第四章 三角形 习题课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 第7课 探索三角形全等的条件(3)—— SAS 　　 　　1． 如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，则 △ACD≌△AEB的依据是（　C　） A． ASA B． AAS C． SAS D． SSS C 　　2．如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD． 若BD＝3，AD＝4，则CD ＝ ⁠． 3 　　3．如图，AB和CD相交于点O，且点O分别是AB，CD的中点．试 说明：△AOC≌△BOD． 　　解：因为点O分别是AB，CD的中点， 　　所以AO＝BO，CO＝DO. 　　在△AOC和△BOD中， 　　所以△AOC≌△BOD(SAS)． 　　 　　4． 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE ＝65°，则∠A＝（　A　） A． 50° B． 55° C． 60° D． 65° A 　　5．(北师七下P106习题T5改编)如图，AD＝AB，BC＝DC． 试说 明：DE＝BE. 　　解：在△ABC和△ADC中， 　　所以△ABC≌△ADC(SSS)． 　　所以∠BAC＝∠DAC，即∠BAE＝∠DAE. 　　在△ADE和△ABE中， 　　所以△ADE≌△ABE(SAS)． 　　所以DE＝BE. 　　6． 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，∠1＝ 25°，∠2＝30°. 　　(1)试说明：△ABE≌△ACD； 　　解：因为∠BAC＝∠EAD，∠BAC＝∠BAE＋∠CAE，∠DAE＝∠1＋∠CAE， 　　所以∠1＝∠BAE. 　　在△ABE和△ACD中， 　　所以△ABE≌△ACD(SAS)． 　　(2)求∠3的度数． 　　解：由(1)，得△ABE≌△ACD． 　　所以∠ABE＝∠2＝30°，∠BAE＝∠1＝25°. 　　因为在△ABE中，∠BAE＋∠ABE＋∠BEA＝180°， 　　所以∠BEA＝180°－∠BAE－∠ABE＝125°. 　　所以∠3＝180°－∠BEA＝55°. 　　6． 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，∠1＝ 25°，∠2＝30°. $第四章 三角形 第4课 全等三角形 　　 　　1． 如图，△ABC≌△BAD，点A，C的对应点分别是点B，D，若 AB＝9，BC＝8，AC＝6，则BD＝（　A　） A． 6 B． 9 C． 8 D． 无法确定 A 　　2．如图，将△ABC沿AC翻折后，点B与点E重合，则图中全等三 角形有（　C　） A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对 C 　　3．已知△DEF≌△MNP，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12，求 ∠P的度数和DE的长． 　　解：因为△DEF≌△MNP，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12， 所以∠P＝∠F＝180°－∠D－∠E＝80°，DE＝MN＝12. 　　4．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上． 　　(1)若∠BED＝130°，∠D＝70°，求∠ACB的度数； 　　解：因为∠BED＝130°， 　　所以∠DEF＝180°－130°＝50°. 　　所以∠F＝180°－∠D－∠DEF＝180°－70°－50°＝60°. 　　因为△ABC≌△DEF， 　　所以∠ACB＝∠F＝60°. 　　(2)若2BE＝EC，EC＝6，求BF的长． 　　解：因为2BE＝EC，EC＝6，所以BE＝3.所以BC＝9. 　　因为△ABC≌△DEF，所以EF＝BC＝9. 　　所以BF＝EF＋BE＝12. 　　 　　5． 如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE＝ ⁠°. 28 　　6．如图，点D，E是AB，AC边的中点，DE∥BC，将三角形纸片 ABC沿线段DE折叠，点A落在BC边上的点A′处，若∠B＝55°，则 ∠BDA′＝ ⁠°. 70 　　7．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD≌△EBC，AB＝2 cm，BC＝5 cm. 　　(1)求DE的长； 　　解：因为△ABD≌△EBC， 　　所以BD＝BC＝5 cm，BE＝AB＝2 cm. 　　所以DE＝BD－BE＝3(cm)． 　　(2)DB与AC垂直吗？为什么？ 　　解：DB与AC垂直．理由如下： 　　因为△ABD≌△EBC， 　　所以∠ABD＝∠EBC． 　　因为点A，B，C在一条直线上， 　　所以∠ABD＋∠EBC＝180°. 　　所以∠EBC＝90°，即DB与AC垂直． 　　7．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD≌△EBC，AB＝2 cm，BC＝5 cm. 　　 　　8． 如图，已知△AOB≌△COD，BC＋CD＝4，求△AOB的周 长． 　　解：因为△AOB≌△COD，所以OA＝OC，AB＝CD． 　　所以△AOB的周长为AB＋OA＋BO＝CD＋OC＋BO＝CD＋BC＝4. $第四章 三角形 第3课 认识三角形(3)—— 三角形中几条重要线段 　　 　　1． 下列利用三角板过点P画直线AB的垂线CD，正确的是 （　B　） A． B． C． D． B 　　2．已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为 15，则△BCD的周长为 ⁠． 　　3． (凉山州中考)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝ 80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数 是 ⁠. 11 100° 　　4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上有E，D，F三 点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F. 　　(1)以AD为中线的三角形是 ，以AE为角平分线的三角形 是 ，以AF为高线的钝角三角形有 ⁠个； △ABC △ABD 3 　　(2)若∠B＝35°，∠BAD＝40°，求∠DAF的度数． 　　解：因为AF⊥BC， 　　所以∠AFB＝90°. 　　因为∠B＝35°，∠AFB＝90°， 　　所以∠BAF＝180°－∠B－∠AFB＝55°. 　　因为∠BAD＝40°， 　　所以∠DAF＝∠BAF－∠BAD＝15°. 　　 　　5． 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，点E是AC的中 点，AD，BE，CF交于点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则 S△ABC＝ ，S△AGE＝ ⁠． 30 3 　　6．创新实践如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图(折叠后 点C落到点C′处)，则甲折出的AD是△ABC中 ⁠，乙 折出的AD是△ABC中 ，丙折出的AD是△ABC 中 ．(横线上填哪条边上的高或哪条边上的中线 或哪个角的平分线) BC边上的高 ∠BAC的平分线 BC边上的中线 　　 　　7． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P为边BC 上一动点，且PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F. 若S△ABC＝48，求PE ＋PF的值． 　　解：如图，连接AP， 　　则S△ABC＝S△ABP＋S△ACP. 　　因为PE⊥AB，PF⊥AC， 　　所以S△ABP＝AB·PE， 　　S△ACP＝AC·PF. 　　所以AB·PE＋AC·PF＝S△ABC＝48. 　　所以×10·(PE＋PF)＝48. 　　所以PE＋PF＝. $第四章 三角形 第6课 探索三角形全等的条件(2)—— ASA，AAS 　　 　　1． 如图，用∠BDA＝∠CDA，∠1＝∠2，直接判定 △ABD≌△ACD的理由是（　C　） A． AAS B． SSS C． ASA D． 以上都正确 C 　　2．如图，下列三角形与△ABC全等的是（　C　） A． B． C． D． C 　　3.如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD相交于点O，则能直 接运用“AAS”判定全等的三角形是（　D　） A． △AOD≌△AOB B． △AOD≌△COD C． △ADC≌△DAB D． △AOB≌△DOC D 　　4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻 璃店去配一块完全一样的玻璃，则最省事的办法是（　C　） A． 带①去 B． 带②去 C． 带③去 D． 带①②去 C 　　5．如图，已知点E，F为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝ CF，试说明：△ADF≌△CBE. 　　解：因为AD∥BC，所以∠A＝∠C． 　　因为AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 　　在△ADF和△CBE中， 　　所以△ADF≌△CBE(ASA)． 　　 　　6． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3 cm，过点C作AB的 垂线，垂足为D，点E在AC上，且CE＝3 cm，过点E作AC的垂线交CD 的延长线于点F. 若EF＝7 cm，则AE的长为 ⁠cm. 4 　　7．一题多解如图，AD是△ABC的中线，过点C作CE∥AB，交AD 的延长线于点E. 试说明：AD＝ED． 　　法1：解：因为AD是△ABC的中线， 　　所以BD＝CD． 　　因为AB∥CE， 　　所以∠B＝∠ECD． 　　在△ABD和△ECD中， 　　所以△ABD≌△ECD(ASA)． 　　所以AD＝ED． 　　法2：解：因为AD是△ABC的中线， 　　所以BD＝CD． 　　因为AB∥CE，所以∠BAD＝∠E. 　　在△ABD和△ECD中， 　　所以△ABD≌△ECD(AAS)． 　　所以AD＝ED． 　　7．一题多解如图，AD是△ABC的中线，过点C作CE∥AB，交AD 的延长线于点E. 试说明：AD＝ED． 　　 　　8． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝40°，点M在线 段BC上运动(M不与B，C重合)，连接AM，作∠AMN＝40°，MN交线 段AC于N，当MC＝ 时，△ABM≌△MCN. 3 $第四章 三角形 第1课 认识三角形(1)—— 三角形及其内角和 　　 　　1． 若△ABC中两个内角的度数分别为70°和25°，则△ABC 是 三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 　　2． 已知在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C＝ （　A　） A． 32° B． 36° C． 40° D． 128° 锐角 A 　　3．(长沙中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°， AD∥BC，则∠1的度数为（　C　） A． 50° B． 60° C． 70° D． 80° C 　　4．如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则 这个三角形是（　C　） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 无法确定 C 　　5．如图，DH⊥AB于点H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E， 仔细观察图形，回答以下问题： 　　(1)∠AEH和∠B是什么关系？为什么？ 　　解：∠AEH＝∠B． 理由如下： 　　因为DH⊥AB，AC⊥BD， 　　所以∠AEH＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°. 　　所以∠AEH＝∠B． 　　(2)若∠B＝70°，则∠A和∠CED各是多少度？ 　　解：由(1)知∠B＋∠A＝90°. 　　所以∠A＝90°－∠B＝90°－70°＝20°. 　　由(1)知∠AEH＝∠B． 所以∠AEH＝70°. 　　所以∠CED＝∠AEH＝70°. 　　 　　6． 在下列条件①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝ 1∶2∶3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（　B　） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 B 　　7．如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点 B，C，D在同一条直线上，DF∥EC，∠D＝42°，求∠B的度数． 　　解：因为DF∥EC，所以∠BCE＝∠D＝42°. 　　因为CE是∠ACB的平分线，所以∠ACE＝∠BCE＝42°. 　　所以∠ACB＝84°. 　　因为∠A＝46°， 　　所以∠B＝180°－46°－84°＝50°. 　　 　　8． 分类讨论如图，已知点P是射线ON上一动点(即点P可在射线 ON上运动)，∠AON＝40°.当∠A＝ 时，△AOP为直角 三角形． 90°或50° $第四章 三角形 第2课 认识三角形(2)—— 三角形的三边关系 　　 　　1． 如图，在△AOB中，OA＝OB． 　　(1)腰是 ⁠， 　　底边是 ⁠； 　　(2)顶角是 ⁠， 　　底角是 ．⁠ OA，OB AB ∠O ∠A，∠B 　　2．一个三角形两边长分别是3和8，第三边长为奇数，则第三边长 为 ⁠． 　　3． (北师七下P89例题变式)有长为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的四根 木棒，选其中的三根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是 （　C　） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 7或9 C 　　4．分类讨论一个等腰三角形的周长是28 cm.已知其中一边长为6 cm，求其他两边长． 　　解：当腰长为6 cm时， 　　则底边长为28－6－6＝16(cm)． 　　因为6＋6＜16，所以不能构成三角形． 　　当底边长为6 cm时，则腰长为(28－6)÷2＝11(cm)． 　　因为6 cm，11 cm，11 cm能构成三角形， 　　所以其他两边长是11 cm，11 cm. 　　5．某天，所有文具聚在一起开起了茶话会．如图，圆规先生的话 引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明 理由． 　　解：不合理．理由如下： 　　圆规先生的两腿及它所画的圆的一条半径组成了一个三角形．设它 所画的圆的半径为r cm，根据三角形的三边关系，得r<9＋9＝18.所以r 不可能为20.所以圆规先生的话不合理． 　　 　　6． 如图，数轴上A，B两点到原点的距离分别是三角形两边的长， 则该三角形第三边长可能是（　B　） A． －5 B． 4 C． 7 D． 8 B 　　7．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长 是x. 　　(1)直接写出c及x的取值范围． 　　解：因为a＝4，b＝6，所以2＜c＜10. 　　所以周长x的取值范围为12＜x＜20. 　　(2)若x是小于18的偶数． 　　①求c的长； 　　②判断△ABC的形状． 　　解：①因为周长为小于18的偶数， 　　所以x＝16或14. 　　当x＝16时，c＝6；当x＝14时，c＝4. 　　所以c的长为6或4. 　　②△ABC是等腰三角形． 　　当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形； 　　当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形． 　　综上所述，△ABC是等腰三角形． 　　 　　8． 如图，用四颗螺丝将四根不能弯曲的木条围成一个木框，不计 螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4，6，8，且相邻两根木 条的夹角均可以调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗 螺丝的距离的最大值为 ⁠． 10 $第四章 三角形 第5课 探索三角形全等的条件(1)—— SSS 　　 　　1． 已知三角形的三边作三角形，用到的基本作图是（　C　） A． 作一个角等于已知角 B． 作已知直线的垂线 C． 作一条线段等于已知线段 D． 作一条线段等于已知线段的和 C 　　2．如图，已知AB＝DC，则要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，还需 添加的条件是 ⁠ AC＝DB． 　　3．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶 点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD． 由作 法，得△ABC≌△CDA的根据是 ． ⁠ SSS 　　4．已知△ABC的三边长分别是3，5，7，△DEF的三边长分别为 3，3x－2，2x－1.若要使△ABC和△DEF全等，则x＝（　B　） A． B． 3 C． 4 D． 5 B 　　5．如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝DF，BE＝CF，AC ＝BD． 试说明：AE∥DF. 　　解：因为AC＝BD， 　　所以AC－BC＝BD－BC． 　　所以AB＝CD． 　　在△ABE和△DCF中， 　　所以△ABE≌△DCF(SSS)． 　　所以∠A＝∠D． 所以AE∥DF. 　　 　　6． 如图是一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上木条 的根数为（　C　） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 C 　　7．如图，已知AB＝AC，AE＝AD，点B，D，E，C在同一条直线 上，要利用“SSS”推理得出△ABE≌△ACD，还可以添加的条件是 ⁠ ⁠. 　　(1)BD＝DE; (2)BD＝CE； 　　(3)DE＝EC; (4)BE＝CD． (2) 或(4) 　　选择一种写出推理过程． 　　解：当BD＝CE时，BD＋DE＝CE＋DE，即BE＝CD． 　　在△ABE和△ACD中， 　　所以△ABE≌△ACD(SSS)． 　　(当BE＝CD时，推理过程略) 　　 　　8． (易错题)在如图所示的6×5的方格中，每个小方格都是边长为1 的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与 △ABC有一条公共边BC且全等的格点三角形有 ⁠个． 3 $第四章 三角形 第8课 利用三角形全等测距离 　　 　　1． 利用三角形全等测量距离的原理是（　B　） A． 全等三角形对应角相等 B． 全等三角形对应边相等 C． 大小和形状相同的两个三角形全等 D． 三边对应相等的两个三角形全等 B 　　2．如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在同一条东西走向 公路的沿线上，BD＝1千米，CD＝1千米，村庄A，C和A，D间也有公 路相连，且AC＝3千米，AD⊥BC，A，B之间间隔了一个小湖泊，所以 无直接相连的公路．现决定在湖面上建一座斜拉桥EF，测得AE＝1.2千 米，BF＝0.7千米，则建造的斜拉桥EF的长至少为 ⁠千米． 1.1 　　3．小明利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁 厚时，用“X型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB ＝OC，测得AB＝7 cm，EF＝8 cm，小明很快就计算出保温杯的壁厚， 请你帮助小明写出完整的解答过程． 　　解：在△AOB和△DOC中， 　　所以△AOB≌△DOC(SAS)．所以AB＝CD＝7 cm. 　　因为EF＝8 cm， 　　所以保温杯的壁厚为＝0.5(cm)． 　　 　　4． 如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5.延长BC到点E，使 CE＝2，连接DE. 动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 BCDA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为 ⁠时， △ABP和△DCE全等． 1或6 　　5． 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在 地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住他后用力一推，爸爸 在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为 1.6 m和2 m，∠BOC＝90°. 　　(1)△OBD与△COE全等吗？请说明理由． 　　解：(1)△OBD≌△COE. 理由如下： 　　由题意，知∠BDO＝90°＝∠OEC，OB＝OC． 　　因为∠BOC＝90°，所以∠BOD＋∠OBD＝90° ＝∠BOD＋∠COE，即∠OBD＝∠COE． 　　在△OBD和△COE中， 　　所以△OBD≌△COE(AAS)． 　　(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 　　解：(2)由(1)，知△OBD≌△COE. 　　所以OE＝BD＝1.6 m，OD＝CE＝2 m. 　　由题意，知FD＝1.2 m. 　　所以FE＝FD＋OD－OE＝1.6(m)． 　　所以爸爸是在距离地面1.6 m的地方接 住小明的． $