2026年中考数学第二次模拟考试全真模拟练习卷（苏州专用）

2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 8 D B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9.x≥2026 10.4aa-7b 山6 12.-1 13.π+2-√2 14.26 15.4V2026,0 16.7 三、解答题（本大题共11个小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(5分) 【详解】解：原式=1+3-2+4 =6.(5分) 18.(5分) 2(x+5)<5x-1① 【详解】解： 2x 3x-11② 3 4 11 0可得：x>3:(2分) 由②可得：x2-9；(4分) :原不等式组的解集为x>!(5分) 3 19.(6分) a+1-1(a+1(a-) 【详解】解：原式=a+l(a-可aa- a （a+1(a-1 （a+l)(a-1)a(a-1) a4分) 1/11 当a=V3+1时，原式=y ·(6分) 20.(6分) 【详解】()解：通过卡片上的字，可以看到是文、明、自、由四个字， :.卡片上的字是文的概率为4： 故答案为：4(2分) (2)解：画树状图如下， 开始 A B BCDACDABDABC 由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，则两人抽取的 卡片枪好组度文明一同的板车为号。《6分 21.(6分) 【详解】(1)解：由题意可得：初中样本总人数为：200人， .m=34%×200=68(人)，n=46÷200=23%;(2分) (2)由题意可得：14+44+60+82+65+55=320， ∴.被调查的高中学生视力情况的样本容量为320；(4分) (3)①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好.” 小胡的说法合理； 初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为1.0这一组， 而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为0.9的这一组， 而1.0>0.9， 小胡的说法合理。 ②由题意可得：26000×8+16+28+34+1444+60+82-14300（人3. 200+320 ∴.该区有26000名中学生，估计该区有14300名中学生视力不良： 合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操(6分) 22.(8分) 【详解】(1)证明：：AH∥BF,BH∥AE, .四边形AGBH是平行四边形. 2/11 :四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC,∠BAD+∠ABC=180°， :AE,BF分别平分LBAD,LABC, ∠BME+∠A8F-∠BAD+AB0=90e. ∠AGB=90°， :四边形AGBH是矩形；(4分) (2)解：：AH∥BF, .∠BAH=∠ABG, 由(1)知∠ABG=∠CBF, .∠BAH=∠CBF tan∠BAH=tan∠CBF=3 即BH、3 AH4' BH=3, AH=4, .AB=BH2+AH2=5,AD=AH=4, :四边形ABCD是平行四边形， :CD=AB=5,BC=AD=4,AB /CD, ∴.∠BAE=∠AED,∠ABF=∠BFC 由题意，得∠DAE=∠BAE,∠CBF=∠ABF, ∴.∠DAE=∠AED,∠CBF=∠BFC, :DE=AD=4,CF =BC=4, EF=DE+CF-CD=4+4-5=3.(8分) 23.(8分) 【详解】(1)解：在R1aACD中，∠ADC=55.4°， :tam5.40=4C1.45, CD AC=1.45CD. 在RtABCD中，∠BDC=45°， 3/11 :tan45°= BC =1, CD ∴.BC=CD, AB=AC-BC =1.45CD-CD =1.2m, CD≈2.7m, BC≈2.7m, .AC=BC+AB=3.9m;(6分) (2)解：多测量几次求平均值，可以减少误差.(8分) 24.(8分) 【详解】(1)证明：连接OA,则：0A=0B, .∠OAB=∠OBA, :∠ABD=∠CAF, .ZOAB ZCAF, :BD为OO的直径， .∠BAD=90°， ∠0AB+∠0AD=90°， .∠CAF+∠0AF=90°， .∠0AC=90°， 0A⊥AC, :OA为00的半径， .AC是O0的切线；(4分) (2)解：作CG⊥AC,交AF的延长线于点G,作GH⊥BC于H,连接DE, 4/11 :BD为直径， ∠BAD=90°，∠BED=90°， sin∠ABD=AD-1 BD3 设AD=x,则：BD=3x, AB=BD2-AD2=22x AB=AC, AC=2V2x,∠ABC=LACB, :∠ACG=90°=∠BAD,∠ABD=∠CAF,AB=AC, △ACG≌△BAD, .CG=AD=x,AG=BD=3x, :∠ABC+∠AFB=90°，∠ACB+∠BCG=90°， ∠BFA=∠BCG, :∠CFG=LBFA, .∠CFG=LBCG, ..CG=GF=x, .AF =AG-FG=2x, :DF =AF-AD =x, 在RtAABF中，BF=VAB2+AF2=2V5r, DF-BF2 COS LAFB-EF-4F23 :sin∠AFB=DE=AB-22V6 ΓDFBF2V5=3' ÷DE=6DF=6x 3 EF= 3 -DF= 3 3, :CG=GF,CH⊥BC, .WF-CH-CF. 5/11 ∠DEF=∠GHF=90°，∠DFE=∠GFH,DF=FG=x, aDEF≌aGHF, HF=EF= 3t, CF-2H=2 3 -X BF 23x CF2√3x 二3 .(8分) 3 25.(10分) 【详解】(1)解：：点C3,m)在反比例函数y=2(x>0)的图象上， 12 .m= 4 3 C3,4), 设直线AC的函数表达式为y=x+b, 将点B0.8 和点C(3,4)代入得： b、8 5 5 3k+b=4 k= 解得： b= , 5 48 :直线4C的函数表达式为)y=亏+亏：(3分) 5 (2)解：函数图象，当反比例函数y=(x>0)的函数值y>4时，自变量x的取值范围为0<r<3:(6分) (3)解：设点P的坐标为p,0), :直线AC与x轴交于点A, 48 令y=0,则y=x+°=0，解得：x=-2, 55 ∴.A-2,0), ∴.AP=p-(-2=|p+2, :△PAC的面积等于12， 1 Spc=7APe=D+2x4=2p+2=12, 2 6/11 ·2p+2)=12或2(p+2=-12, 解得：p=4或p=-8, ·点P的坐标为4,0)或(-8,0).(10分) 26.(10分) 【详解】解：(1)：四边形ABCD是正方形， ∠B=∠BAD=90°，AD=AB=12, 、sim∠BAM=2,即5】 AM 13 :BM=5 AM, 3 4B=VAM:-BM 12 AM, :AB=12, AM=13, :ME⊥AM, .∠EAM+∠E=90°=LEAM+LBAM, ∠E=∠BAM,即sinE=sim∠BAM= 131 AE=AM=13169 sin E 5 5, 3 DE=AE-AD=109 故答案为：1g(3分) (2)如图②，延长BE交DF于H. D B 图② 由折叠得，点D与点D'关于BE对称， :BE⊥DD',即BE⊥DF LDHE=LBCE=90°. 在△DHE和△BCE中， 7/11 :∠DEH=LBEC, :∠CDF=∠CBE, :LBCD=∠DCF, ·△BCE∽△DCF, DF DC BE BC :四边形ABCD为矩形， ·∠A=90°，DC=AB,BC=AD. :tan∠ADB=AB=3 DF DC AB 3 BE BC AD4 综上所述，线段DF与BE的数量关系为 BE=,位置关系为BE⊥DF·(6分) (3)如图③，连接FG并延长交BC于点O,交AD于点T,交DE于点S,过点E作MN⊥BC于点N,交 DA的延长线于点M. MAT D S B NH 图③ 由旋转的性质得，AE=EG,DE=EF,∠AEG=∠DEF=90°， ·LAED=∠GEF ·△ADE≌△GFE(SAS). ·GF=AD=60,∠ADE=∠GFE 在aTSD和aEFS中， :∠ESF=∠TSD, ·∠DTS=∠FES=90°. :AD∥BC, .GF⊥BO. 8/11 AB=60,BE=2AE, ·AE=20,BE=40 :∠B=60°，∠BNE=90°， ·BN=BE.cos60°=20，EN=BE.sin60°=20V3. :AD∥BC, ·∠MAE=∠B=60°. ·AM=AE.cos60°=10，ME=AE·sin60°=103. :MD=70. :MN⊥BC, ·LNHE+∠NEH=90°. :∠NEH+∠MED=90°， :∠EHN=∠MED. :∠EMD=∠ENH=90°， :△MED∽△NHE. ME MD NH NE 即10W3.70 NH203 .NH ·HC=BC-BN-NH=20 7 SaMCrKo =HC.GF=1x220 7 ×60=6600 7 即幼苗种植区四边形CFHG的面积为6600m 7 m2.(10分) 27.(10分) 【详解】(1)解：由题意得：y=-2x的友好对称二次函数”的二次项系数为1 2.5 3 常数项为0， 3 对称轴也为直线x=0, 所以y=号的友好对称三次函数为y=: 52 二次函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1, 则二次函数y=-x2+2x+3的“友好对称二次函数”的二次项系数为1-（-1)=2，常数项为3，对称轴也为直线 9/11 x=1, 设二次函数y=-x2+2x+3的“友好对称二次函数”的一次项系数为m。, 所以-m2=1,解得m。=-4, 2×2 所以y=-x2+2x+3的“友好对称二次函数”为y=2x2-4x+3, 故答案为：，y=2-4+3.（4分) (2)解：1-1=0， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确； 了耳为友好对称次函数”的两个三次函数的常数项相同，对称轴也相向 “此时这两个二次函数的一次项系数也相同， :二次项系数为，的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确： y=ar2-2a+3a≠1)的对称轴为直线x=-20-1, 2a 则y=ax2-2ax+3a≠1的“友好对称二次函数”的二次项系数为(1-a,常数项为3，对称轴为直线x=1, 设y=ax2-2ax+3(a≠1)的友好对称二次函数”的一次项系数为， 则2a1,解得网=-21-小， :y=ax2-2ax+3a≠1的“友好对称二次函数”为y=(1-ax2-21-ax+3,则结论③正确： 若二次函数为y=++1,则其友好对称二次函数”为=+x+1, “二次函数)+x+1的图象与轴没有交点，则结论④错误， 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③.(6分) (3)解：二次函数L:y=ar2-4ar+1a≠1的对称轴为直线x=-4=2, 2a .其“友好对称二次函数”L2的二次项系数为1-，常数项为1，对称轴为直线x=2, 设二次函数L2的一次项系数为m2, 10/11 21a2,解得m,=-41-, 1m2 二次函数L2的解析式为y=(1-a)x2-41-ax+1, 将m=1代入二次函数L得：y=a-4a+1=-3a+1, 将m=1代入二次函数L2得：y=(1-a-4(1-a+1=3a-2, .B(1,-3a+1,C(1,3a-2), :点B,C关于直线x=2的对称点分别为B,C, .B'2×2-1,-3a+1,C(2×2-1,3a-2),即B'3,-3a+1,C'3,3a-2), BC=3a-2-(（-3a+1川=6a-3,BB'=3-1=2, :四边形BB'C'C的邻边之比为1：2， BC=2BB'或BB′=2BC, l6a-3=2×2或26a-3=2, 解得a=乙或a=-6或a=号或a-5 2 1 6 6 3 所以a的值为号我名或名10分 66 11/11 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．据统计，某日某搜索平台使用解决的问题超过9540000个，数字9540000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 3．下列所示的三棱柱的展开图不可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 7．如图，点在正方形网格点上，则（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10．分解因式：_______． 11．从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为________． 12．已知关于的二次函数的图像与轴两交点间的距离为，则的值为___________． 13．如图，等腰直角三角形中，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分周长为______． 14．如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角．点在轴上，过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点，，按此规律依次作图，则的坐标为_____． 16．如图，在中，，，，分别在边，上，且，点在边上，，，则的最小值为 _____． 三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算： 18．（5分）解不等式组：． 19．（6分）先化简，再求值：，其中 20．（6分）小明在四张卡片的正面分别写下甲骨文字体的文、明、自、由四个字，这四张卡片分别用字母A、B、C、D表示．卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为______； (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两人抽取卡片上文字恰好能组成“文明”一词的概率． 21．（6分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图． 整理描述 初中学生视力情况统计表 视力 人数 百分比 0.6及以下 8 0.7 16 0.8 28 0.9 34 m 及以上 46 n 合计 200 高中学生视力情况统计图    (1)_______，_______； (2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______； (3)分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由： ②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议． 22．（8分）如图，在中，分别平分，交于点与相交于点，分别过点作，交于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 23．（8分）学习了三角函数测高之后，64中学数学老师带领九三班学生对本校凉亭进行测高，经询问后勤老师得知，亭子最顶端高，学生在点D处测得亭子顶端点的仰角，测得点的仰角． (1)请根据测量数据求出凉亭的高度．（结果精确到．参考数据：， (2)经过计算发现结果与学校留档记录的真实高度稍有出入，请说出一条减少误差的建议 24．（8分）如图，在中，，过点A作交于点F，D为边上一点，使得，以为直径作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 25．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．且与反比例函数的图象交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围； (3)设点是轴上的点，若的面积等于12，直接写出点的坐标． 26．（10分）【问题提出】 （1）如图①，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，则的长为______； （2）如图②，在矩形中，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点，若，试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）某校计划扩建劳动实践基地，以满足学生劳动教育实践需要．如图③，菱形是原有的劳动实践基地，，基地的出入口点在边上，且，为基地的一条小路，按照规划要求，将绕点顺时针旋转得到，交于点，在点处再设置一个出入口，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，规划四边形区域为幼苗种植区，已知，求幼苗种植区四边形的面积． 27．（10分）阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2．据统计，某日某搜索平台使用解决的问题超过9540000个，数字9540000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．下列所示的三棱柱的展开图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图．三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案. 【详解】解：选项A、C、D均可能是该三棱柱展开图，不符合题意， 而选项B中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意， 故选：B． 4．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：，在反比例函数的图象上，且， ，符号相同， ，符号相同， ． 5．如图，是的直径，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选C． 6．x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】利用根的判别式和一元二次方程的定义计算判断即可． 【详解】∵方程有两个不相等的实数根， ∴．， 解得且， 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 7．如图，点在正方形网格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由三角形的面积可得，即得，再根据余弦的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由网格得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数可得对称轴为直线，然后分当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下即可求解． 【详解】解：由二次函数可得对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∴当时，函数由最小值， 当时，函数由最大值， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，函数由最大值， 当时，函数由最小值， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴， 解得：； 综上可知：的值为或， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 解得． 10．分解因式：_______． 【答案】 【分析】提公因式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 11．从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算，先得到所有字母个数，再得到字母e的个数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：拼音“shuxue”的六个字母中，字母e有1个， ∴从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为， 故答案为：． 12．已知关于的二次函数的图像与轴两交点间的距离为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握利用抛物线对称性求与x轴交点坐标的方法是解题的关键． 先令函数值为得到关于的一元二次方程，结合抛物线的对称性求出与轴的交点坐标，再代入函数解析式即可求出的值. 【详解】解：令，则，整理得. 二次函数的对称轴为直线，又因其图像与x轴两交点间的距离为2，根据抛物线的对称性，可知两个交点的横坐标分别为和，即两交点坐标为和. 将代入中，得，即， 解得. 故答案为：． 13．如图，等腰直角三角形中，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分周长为______． 【答案】 【分析】连接，，根据图中阴影部分周长为解答即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴，， ∵点为的中点，的长为半径， ∴为圆D的直径， ∴，， ∴，， 根据题意得：， ∴， ∴图中阴影部分周长为． 14．如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 延长、交于点，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，通过角度之间的等量代换，证出，，，设，， 利用上述三组相似三角形可得出线段之间的比例关系，建立方程进行求解即可． 【详解】解：延长、交于点，如下图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，， ∵， ∴， 即， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∴，解得或（舍去）或（舍去）， 则， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角．点在轴上，过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点，，按此规律依次作图，则的坐标为_____． 【答案】 【分析】分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，根据等腰直角三角形的性质可设的坐标为，代入反比例函数，即可求得的坐标为，根据等腰直角三角形的性质和反比例函数的性质求出、的坐标，找到点的坐标规律，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形，且， ， 设的坐标为，代入反比例函数，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 的坐标为， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、， 是等腰直角三角形，且， ，，， ，， 点的坐标为，的坐标为， ， ， 设，则， ，， 点在反比例函数上， ， 解得：，（舍去）， ，， ， ， ， 设，则， 点，， 点在反比例函数上， ， 解得：，（舍去）， 点， 即点，点，点， 同理可得：点， 以此类推，可得的坐标为． 16．如图，在中，，，，分别在边，上，且，点在边上，，，则的最小值为 _____． 【答案】7 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得出，得出当点，，在同一直线上时，取最小值，最小值为的长度．连接，作于点，于点，先求出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后求出结果即可，通过旋转构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，， ， 在和中， ， ， ， ， 当点，，在同一直线上时，取最小值，最小值为的长度． 连接，作于点，于点， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：7． 三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算： 【答案】6 【分析】分别根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值及绝对值求出各项的值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（5分）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法进行求解即可． 【详解】解： 由①可得：； 由②可得：； ∴原不等式组的解集为． 19．（6分）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． 先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 20．（6分）小明在四张卡片的正面分别写下甲骨文字体的文、明、自、由四个字，这四张卡片分别用字母A、B、C、D表示．卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为______； (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两人抽取卡片上文字恰好能组成“文明”一词的概率． 【答案】(1) (2)树状图见解析，概率为 【分析】本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，解答本题的关键是掌握概率公式． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵通过卡片上的字，可以看到是文、明、自、由四个字， ∴卡片上的字是文的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为． 21．（6分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图． 整理描述 初中学生视力情况统计表 视力 人数 百分比 0.6及以下 8 0.7 16 0.8 28 0.9 34 m 及以上 46 n 合计 200 高中学生视力情况统计图    (1)_______，_______； (2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______； (3)分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由： ②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议． 【答案】(1)；； (2)； (3)①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②14300人，合理化建议见解析，合理即可． 【分析】（1）由总人数乘以视力为的百分比可得的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得的值； （2）由条形统计图中各数据之和可得答案； （3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由中学生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可． 【详解】（1）解：由题意可得：初中样本总人数为：人， ∴（人），； （2）由题意可得：， ∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为； （3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．” 小胡的说法合理； 初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为这一组， 而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为的这一组， 而， ∴小胡的说法合理． ②由题意可得：（人）， ∴该区有26000名中学生，估计该区有名中学生视力不良； 合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操． 22．（8分）如图，在中，分别平分，交于点与相交于点，分别过点作，交于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质及三角函数的应用，解题的关键是利用平行四边形和矩形的性质，结合角的关系与三角函数推导线段长度． （1）通过“两组对边分别平行”证四边形是平行四边形，再结合平行四边形邻角互补、角平分线性质证有一个角为直角，从而判定为矩形； （2）根据平行四边形对边平行且相等、三角函数推出，利用矩形性质，推出，结合线段关系求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是平行四边形， ，， 分别平分， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ， 由（1）知， 即， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 由题意，得， ， ， ． 23．（8分）学习了三角函数测高之后，64中学数学老师带领九三班学生对本校凉亭进行测高，经询问后勤老师得知，亭子最顶端高，学生在点D处测得亭子顶端点的仰角，测得点的仰角． (1)请根据测量数据求出凉亭的高度．（结果精确到．参考数据：， (2)经过计算发现结果与学校留档记录的真实高度稍有出入，请说出一条减少误差的建议． 【答案】(1)凉亭的高度约为 (2)多测量几次求平均值，可以减少误差 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，求出，在中，求出，根据求出，进而根据即可求解； （2）根据多测量几次求平均值，可以减少误差，即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴． 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：多测量几次求平均值，可以减少误差． 24．（8分）如图，在中，，过点A作交于点F，D为边上一点，使得，以为直径作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角，得到，由圆周角定理得到，进而得到，推出，进而得到，即可得证； （2）作，交的延长线于点，作，连接，根据，设，，由勾股定理求出，证明，得到，证明，进而求出的长，由勾股定理求出的长，根据，，求出的长，证明，求出，三线合一求出的长，进而求出比值即可． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：作，交的延长线于点，作于H，连接， ∵为直径， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．且与反比例函数的图象交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围； (3)设点是轴上的点，若的面积等于12，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）先求出点的坐标，再设直线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）结合图象作答即可； （3）设点的坐标为，求出点的坐标，则，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将点和点代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：函数图象，当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围为； （3）解：设点的坐标为， 直线与轴交于点， 令，则，解得：， ， ， 的面积等于12， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 26．（10分）【问题提出】 （1）如图①，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，则的长为______； （2）如图②，在矩形中，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点，若，试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）某校计划扩建劳动实践基地，以满足学生劳动教育实践需要．如图③，菱形是原有的劳动实践基地，，基地的出入口点在边上，且，为基地的一条小路，按照规划要求，将绕点顺时针旋转得到，交于点，在点处再设置一个出入口，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，规划四边形区域为幼苗种植区，已知，求幼苗种植区四边形的面积． 【答案】（1）；（2）线段与的数量关系为，位置关系为；（3） 【分析】（1）根据，可得，，从而得到，再由，可得，即可求解； （2）延长交于．证明，可得，即可求解； （3）连接并延长交于点，交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点．证明，可得，，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图②，延长交于． 由折叠得，点与点关于对称， ，即． ． 在和中， ， ， ， ， ． 四边形为矩形， ，，． ， ． 综上所述，线段与的数量关系为，位置关系为． （3）如图③，连接并延长交于点，交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点． 由旋转的性质得，，，， ． ． ，． 在和中， ， ． ， ． ，， ，． ，， ，． ， ． ，． ． ， ． ， ． ， ． ，即， ． ． ． 即幼苗种植区四边形的面积为． 27．（10分）阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①②③ (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，正确理解“友好对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据“友好对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“友好对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“友好对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“友好对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“友好对称二次函数”为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $