∴PB＝PC， ∵∠P＝44°， ∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°， ∵∠D＝98°， ∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°， ∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 7．D 【详解】连接OA、OB，AB， ∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B， 由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB， ∴△ABP是等腰三角形， ∵∠1=∠2， ∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一）， 故A，B，C正确， 根据切割线定理知：=PC•（PO+OC），因此D错误． 故选D． 8．B 【分析】连接AO，BO，OE由切线的性质可得∠PAO=∠PBO=90°，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出∠AOB的度数，再由切线长定理即可求出∠COD的度数． 【详解】连接AO,BO,OE, ∵PA、PB是O的切线， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠APB=60°， ∴∠AOB=360°−2×90°−60°=120°， ∵PA、PB、CD是O的切线， ∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO， ∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD， ∴∠COD=∠COE+∠EOD=∠AOB=60°. 故选B. 【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键. 9．C 【详解】 连接OM， ∵PM是圆O的切线，∴OM⊥PM， ∵OA=a，∴OM=a， ∴tan∠MOP==， ∴∠MOP=60°， ∴△MOB是等边三角形，∠P=30°， ∴MB=OB，OP=2a， ∴C△PMB=PM+PB+MB=PM+PB+OB=PM+OP=a+2a=（2+）a. 故选C. 点睛：本题关键在于由三角函数值求出特殊角，证明出等边三角形，从而将三角形的周长转化为两条线断的长度之和. 10．A 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠OCB+∠0BC=80°，根据三角形的内心求出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】∵∠BOC=100°， ∴∠OCB+∠0BC=180°﹣∠BOC=80°， ∵O是△ABC的内心， ∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=160°， ∴∠A=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=20°． 故选A． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，角平分线的性质，三角形的内心等知识点的理解和掌握，能求出∠ABC+∠ACB的度数是解此题的关键． 11．A 【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的值．根据切线长定理求出，，，得出等边三角形，推出，根据，求出，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：∵与三边分别切于三点， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 12．C 【详解】∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC； ∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10， 如图，连接OA、OE、OB． 由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE， ∵AO=OE=OB， 易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS）， ∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB， ∴∠AOB=180°-∠P， ∴∠COD=90°-∠P． 故选C． 13．6 【分析】利用切线长定理可以得到，AE=AF，CF=CD，BD=BE，将△ABC的周长用BD，DC和AE表示出来，结合已知条件便可求出AE的长，从而得到AB的长. 【详解】∵ △ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F， ∴BD=BE，CD=CF，AE=AF， ∴AB+AC+BC=AE+EB+BD+DC+CF+FA =2AE+2DC+2BD =2AE+10+6 =2AE+16 =22cm， 则AE=3cm， ∴AB=AE+BE=AE+BD=3+3=6cm. 故答案为6. 【点睛】本题考查切线长定理及其推论. 14．65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 15．6 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【详解】根据勾股定理得：斜边＝＝17， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r＝是解题的关键． 16． 【分析】根据切线长定理，得到是的中点，从而得到、、三点共线，根据等腰三角形的性质得到，根据切线长定理得到，根据锐角三角函数即可求得的长． 【详解】连接，， ∵是的内心， ∴平分， ∵是，是切点， ∴， ∵， ∴、、三点共线，即， ∵、是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线长定理和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解本题的关键． 17．4 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 18．C△ABC＝40. 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，将△ABC的周长转化为AD＋AE求解． 【详解】∵AD,AE切于⊙O于D,E， ∴AD＝AE＝20 ∵AD,BF切于⊙O于D,F ∴BD＝BF 同理：CF＝CE ∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋FC＋AC＝AB＋BD＋EC＋AC＝AD＋AE＝40. 故答案为C△ABC＝40. 【点睛】本题考查切线长定理. 19． 【分析】本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别和切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 20．见解析 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 21．(1)证明过程见详解 (2)FC2＝FD•FA；理由见详解 (3) 【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）可证明△FCD∽△FAC，即可得出结论； （3）由cosB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠OCD+∠OCA＝90°， ∵FC是⊙O的切线， ∴∠DCF+∠OCD＝90°， ∴∠OCA=∠DCF， ∵OC＝OA， ∴∠CAD＝∠OCA， ∴∠DCF＝∠CAD； （2）解：FC2＝FD•FA，理由如下： ∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F， ∴△FCD∽△FAC， ∴， ∴FC2＝FD•FA； （3）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝， ∴cos∠ADC＝， 在Rt△ACD中， ∵cos∠ADC＝＝， ∴， 由（2）知△FCD∽△FAC， ∴， ∴FC2＝FD•FA， 设FD＝3x，则FC＝4x， 又∵FC2＝FD•FA， 即（4x）2＝3x（3x+2）， 解得x＝（取正值）， ∴FD＝6x＝． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质． 22．（1）；（2）①见解析；②（6，-4） 【分析】（1）依题意解一元二次方程即可求得线段OA，OB的长； （2）①由题意得，根据同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠DOC，结合公共角，进而证明△OCB∽△DCO，即可证明；②根据点C是劣弧OA的中点，连接MC交OA于点E，由垂径定理可得，，由直角所对的弦是直径，勾股定理求得，进而求得，即可求得点的坐标． 【详解】（1） OA＞OB （2）①∵点C是劣弧OA的中点， ∴ ∴∠OBC=∠DOC， 又∵∠C=∠C， ∴△OCB∽△DCO． ∴ 即； ②连接MC交OA于点E，连接, ∵点C是劣弧OA的中点， ME⊥OA， ， ∵OA=12，OB=5，∠BOA=90°， ∴AB是⊙M的直径，由勾股定理得AB=13， 根据勾股定理，得 ∴CE=6.5-2.5=4，即C（6，-4）； 【点睛】本题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，垂径定理及其推理，掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 23．（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析 【分析】（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论； （3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝AB＝2，则EH＝AH−AE＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB＝，由一条直线l到圆心O的距离d＝等于⊙O的半径，即可得出结论． 【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C， 在△AED和△CEB中， ， ∴△AED≌△CEB（ASA）； （2）证明：∵AB⊥CD， ∴∠AED＝∠CEB＝90°， ∴∠C+∠B＝90°， ∵点F是BC的中点， ∴EF＝BC＝BF， ∴∠FEB＝∠B， ∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B， ∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°， ∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD； （3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：    ∵AE＝1，BE＝3， ∴AB＝AE+BE＝4， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH＝AB＝2， ∴EH＝AH﹣AE＝1， ∴OH＝＝＝1， ∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为， ∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径， ∴直线l是圆O的切线． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 24．见解析 【详解】证明：作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA， ∵O是△ABC的外心，AB=AC， ∴OE=OF，OB=OA， 由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2，AF2=OA2﹣OF2， ∴BE=AF， ∵AP=BQ， ∴PF=QE， ∵OE⊥AB，OF⊥AC ∴∠OFP=∠OEQ=90°， ∴Rt△OPF≌Rt△OQE， ∴∠P=∠Q， ∴O、A、P、Q四点共圆． 即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆． 学科网（北京）股份有限公司 $