精品解析：江苏泰州市姜堰区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学 （考试时间：120分钟；总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 若三条线段的长分别为4，6，8，则用这三条线段（ ） A. 能组成锐角三角形 B. 能组成直角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 5. “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走6m后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，则长度为（ ） A. B. C. D. 6 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为上一点，且满足，若，则值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则 C. 与同向的单位向量为 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则面积的最大值为 C. 若，，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则__________. 13. 已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为__________. 14. 在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的浯溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，最引人称颂的是公元771年刻的《大唐中兴颂》，该碑高3米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为180cm的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为10cm），设该游客离墙距离为米，视角为.若游客离墙距离为2米，则__________，若为使观赏视角最大，此时应为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求； （2）求； （3）求. 16. 已知锐角满足. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. “算两次“原理（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想，其核心是通过对同量采用两种不同的计算方式，利用结果的等价性构建等式来解决问题.例如：如图甲，在中，为的中点，则、，两式相加得，因为为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题. （1）如图乙，在四边形中，分别为的中点，试用和表示； （2）如图丙，在四边形中，分别在边上，且，，，，已知和的夹角为. ①试用和表示； ②求. 19. 已知函数. （1）若为锐角，，求的值； （2）在中，若，，是的中点，且，求的面积； （3）若对于任意，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （考试时间：120分钟；总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法运算法则求解即可. 【详解】. 3. 在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求出外接圆的半径，代入圆的面积公式求解即可. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即，所以. 所以外接圆的面积为. 4. 若三条线段的长分别为4，6，8，则用这三条线段（ ） A. 能组成锐角三角形 B. 能组成直角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 【答案】C 【解析】 【详解】因为三条线段的长为4、6、8，所以满足任意两边之和大于第三边，故能构成三角形. 设此三角形最大角为，对应的边为8， 由余弦定理可得，可得为钝角， 故能组成钝角三角形. 5. “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走6m后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，则长度为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】延长到点. 由题意得，，，. 在中，. 由正弦定理得，即， 所以. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 则， ， ． 7. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 8. 如图，在中，，为上一点，且满足，若，则值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】设，则，， ， ， 为上一点，设， 已知， ，解得， ， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则 C. 与同向的单位向量为 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A正确． 对于B，因为，所以，解得，故B错误． 对于C，与同向的单位向量是，故C正确． 对于D，若，则， 所以向量在向量上的投影向量是，故D正确． 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确． 对于C，，C错误； 对于D，，D错误； 故选：AB． 11. 在中，内角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则面积的最大值为 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由余弦定理可判断选项正误；对于B，由余弦定理结合重要不等式可得面积最值；对于C，由同角三角函数关系及正弦定理可得，再由余弦定理可得；对于D，由辅助角公式及A分析可得，由正弦定理可得，据此可得. 【详解】对于A：由余弦定理得，，又， 所以，又，所以，又，所以，A正确； 对于B：由得，， 所以，， 当且仅当时等号成立，B正确； 对于C：因为，， 所以， 由正弦定理得，，所以， 由得，， 整理得， 解得或（舍去），C错误； 对于D：由， 得 ， 由正弦定理，得， 所以，故，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得， 所以. 13. 已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】，， 因为三点共线，所以向量，共线， 所以，解得， 当时，，此时，则向量，共线， 又为公共点，所以三点共线， 综上，实数的值为5. 14. 在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的浯溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，最引人称颂的是公元771年刻的《大唐中兴颂》，该碑高3米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为180cm的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为10cm），设该游客离墙距离为米，视角为.若游客离墙距离为2米，则__________，若为使观赏视角最大，此时应为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，求得的表达式，利用基本不等式求得最大时，对应的值. 【详解】设，由图可知：， 则， ， 故当时， 由基本不等式知，当，即时，最大，从而角最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示即可求解； （2）由向量夹角的坐标公式即可求解； （3）由向量模长公式即可求解. 【小问1详解】 由， 得： ， ， 得： ； 【小问2详解】 ， ，， 故； 【小问3详解】 ， 所以. 16. 已知锐角满足. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由锐角求出，根据两角差的正弦公式求值；（2）由二倍角公式求出，根据两角和的余弦公式求出，然后根据角的范围确定角的值. 【小问1详解】 因为为锐角，所以， ，， 因为为锐角，所以， ，， . 【小问2详解】 因为为锐角，, 所以，又，， ， ，所以. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由余弦定理求得，即可求得周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，即，解得. 由余弦定理得，又，所以. 所以的周长为. 18. “算两次“原理（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想，其核心是通过对同量采用两种不同的计算方式，利用结果的等价性构建等式来解决问题.例如：如图甲，在中，为的中点，则、，两式相加得，因为为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题. （1）如图乙，在四边形中，分别为的中点，试用和表示； （2）如图丙，在四边形中，分别在边上，且，，，，已知和的夹角为. ①试用和表示； ②求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别在四边形、四边形中表示向量，两式相加再结合相反向量的和为，即可求解. （2）利用已知条件中的“算两次”原理将用和表示，再利用数量积的定义运算即可求解. 【小问1详解】 在四边形中，，在四边形中，， 两式相加得，. 因为分别为的中点，所以，， 所以，即. 【小问2详解】 ①在四边形中，，则. 在四边形中，， 所以. 又，，所以，， 所以，即. ② . 19. 已知函数. （1）若为锐角，，求的值； （2）在中，若，，是的中点，且，求的面积； （3）若对于任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由同角三角函数关系求出，利用计算即可. （2）由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. （3）将不等式化简，分离参数得到，结合二倍角公式及正切型函数值域求解即可. 【小问1详解】 . 由，得. 因为为锐角，，则，所以. 所以. 故. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 又，所以，所以，解得. 又，则， 设，，则，即. 由余弦定理得，，即. 两式联立可得. 所以. 【小问3详解】 ，， 原不等式可化为对任意恒成立. 因为，所以， 则不等式可化为对任意恒成立，即即可. 令，则. 又，则，，所以. 所以. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $