精品解析：天津市红桥区新华中学和苑学校2025-2026学年高一年级第二学期第一次阶段性练习反馈数学试题

天津市红桥区新华中学和苑学校2025-2026学年高一年级第二学期第一次阶段性练习反馈数学试题 一、填空题．（每空3分，共60分） 1. 已知，，，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】． 2. 在中，，则角__________. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理得， 因为，所以. 3. 在中，已知，，，则角的度数为______． 【答案】30° 【解析】 【分析】 利用正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理， 得， 又因为，故． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【详解】 ． 5. 已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解. 【详解】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为： 6. 在中，，，，则等于__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以由得，解得， 因为，所以． 7. 在中，，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由余弦定理得，，则，解得， 则的面积为. 8. 点是的重心，用和表示，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图，是的三条中线，则， 因为是重心，所以， 所以． 9. 已知正六边形的边长为1，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【详解】由正六边形的特点可知，，，则， 所以. 10. 已知与的夹角为，则__________. 【答案】2 【解析】 【详解】. 11. 若为两两夹角都是的三个单位向量，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是单位向量，所以，且两两夹角为， 所以，， \， 所以 ． 12. 已知向量与的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是__________． 【答案】 【解析】 【详解】向量在方向上的投影向量为． 13. 已知，，且与不共线．若向量与互相垂直，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量与互相垂直，所以，即， 所以，解得． 14. 如图，在平行四边形中，于，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 设和相交于点， 因为是平行四边形，所以， 所以， 因为，，所以，， 所以． 15. 在中，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，，可得，即， 在中，，则， 则， 由正弦定理得，，则，解得. 16. 在下列命题中： ①若，且，则或； ②若，则或； ③若不平行的两个非零向量，满足，则； ④若与平行，则； ⑤；⑥若非零向量满足，则的夹角为钝角. 其中正确命题的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据向量数乘的定义可判断①；根据向量数量积的定义可判断②④⑥；根据向量数量积的运算律可判断③⑤. 【详解】对于①，若，且，则或，故①正确； 对于②，若，则或或，故②错误； 对于③，若不平行的两个非零向量，满足， 则，故③正确； 对于④，若与平行，则，故④正确； 对于⑤，，而，故⑤错误； 对于⑥，当方向相反时，，此时的夹角不为钝角，故⑥错误. 17. 在中，是边的中点，是线段的中点，设，，用表示__________；若，的面积为，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】 对于第一空， 因为是边的中点，所以， 又因为是线段的中点，所以， 所以． 对于第二空， 因为，所以， 因为，所以， 因为，， 所以 ， 由，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 18. 在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示__________.若，则余弦值的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空使用向量线性运算求解即可；第二空以为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可. 【详解】如图， 由已知，得 ， 所以， 设，即的夹角为， ， ∴若，则， ∴， 又∵， ∴由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：，. 二、解答题．（共30分，其中19题8分，20题10分，21题12分） 19. 已知非零向量、，满足，，且． （1）求向量、的夹角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对化简结合可得，然后利用结合数量积的定义可求得答案， （2）先求出，然后平方可得结果 【小问1详解】 ∵， ∴，即， 又，∴，设向量、的夹角为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即向量、的夹角为； 【小问2详解】 ∵ ∴． 20. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 21. 在中，，，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和将化为，再由正弦定理实现边角互化，约去后得到，结合角的范围求出． （2）由用表示，代入余弦定理得到关于的一元二次方程，解出正根后再算出． （3）先用余弦定理与同角关系求出，再用二倍角公式算，最后代入两角差的正切公式化简得出结果． 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 即， 又因为，所以， 所以，所以， 又，所以． 【小问2详解】 ，，， 由，得， 解方程得，（舍去）， 所以． 【小问3详解】 ，，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 由，得，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市红桥区新华中学和苑学校2025-2026学年高一年级第二学期第一次阶段性练习反馈数学试题 一、填空题．（每空3分，共60分） 1. 已知，，，则的坐标为__________． 2. 在中，，则角__________. 3. 在中，已知，，，则角的度数为______． 4. 化简：__________． 5. 已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 6. 在中，，，，则等于__________． 7. 在中，，则的面积为__________. 8. 点是的重心，用和表示，则__________． 9. 已知正六边形的边长为1，则__________. 10. 已知与的夹角为，则__________. 11. 若为两两夹角都是的三个单位向量，则__________. 12. 已知向量与的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是__________． 13. 已知，，且与不共线．若向量与互相垂直，则__________． 14. 如图，在平行四边形中，于，且，则__________． 15. 在中，，则__________. 16. 在下列命题中： ①若，且，则或； ②若，则或； ③若不平行的两个非零向量，满足，则； ④若与平行，则； ⑤；⑥若非零向量满足，则的夹角为钝角. 其中正确命题的序号是__________． 17. 在中，是边的中点，是线段的中点，设，，用表示__________；若，的面积为，则的最小值为__________． 18. 在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示__________.若，则余弦值的最小值为__________. 二、解答题．（共30分，其中19题8分，20题10分，21题12分） 19. 已知非零向量、，满足，，且． （1）求向量、的夹角； （2）求． 20. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 21. 在中，，，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $