湖南株洲市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中联合考试数学试题

2026年上学期高二期中联合考试 数 学 （时间：120分钟 满分：150分 出题范围：高考范围） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等比数列，为前项和，若，则（ ） A. 39 B. 36 C. 27 D. 12 5. 为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（ ） A. 15种 B. 19种 C. 23种 D. 36种 6. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 C. 动点的轨迹长度为 D. 若，，，均在同一球面上，则该球的表面积为 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，A是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为r，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则△ABC的面积为 C. 当是直角三角形时， D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为定义在R上的奇函数，且时，，则__________. 13. 在等差数列中，，，则______. 14. 盒子中有编号依次为1，2，3，4的4张卡片，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片中最大编号为x，若成立，则至少抽取__________次. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若甲与乙下象棋，每盘甲赢棋的概率是（），甲也与丙下象棋，每盘甲赢棋的概率是（）.在甲与乙下棋的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率.且各盘棋的输赢相互独立. （1）求的取值范围； （2）已知，在甲与丙下棋的三盘中，甲赢的盘数是X，求X的分布列与数学期望. 16. 已知椭圆（）的离心率，左顶点为，下顶点为B，C为线段OB的中点，其中. （1）求椭圆的方程； （2）过点的定直线与椭圆有两个交点P，Q（P，Q两点不在坐标轴上，且不与C重合），存在，求的面积取值范围. 17. 如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. （1）设钝二面角大小为a，求的值； （2）在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； （3）E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 18. 已知定义在上的可导函数对任意的，都有成立，且. （1）求，. （2）若令，求证：数列是等差数列. （3）在（2）的前提下，求证：当时，.在 19. 已知，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极小值，且极小值为，求的取值范围， （3）当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，（记为（），求证：. 2026年上学期高二期中联合考试 数 学 （时间：120分钟 满分：150分 出题范围：高考范围） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）存在，； （3） 【18题答案】 【答案】（1），证明见解析 （2） 已知，对，将代入原函数得： ， 即，所以， 即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （3） 由（2）可得，，即，所以， 首先用数学归纳法证明当时，： 当时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，两边乘，得. 对求和式放缩： ， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 【19题答案】 【答案】（1） （2）不存在 （3） 因为， 令，即. 因为，两边同除以，等价于： 令，其中， 即求的零点，记为数列. 当，时， ，且（当，而）， 所以恒成立，此时无零点. 当，（以及时）， ，，需进一步分析. 若，， 因为，单调递增，且当时. ， 而，故存在唯一使. 从而在上负，在上正，而（计算可知）， 结合连续性，存在唯一零点. 当，， 考虑，，（因为时）， 而在区间内部且足够大时为正，由连续性与介值定理可得两个零点： ，. 因此零点排列满足 由得 令，，则 当时，，从而，即在上单调递减. 由于，所以 即 而， 且，. 在上余弦函数单调递减， 故由， 可得， 即，命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $