精品解析：陕西省汉中中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试题

汉中中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试题 命题､审核：张娟 一､单选题（共8小题，每小题5分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】． 故选：B 2. 函数的简图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由cos（﹣x）＝cosx及余弦函数的图象即可得解． 【详解】由知，其图象和的图象相同， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题． 3. 已知某扇形的圆心角为，且该扇形的面积为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式列方程求解即可. 【详解】设该扇形的半径为， 则该扇形的面积为，解得. 故选：D. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】,, 所以 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助正切函数性质计算即可得. 【详解】， 由题意，，， 所以，. 6. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设与的夹角为，则，又因为，所以. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性比较即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增， 所以，，， 所以. 故选：D 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 8. 直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 是第四象限角 【答案】AB 【解析】 【分析】先由终边上点的坐标求出点到原点的距离，再分别代入正切、正弦、余弦的定义公式计算，同时根据点的坐标符号判断角所在的象限，逐一验证选项的正误. 【详解】因为角终边过点，所以点到原点的距离： ， 所以选项A： ，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：因为点在第三象限，所以是第三象限角，故D错误. 9. 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由当时，，根据时，函数值的范围不超过列不等式求解即可. 【详解】因为当时，， 要使有最大值，则时，函数值的范围不超过 可得 解得. 故选：A. 10. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可； 【详解】解：依题意，故A错误； ，故B正确； 因为，即， 所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为，所以，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数的一条对称轴为，满足，且函数在上单调递减，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 可以等于 C. 可以等于 D. 可以等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用对称轴性质和推出函数关于对称，联立方程得到为奇数；再结合上单调递减，得出，确定可能为或；最后代入验证的取值范围，逐一判断选项正误． 【详解】因为函数的一条对称轴为，所以①， 因为，所以关于点对称， 所以②， ②①得，， 化简得，即， 因为的区间长度为，而的一个单调递减区间长度为， 所以，解得，所以或． 对于A，由可知，函数图象关于点对称，A正确； 对于B，若，代入①得，解得， 因为，所以当时，，B正确； 对于C，不满足，C错误； 对于D，满足所有条件，D正确． 三､填空题（共3小题，每小题5分，计15分.） 12. 函数的最小正周期是_____. 【答案】2. 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式即得. 【详解】由知其最小正周期为. 故答案为：2. 13. 已知，则向量在向量的方向上的投影向量为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合数量积和模的坐标运算，根据投影向量的公式求解即可. 【详解】由向量， 则向量在向量的方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 如图，等腰梯形ABCD中，，，若E、F分别是边BC、AB上的点，且满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，则，，计算最值得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，， 则 当时，有最小值为；当时，有最小值为； 故答案为： 【点睛】本题考查了向量数量积的最值，转化为坐标运算是解题的关键. 四､解答题（本题共4小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演示步骤.） 15. 已知向量，，． （1）若，求实数的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量坐标运算求出与的坐标，再利用向量垂直则点积为的性质列方程，解出的值； （2）先根据向量坐标运算求出的坐标，再利用向量平行则坐标交叉相乘相等的性质列方程，解出的值；接着计算的坐标，最后用向量模长公式求出． 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 因为，所以， 解得； 【小问2详解】 因为，，， 所以， 因为，所以，解得， 所以， 所以． 16. 设函数，. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）令（），解得答案. （2）令，可得，计算最值得到值域. 【小问1详解】 令（），得（）， 函数的单调递增区间是（） 【小问2详解】 令，可得， 当，即时，， 当，即时，. 函数的值域为 17. 如图，在中，，分别是，的中点，，，． （1）用，表示，； （2）求证：，，三点共线； （3）若，，，求的值． 【答案】（1）, （2）证明：, , 故共线，又两向量有公共点,故，，三点共线 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）证明向量共线即可， （3）根据数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 ， ; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 18. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）若方程在上的解为，，求. 【答案】（1），对称中心为，. （2）. 【解析】 【分析】（1）先按照三角函数图象变换规则，依次对做横坐标缩短、纵坐标伸长、向右平移变换，逐步化简求出解析式，再利用余弦函数对称中心的性质，令相位等于解出，即可写出对称中心坐标. （2）先代入方程化简得到余弦等式，确定在给定区间内对应相位的范围，利用余弦函数在该区间内的轴对称性，得出两根满足的关系式，求出的值，再代入余弦公式算出结果. 【小问1详解】 ①横坐标缩短到原来的：将中替换为，得. ②纵坐标伸长到原来的2倍：将函数值乘以2，得. ③向右平移个单位：根据“左加右减”，得. 令，，解得，， 所以对称中心为，. 【小问2详解】 由，得，即. 令 已知，则. 方程的解关于函数直线对称，即，即. 化简得，故. 19. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围； （3）如图过点的直线与的图象交于点，且，求点的纵坐标. （参考公式：，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦函数相邻对称轴与对称中心的水平距离为四分之一周期求出周期，进而算出，再代入对称中心坐标结合的取值范围求出初相，最后由处的函数值求得振幅，从而确定函数解析式. （2）先换元把当作整体，求出其在给定区间的取值范围，结合函数值域为，利用正弦函数图像最值与单调性划定整体角的区间，再解不等式得到的取值范围. （3）先根据图象平移规则求出平移后的函数与对应点，由向量相等得出是中点，设出坐标表示出坐标，利用纵坐标关系结合三角恒等变换建立方程，化简求解并舍去不合理解，最终得到点纵坐标. 【小问1详解】 由图象可知点为函数图象的对称轴，点为函数图象的对称中心. 相邻的对称轴和对称中心两者间的水平距离为一个最小正周期的四分之一. 即，得. 由，得，所以. 将点代入，得，即. 因为，所以，解得. 又，即，解得. 故. 【小问2详解】 当时，， 因为，又函数在区间上的值域为， 由正弦函数的图象和性质可知，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 将函数的图象左移个单位，得到， 平移后对应的点分别为. 又，将向左移个单位，得到， 又平移后仍有，则是的中点，且平移后两点纵坐标不变， 设，又，则，且， 则. 由图知，所以， 解得或(舍)， 所以点纵坐标为，即点纵坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试题 命题､审核：张娟 一､单选题（共8小题，每小题5分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的简图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某扇形的圆心角为，且该扇形的面积为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 8. 直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 是第四象限角 9. 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的一条对称轴为，满足，且函数在上单调递减，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 可以等于 C. 可以等于 D. 可以等于 三､填空题（共3小题，每小题5分，计15分.） 12. 函数的最小正周期是_____. 13. 已知，则向量在向量的方向上的投影向量为______ 14. 如图，等腰梯形ABCD中，，，若E、F分别是边BC、AB上的点，且满足，则的取值范围是________. 四､解答题（本题共4小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演示步骤.） 15. 已知向量，，． （1）若，求实数的值； （2）若，求． 16. 设函数，. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 17. 如图，在中，，分别是，的中点，，，． （1）用，表示，； （2）求证：，，三点共线； （3）若，，，求的值． 18. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）若方程在上的解为，，求. 19. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围； （3）如图过点的直线与的图象交于点，且，求点的纵坐标. （参考公式：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $