10.1.3 古典概型 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 10.1.3《古典概型》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“概率”主题，学生应能够：结合具体实例，理解古典概型的两个特征（有限性、等可能性），掌握古典概型的概率计算公式，能计算简单随机事件的概率，会用列举法（包括树状图、列表法）确定样本点个数. 课标分析： 本节课是概率计算的核心内容.课标强调“理解”与“掌握”，教学中应从抛硬币、掷骰子等生活实例出发，引导学生归纳出古典概型的两个核心特征，然后给出概率公式 ，并通过大量典型例题让学生掌握用列举法、树状图、图表法来准确计数.重点在于古典概型的判断和公式应用，难点是有放回与无放回、有序与无序等条件下的样本空间计数.本节课对培养数学抽象、数学运算和数学建模素养具有重要作用. 2、 教材分析 “古典概型”是人教A版必修第二册第十章第1.3节内容.教材通过抛硬币、掷骰子、摸球等试验，引导学生归纳出古典概型的两个特征：样本空间仅有有限个样本点；每个样本点发生的可能性相等.在此基础上给出概率计算公式，并安排例题涵盖不放回抽样、有放回抽样、正方体涂色等不同情景.本节内容是学习概率加法公式、条件概率等的基础. 3、 学情分析 学生已经学习了样本空间与随机事件，能够用集合语言描述随机试验的结果，对等可能性有一定直观认识.但学生容易忽略等可能性条件，对“有序” “无序” “有放回” “无放回”的计数容易混淆.此外，当样本空间较大时，学生可能不擅长用树状图或表格系统列出所有结果.因此教学中应通过对比实例和直观图示，帮助学生建立清晰的计数框架. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从抛硬币、掷骰子等具体试验中抽象出古典概型的共同特征，构建概率模型. 1. 逻辑推理素养：能依据古典概型的两个特征判断试验是否属于古典概型，并能正确运用概率公式进行推导计算. 1. 数学运算素养：能熟练运用列举法、树状图、列表法计算样本空间与事件所包含的样本点个数，并能准确计算概率（结果化为最简分数）. 1. 直观想象素养：能用树状图和表格直观表示样本空间，体会数形结合思想. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如抽奖、游戏公平性、产品质量抽样等）抽象为古典概型模型，并求解相应概率. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：古典概型的定义、两个特征及概率计算公式；用列举法求样本空间与事件包含的样本点个数. 1. 难点：区分有序与无序、有放回与无放回等不同条件下的计数，准确判断一个试验是否为古典概型. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题（黑板或PPT）： （1）古典概型的两个特征： ① 样本空间的样本点只有______个（______性）； ② 每个样本点出现的______相等（______性）. 答案：有限；有限；可能性；等可能. （2）古典概型的概率计算公式：设试验的样本空间 有 个样本点，事件 包含 个样本点，则 ______. 答案：. （3）从 1,2,3,4 中任取一个数，取到偶数的概率是______. 答案：. （4）判断下列试验是否为古典概型： ① 抛一枚不均匀的硬币，观察正反面.（ ） ② 从区间 中任取一个数.（ ） ③ 在 10 件产品中随机抽取 1 件，检验是否为合格品（假设每件产品被抽到的概率相等）.（ ） 答案：①×（不等可能）；②×（样本点无限）；③√. 2. 请学生回答，教师点评并强调：古典概型必须同时满足“有限性”和“等可能性”. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 请回忆样本空间和随机事件的概念.抛一枚均匀硬币，样本空间是什么？每个结果的可能性是否相等？掷一颗均匀骰子呢？ 2.学生回答后，教师指出：像这样具有有限个等可能结果的概率模型，就是本节课要学习的古典概型. 环节三：合作探究 1. 古典概型的定义与特征（5分钟） 教师展示三个实例（可口头描述）： ① 抛一枚均匀硬币，观察正面或反面； ② 掷一颗均匀骰子，观察点数； ③ 一个袋中有3个红球、2个白球，除颜色外完全相同，随机摸一个球，观察颜色. 引导学生讨论：这些试验的样本空间有哪些共同特点？ 学生归纳：样本空间只有有限个结果，且每个结果出现的可能性相同. 教师给出定义：具有上述两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型. 强调：仅满足有限性但不满足等可能性的试验（如种子的发芽试验）不是古典概型；样本点无限的情形也不是. 2. 概率公式推导与理解（5分钟） 以抛硬币为例：正面反面，，事件 “正面朝上”包含 1 个样本点，则 . 以掷骰子为例：，，事件 “出现偶数点”包含 ，共 3 个样本点，则 . 归纳出一般公式：. 教师强调：计算的关键是正确求出 和 ，必须做到不重不漏. 3. 计数方法示例（5分钟） 教师以“从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母，求取出的字母中含有 a 的概率”为例，示范步骤： ① 判断是否为古典概型（是）； ② 列举样本空间 ，； ③ 事件 {ab,ac,ad}，； ④ . 介绍树状图法和列表法（口述）用于样本点较多的情况，并强调“有序”与“无序”的区别. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列概率模型是否为古典概型，并说明理由. （1）投掷一枚质地均匀的硬币，观察朝上的面； （2）在适宜条件下种下一粒种子，观察它是否发芽； （3）从 10 张不同的彩票中随机抽取 1 张，观察是否中奖（假设只有 1 张中奖且每张被抽到的概率相等）； （4）向一个半径为 1 的圆内随机投点，观察点与圆心的距离. 答案：（1）是（有限且等可能）；（2）不是（等可能性不成立）；（3）是（有限且等可能）；（4）不是（样本点无限）. 例2：从 1,2,3,4,5 中随机取一个数，求： （1）取到奇数的概率； （2）取到大于 3 的数的概率. 解：，. （1）事件 ，，. （2）事件 ，，. 例3：一个袋中装有 3 个红球和 2 个白球，它们除颜色外完全相同.从中随机摸出 1 个球，求摸到红球的概率. 解： 包含 5 个球，，事件 “摸到红球”包含 3 个样本点，. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列试验中，属于古典概型的有（ ） A. 抛掷一枚均匀的硬币两次，观察正反面出现的情况 B. 一个口袋中有 2 个白球和 2 个黑球，除颜色外完全相同，从中任取 1 个球 C. 某射击运动员打靶，命中 10 环、9 环、…、0 环的概率 D. 从 1,2,3,4 中任取两个不同的数（不考虑顺序） 答案：A、B、D 解析：A 有限且等可能；B 有限且等可能；C 各环概率一般不等；D 有限且等可能. 例5：袋中有 3 个红球（编号 1,2,3）和 2 个白球（编号 4,5）. （1）从中一次任取 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率； （2）从袋中先后不放回取两次，每次取 1 个球，求“第一次取到红球，第二次取到白球”的概率. 解： （1）一次性取 2 个球（无序），.事件 “两个都是红球”包含 种，. （2）不放回有序抽取，.事件 “第一次红球，第二次白球”：第一次红球 3 种，第二次白球 2 种，共 种，. 例6：同时抛掷两颗质地均匀的骰子，求： （1）点数之和为 7 的概率； （2）点数之积为 12 的概率. 解：有序数对 ，，. （1）事件 ，，. （2）事件 ，，. 例7：一个盒子里装有 4 个白球和 3 个黑球，每次取一个球，不放回，连续取两次.求： （1）第一次取到白球且第二次取到黑球的概率； （2）两次取到的球颜色相同的概率. 解：有序抽取，. （1）事件 ：第一次白球 4 种，第二次黑球 3 种，共 种，. （2）事件 “颜色相同”包含“白白”和“黑黑”： “白白”： 种；“黑黑”： 种；共 种，. 例8：将棱长为 3 的正方体表面涂色，然后锯成 27 个棱长为 1 的小正方体.从这些 27 个小正方体中随机取一个，求： （1）三面涂有颜色的概率； （2）两面涂有颜色的概率； （3）一面涂有颜色的概率； （4）各面都没有涂色的概率. 解：锯成 27 个小正方体，其中： 三面涂色（顶点处）：8 个； 两面涂色（棱上但非顶点）：每条棱上 1 个（共 12 条棱），共 12 个； 一面涂色（面中心但非棱）：每个面中心 1 个（共 6 个面），共 6 个； 无涂色（内部中心）：1 个（因为 ）. . （1）三面涂色概率 ； （2）两面涂色概率 ； （3）一面涂色概率 ； （4）各面无涂色概率 .（注意：概率之和为 1.）. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 古典概型的两个特征（有限性、等可能性）. (2) 古典概型的概率公式 . (3) 计数时的注意事项：有序/无序，有放回/无放回. (4) 不是所有涉及概率的问题都是古典概型. 2.教师强调：使用公式前必须先验证试验满足古典概型条件，列举样本点时要防止重复或遗漏. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第237页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《古典概型》. 1. 拓展作业： 从 1,2,3,4,5 中随机取两个不同的数（无序），求它们的和为偶数的概率. 1. 预习引导： 预习下一节“概率的基本性质”，学习互斥事件的概率加法公式. 授课人个案修改记录： 本节课通过抛硬币、掷骰子、摸球等丰富实例，学生能够顺利归纳出古典概型的两个核心特征.在公式应用环节，利用“从字母中取两个”等例题，培养了学生列举样本空间的能力.通过有放回与无放回、有序与无序的对比练习，学生逐步掌握了不同条件下计数的差异.练习中设计了判断、填空、解概率题等多种题型，并使用了分数表示概率，书写规范.不足之处：部分学生在复杂计数时仍易遗漏或重复，后续可加强利用树状图、列表法的训练；另外，对“等可能性”的判断仍需更多反例强化.整体上，本节课为后续概率知识的学习打下了扎实基础. 学科网（北京）股份有限公司 $