四面体与球讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

四面体与球

湖北武汉  江湖美(340744678)

空间几何中最难的问题是球.鉴于今年高三四调以来的信息,本文专论“四面体与球”.内容涵盖:四面体的“心”;从正方体中走出来的正四面体;确定球心与球半径的四种方法;球的截面与多球问题.

1.四面体的心.

任一四面体都有一个内切球,其球心称为四面体的内心;

任一四面体也都有一个外接球,其球心称为四面体的外心;

任一四面体还都有一个重心.

如图1,ABCD为四面体,G为底面三角形

的重心,线段AG叫做该四面体的重心线.

任意四面体4条重心线 必交于

同一点(设为O).点O即称为该四面体

的重心,四面体的重心必把每条重心线

分为(自顶点开始的)3:1的两段.

这就是四面体的重心定理.

用阿基米德杠杆原理很容易理解并证明这个重心定理:将4个质地均匀的球置于四面体的4个顶点.若AG是其一条重心线(杠杆),当且仅当在AG的3:1处再置一球,该四面体才能平衡.

特别注意:如果ABCD又是正四面体,那么其内心,外心,重心合为同一点,这一点统称为四面体的中心.

如果O为正四面体的中心,那么OG和OA 分别为该正四面体的内切球与外接球的半径.

附提一句:在平面几何里,每一个三角形都有五心,即内心,外心,重心,垂心和旁心.但是推广到空间,不是任何四面体都有垂心的.这是因为,相应的两条垂心线可能是异面直线.它们没有公共点.

2.从正方体中“走”出来的正四面体.

最重要的四面体是正四面体.而每一个正四面体都是从相应的正方

体中分割出来的.两者之间有密不可分

的联系.从正方体的角度推演出正四面体的性质,既好懂,又好记.

如图2,ABCD-A1B1C1D1是正方体,依次连结6条面对角线,即得正四面体AB1CD1.

由此可以推出如下重要结论:

1.正方体的体积是其相应正四面体体积的3倍.

若设正方体棱长为则正方体体积为正四面体的体积为

反之,若设正四面体棱长为则相应

正方体的棱长为正方体的体积

2.正方体与相应的正四面体同一个外接球.

若正方体的棱长为因为正方体的体对角线是其外接球的直径,即半径为表面积和体积分别是:

3.在图2中,我们还看到:若G为△AB1C的重心,那么OD1与OG分别是正四面体ACB1D1`外接球与内切球的半径,其比值为3:1.

又由于一切球体都是相似体,故其表面积之比为9:1;体积之比为27:1.

3.球问题的常规解法.

球的核心问题是找球心.只要球心定了,球半径就不在话下.

确定球心的常用办法有三.

(1)直接法.

【例1】(江西南昌市八一中学等校2026届高三下学期联考数学8题

湖南湘潭2026高三下学情检测.8题)

如图,在三棱锥A-BCD中,ABD和△BCD都是等腰三角形,且∠ADB=120°,

BC⊥BD,BD=4,二面角A-BD-C的

大小为150°,则三棱锥A-BCD

外接球的表面积为(     )

解法说明:分别找到△ABD与△bBCD的外心,过这两个外心分别作相应平面的垂线,两垂线的交点就是四面体ABCD的球心,此球心与四面体