湖南长沙市长郡中学2026届高考数学科目冲刺试卷（2）

**基本信息** 长郡中学2026高考数学冲刺卷，覆盖集合、导数、概率等核心知识，通过校园套餐选择（第19题）等真实情境考查数学建模与逻辑推理，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、向量|基础概念辨析，如第1题集合子集分类讨论| |多项选择题|3/18|三角函数、不等式|多维度考查，如第10题结合基本不等式与指数运算| |填空题|3/15|概率、导数、立体几何|创新情境，如第14题折叠六面体与内切球表面积| |解答题|5/77|解三角形、导数证明、概率统计|综合应用，第19题以校园套餐为背景构建概率模型，第18题导数证明考查逻辑推理|

长郡中学2026年高考数学科目冲刺试卷（2） 数 学 注意事项： 1．全卷满分150分，时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1，已知集合A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B⊆A，则实数m＝(　　) A．2 　 B．1 C．1或2 　 D．0或1或2 2，已知复数z＝(1＋i)·(m－2i)在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) 　 B．(0，2) C．(－2，2) 　 D．(－∞，－2) 3，已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－a)＝(　　) A．－4　　　　　　 B．3－4 C．－2 　 D．1 4，“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充分不必要条件是(　　) A．a≠0且b＝0 　 B．b＝0 C．a＝1且b＝0 　 D．a＝b＝0 5，已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率e＝，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋y2＝1　　　 B．＋y2＝1 C．＝1 　 D．＝1 6，若(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(　　) A．1 　 B．－1 C．15 　 D．－15 7，,已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝，则Tn取最大值时n的值为(　　) A．3 　 B．6 C．4或5 　 D．6或7 8，已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－e2] 　 B．(－∞，－e] C．[－2，－1] 　 D．(－∞，－2] 2， 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得部分分. 9，若函数f (x)＝cos ，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的一个周期是2π B．f (x)的图象关于直线x＝对称 C．f (x)的一个零点为 D．f (x)在上单调递减 10，已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则(　　) A．xy≤ 　 B．4x＋2y≥4 C．x2＋ 　 D． 11，已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)，若f (3－x)，g均为奇函数，则(　　) A．f (3)＝0　　　　　　 　 B．g(3)＝0 C．f ＝f 　 D．g(5)＝－g(8) 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12，已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ________． 13，若定义在R上的函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)＞0，f (0)＝1，则不等式f (x)＞e2x的解集为________． 14，如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a sin B＝b cos A. (1)求A； (2)若∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，求△ABC面积的最小值． 16，如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，CD＝2，PD⊥BC，AC⊥PB． (1)求证：PD⊥平面ABCD； (2)若二面角D­PB­C的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 第16题图 17，已知O为坐标原点，F为椭圆C：＋＝1的上焦点，椭圆C上一点A在第一象限，且OA＝. (1)求直线AF的方程； (2)设直线l的方向向量a与共线，直线l交椭圆C于M，N两点，求△OMN面积的最大值． 18，已知函数f (x)＝x2＋2x－2xex. (1)求函数f (x)的极值； (2)当x＞0时，求证：f (x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x. 19，随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率； (2)证明：数列为等比数列； (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值. 答案 1，已知集合A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B⊆A，则实数m＝(　　) A．2 　 B．1 C．1或2 　 D．0或1或2 D　[因为A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}， 若B⊆A，则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}， 当B＝∅时，m＝0， 当B＝{1}时，m＝2， 当B＝{2}时，m＝1.故选D.] 2，已知复数z＝(1＋i)·(m－2i)在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) 　 B．(0，2) C．(－2，2) 　 D．(－∞，－2) A　[z＝(1＋i)·(m－2i)＝m＋2＋(m－2)i，对应点(m＋2，m－2)，由于点(m＋2，m－2)在第一象限，所以解得m>2.故选A.] 3，已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－a)＝(　　) A．－4　　　　　　 B．3－4 C．－2 　 D．1 A　[a·(b－a)＝a·b－a2＝2×1×cos －22＝－4，故选A.] 4，“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充分不必要条件是(　　) A．a≠0且b＝0 　 B．b＝0 C．a＝1且b＝0 　 D．a＝b＝0 C　[因为“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充要条件是“a≠0且b＝0”， “a＝1且b＝0”是“a≠0且b＝0”的充分不必要条件， 所以“a＝1且b＝0”是“复数z＝ai＋b(a，b∈R)为纯虚数”的充分不必要条件．故选C.] 5，已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率e＝，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋y2＝1　　　 B．＋y2＝1 C．＝1 　 D．＝1 C　[由于2c＝2，所以c＝1，因为e＝＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝3. 所以椭圆的标准方程为＝1.故选C.] 6，若(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(　　) A．1 　 B．－1 C．15 　 D．－15 A　[由于(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0， 故令x＝－1，可得a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－1＋2)4＝1.故选A.] 7，,已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝，则Tn取最大值时n的值为(　　) A．3 　 B．6 C．4或5 　 D．6或7 C　[an＝a1qn-1＝16×＝24×21-n＝25-n， 故Tn＝a1a2…an＝24×23×…×25-n ＝24+3+…+5-n＝＝＝， 因为n∈N*，所以当n＝4或5时，Tn取得最大值． 故选C.] 8，已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－e2] 　 B．(－∞，－e] C．[－2，－1] 　 D．(－∞，－2] D　[由题意知，函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2ax＋＝，又a≤－1，故f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，不妨设x1≥x2，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，即f (x1)－f (x2)≤4(x2－x1)，f (x1)＋4x1≤f (x2)＋4x2，令g(x)＝f (x)＋4x，由上可知g(x)在(0，＋∞)上单调递减，则g′(x)＝2ax＋＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立， 从而a≤恒成立，设h(x)＝，h′(x)＝ ＝， 当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增， ∴h(x)min＝h＝－2，故a≤－2.故选D.] 9，若函数f (x)＝cos ，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的一个周期是2π B．f (x)的图象关于直线x＝对称 C．f (x)的一个零点为 D．f (x)在上单调递减 ABC　[显然A正确；令x＝，则f (x)＝cos ＝cos 3π＝－1，为最小值，故B正确；令x＝，则f (x)＝cos ＝0，故C正确；令2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，可知f (x)在上单调递减，在上单调递增，故D错误．] 10，已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则(　　) A．xy≤ 　 B．4x＋2y≥4 C．x2＋ 　 D． ABD　[因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥2，即xy≤，4x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝y时等号成立，A，B正确； 由不等式，得，所以4x2＋y2≥，即x2＋，当且仅当2x＝y时等号成立，C错误. 因为2x＋y＝3，所以＝(2x＋y)＝＋2＝，当且仅当y＝x时等号成立，D正确．故选ABD.] 11，已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)，若f (3－x)，g均为奇函数，则(　　) A．f (3)＝0　　　　　　 　 B．g(3)＝0 C．f ＝f 　 D．g(5)＝－g(8) AD　[∵f (3－x)，g均为奇函数， ∴f (3＋x)＝－f (3－x)，g＝－g，∴f (x)的图象关于点(3，0)对称，g(x)的图象关于点对称，∴A正确；∵g(x)＝f ′(x)， ∴g(x)的图象关于直线x＝3对称，B错误；∵g(x)图象关于点对称，又关于直线x＝3对称， ∴g(x)的周期为2，∴g(5)＝－g(0)，g(8)＝g(0)，∴g(5)＝－g(8)，D正确；∵f (3＋x)＝－f (3－x)， ∴f ＝－f ，C错误．故选AD.] 12，已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ________． 　[甲选2个去参观，有＝6(种)，乙选2个去参观，有＝6(种)，共有6×6＝36(种)， 若甲、乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有＝4(种)，然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有＝6(种)，共有4×6＝24(种)，则对应概率P＝＝.] 13，若定义在R上的函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)＞0，f (0)＝1，则不等式f (x)＞e2x的解集为________． (0，＋∞)　[构造F(x)＝， 则F′(x)＝＝， ∵函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)＞0， 则F′(x)＞0，F(x)在R上单调递增． 又∵f (0)＝1，则F(0)＝1，∴f (x)＞e2x⇔＞1⇔F(x)＞F(0)，根据单调性得x＞0．] 14，如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为________． 　[依题意，此六面体的表面积S＝6××12＝，边长为1的正三角形的外接圆半径r＝1×sin 60°×＝， 显然此六面体是棱长为1的两个正四面体共底面而成，此正四面体的高h＝＝， 因此此六面体的体积V＝2××12×＝，六面体内的小球表面积最大时，小球为六面体的内切球，设此内切球半径为R，于是V＝SR， 即有×R＝，解得R＝，所以小球的最大表面积为4πR2＝4π×＝.] 15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a sin B＝b cos A. (1)求A； (2)若∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，求△ABC面积的最小值． 【解析】因为a sin B＝b cos A，所以sin A sin B＝sin B cos A，又因为sin B≠0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即bc sin A＝×2×b sin ＋×2×c sin ＝(b＋c)，化简得bc×＝(b＋c)，所以bc＝2(b＋c)≥4，所以≥，所以bc≥，当且仅当b＝c＝时取“＝”，所以S△ABC＝bc sin A≥××＝，当且仅当b＝c＝时取“＝”，所以△ABC面积的最小值为. 16，如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，CD＝2，PD⊥BC，AC⊥PB． (1)求证：PD⊥平面ABCD； (2)若二面角D­PB­C的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 第16题图 (1)【证明】由tan ∠ADB＝，tan ∠ACD＝，得∠ADB＝∠ACD，所以∠BDC＋∠ADB＝∠BDC＋∠ACD＝，即AC⊥BD．又AC⊥PB，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD．又PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．又PD⊥BC，AC∩BC＝C，所以PD⊥平面ABCD． (2)【解析】如答图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz，设DP＝h，则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，h)，＝(0，2，－h)，＝(－，1，0)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝h，则x＝h，z＝2，所以n＝(h，h，2)，易知平面PBD的一个法向量为＝(－，2，0)，所以cos 〈n，〉＝＝＝，解得h＝，所以＝(，1，－)，易知AD⊥平面PCD，所以＝(，0，0)是平面PCD的一个法向量．设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈，〉＝，故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 17，已知O为坐标原点，F为椭圆C：＋＝1的上焦点，椭圆C上一点A在第一象限，且OA＝. (1)求直线AF的方程； (2)设直线l的方向向量a与共线，直线l交椭圆C于M，N两点，求△OMN面积的最大值． 【解析】(1)设A(x0，y0)(x0>0，y0>0)，因为OA＝，所以＝①.因为点A在椭圆C上，所以＋＝1②.由①②解得所以点A的坐标为.又因为F的坐标为(0，)，所以直线AF的方程为y＝－x＋. (2)因为直线l的方向向量a与共线，所以直线l与直线AF的斜率相等．因为直线AF的方程为y＝－x＋，所以设直线MN的方程为y＝－x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2).联立得5x2－2mx＋2m2－18＝0.由Δ＝4m2－20(2m2－18)>0，得－<m<，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以MN＝|x1－x2|＝·＝·＝·.因为O到直线MN的距离d＝＝|m|，所以S△OMN＝|MN|·d＝|m|＝≤·＝3，当且仅当m2＝10－m2，即m＝±时等号成立，所以△OMN面积的最大值为3. 18，已知函数f (x)＝x2＋2x－2xex. (1)求函数f (x)的极值； (2)当x＞0时，求证：f (x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x. (1)【解析】因为函数f (x)＝x2＋2x－2xex(x∈R)，所以f ′(x)＝2x＋2－2ex－2xex＝(2x＋2)(1－ex).由f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝0，列表如下： x (－∞，－1) －1 (－1，0) 0 (0，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以当x＝－1时，f (x)极小值＝f (－1)＝1－2＋2×＝－1；当x＝0时，f (x)极大值＝f (0)＝0. (2)【证明】要证f (x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x，即证2ex－x2－2x＞(x＞0).令g(x)＝2ex－x2－2x(x＞0)，h(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝2(ex－x－1)，令u(x)＝2(ex－x－1)(x>0)，则u′(x)＝2(ex－1)＞0，所以g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，g′(x)＞g′(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)＞g(0)＝2.由h′(x)＝，可得h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以h(x)≤h(e)＝2.所以g(x)＞h(x)在(0，＋∞)上恒成立，故2ex－x2－2x＞(x＞0).所以当x＞0时，f (x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x. 19，随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率； (2)证明：数列为等比数列； (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)33 【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”， 则“第1天不选择B套餐”. 根据题意可知：. 由全概率公式可得. （2）设“第天选择B套餐”，则， 根据题意. 由全概率公式可得 ，整理得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）第二天选择A类套餐的概率 由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为， 所以，则， 当取最大值时，则， 即，解得， 且，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $