福建省永春第一中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学科试卷

永春一中高二年级期中考试数学科试卷 (2026.4) 命题：高二年数学备课组审题：高二年数学各课组 考试时间：120分钟试卷总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.若函数f(x)=x2+a2的导函数为f'(x),且f(2)=∫'(2)，则a= () A.0 B.2 C.4 D.1 2.某非遗传承手工作坊中有纸织画艺人3人，制香艺人4人，酿醋艺人6人，每人均只会一 种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不 同的选法种数为 () A.27 B.54 C.60 D.78 3.设随机变量X的分布列为P(X=)=(i=1,2,3,4),则a= A贵 B品 C. 6 D 4.已知数列{an}满足a1=0,2an+1-anOnti1=1,n∈N,则a226= 2024 B.2025 C.2025 026 2025 2024 2026 D. 025 5.在二项式（匠- 的展开式中，下列说法正确的是 ( A.第3项的二项式系数最大 B.各项的系数和为64 C.奇数项二项式系数和为-32 D常数项为只 6.下列说法错误的是 A若随机变量X-B(10,),则E(X)=5 B.若P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(BA)=0.4,则事件A与事件B独立 C.若随机变量X的方差D(X)=1,则D(3X+1)=10 D.若随机变量X服从正态分布N(6,σ)，若P(X<10)=0.8,则P(2<X<6)=0.3 高二年数学科试卷 第1页（共4页） 7.如图，在杨辉三角中，斜线1的上方从1按箭头所示方向可以 11 构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10，…， k21 1331 将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列{a,则1 14641 151010◆51 ++1+…+1= )… 02024 2024 A.2025 B.2023 C.047 D.4048 2024 2024 2025 8.若直线L:y=c+b既是曲线C:y=lnx+a(a>0)的切线，也是曲线E:y=ln(x+2)的 切线，则使得b>6+k的最大整数6的值为 () A.-1 B.0 C.1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.下列求导运算正确的是 ()】 A.(cos2)'=-sin2 B.(V)'=-1 c(=-。 e" D.(Insina)'=-1 nz 10.已知！m,n∈N且n≥m,则下列结论正确的是 A.Am=CmAm B.若Cm=21,则n=6 C.Cn=Cm+Cm D.Co=(n+1CR 、11.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是 A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C.甲乙不相邻的排法种数为82种 D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)+4P(X=1)=3, 则P(X=0)=一 13.若(1+x)2+(1+x3+…+(1+x)0=a十ax+a2x2+ax3++aox,则a=_ 若实数a,6满足na-。+1)+a=e叫，则a+号的最小值为一 高二年数学科试卷 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的图象过点(-2，e2). (1)求函数f(x)的解析式： (2)过原点O作曲线y=f(x)的两条切线，切点分别为A,B.求△OAB的面积. 16.已知等差数列{a}和正项等比数列{bn}满足 a1+a2+ag=9,bb2b3=27,a4=bg,b4-b3=18. (1)求{a}和{bn}的通项公式： (2)若数列{}满足c= an, n为奇数， bn,n为偶数， 求数列{cn}的前2n项和S2 17.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好 评，某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了 其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以￡表示抽取的指令中成功完 成的个数， (1)求的分布列和数学期望： (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概 率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为05.设下达的动 作指令表述模糊的概率为P,若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求p的值 高二年数学科试卷 第3页（共4页） 18.某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标X(单位：)服从 正态分布N(50,9),已知当X~N(4,g2)时，P(u-<X≤μ+)≈0.68.规定质量指标 在(47,53]内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有m个优质品的概率最大， 当这6个零件中恰好有m个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地 任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为Y,求Y的分布列与期望 19.已知函数f(x)=x2-mx+2lnx(m∈R) (1)若m=5,求函数f(c)的极值点； (2)若f(x)在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围： (3)当4<m<5时，设g(c)=f'(x),若g(x)有两个零点，2，其中<： 求f()一f(2)的取值范围. 高二年数学科试卷 第4页（共4页）永春一中高二年级期中考试数学科试卷参考答案 题号 y 2 3 5 6 7 8 答案 A B B C D C D A 题号 9 10 11 答案 BC ABC ABD 三、填空题 12号，13.380.14号 【解析】令t=e-(t>0),则等式变为ln(a-t+1)+a=t,即ln(a-t+1)+a-t+1=1. 设函数f(x)=lnc十x(x>0),则f(x)在(0，+oo)上单调递增， 此时等式可写为f(a-t+1)=1,又f1)=n1+1=1, 所以a-t+1=1,即a==e,所以a+号=e+兰 令g0)=e+号，则go)=-。+6.令h0)=-e+6.则h0)=e+1>0, 所以h(b)单调递增，即g(b)单调递增. 令g(b)=0,则-e1-b+b=0,则b=e-b,当b=1时，1=e-1=e0=1, 所以b=1是g(b)=0的唯一解， 所以g(b)在(-0∞，1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增， 故g0)在=1时取得爱小位，此时0=e+号-号 因为a+号的最小值为号、故答案为：号 四、解答题 15.(1)由已知得f(-2)=e2,即a2=e2, -1分 又a>0,所以a=e.故f(x)=e. 3分 (2)当x≥0时，f(c)=e. 4分 不妨设切点A(aco,eo)(a≥0)，f'(c)=e.所以f”()=e. 故切线OA的方程为y-e0=e(x-c0) 6分 因为过原点O(0,0),故-e0=e0(-c0),解得0=1. -7分 所以切线OA的方程为y=ex.- 8分 又f(x)=e为偶函数，其图象关于y轴对称， 故切线OB的方程为y=-ex. 10分 所以切线OA,OB的方程为y=ec,y=-ex. 可知，A(1,e),由对称性可知B(-1,e), △OAB为等腰三角形，其面积为S=1|AB:e=e 13分 高二年数学科试卷 第5页（共4页） 16.(1)设{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q>0), 由8b好2a-9,5仔= -2分 因为a4=b3,b4-b3=18,所以3+2d=3q,3q2-3q=18,得q=3,d=3,-4分 故am=3+3(n-2)=3m-3,bn=3×3m-2=3-1: ---6分 (2)由(1)可知，cn= 3m-3,n为奇数 -8分 3n-1,n为偶数 则S2n=(c+c3十…+C2n-i)+(c2+c4++c2mn) =(0+6+…+6n-6)+(3+33+…+32m-1) -9分 =(0+6m-6)n+ 3-32n+1 -11分 2 1-9 =(3m-3)n+ 3(9m-1) -13分 8 -3n2-3m+3(9-1y -15分 17.(1)由题意知随机变量服从超几何分布， --1分 €的所有可能取值为2,3,4， -2分 P=2-g-吴，r-)-g-片，P=到-g-方，5分 C C C 7, 故ξ的分布列为： 2 3 4 2 1 7 7 -7分 所以的载学期塑E()=2×号+3×专+4×=29 -9分 7 (2)记“下达的动作指令表述清晰”为事件A, 记“下达的动作指令表述模糊”为事件B, 记“机器人成功完成指令”为事件C --10分 由已知得P(C)=0.8,P(CA)=0.9,P(CB)=0.5,P(B)=p,P(A)=1-p. --12分 因为P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(CA)+P(B)P(CB)=0.9(1-p)+0.5p=0.9 -0.4p,- -14分 所以0.9-0.4p=0.8→p=0.25. -15分 18.(1)因为X~N(50,9),所以=50,0=3， -2分 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率P(47<X≤53)=P(4一0<X≤u十0)≈ 0.68,- --3分 所以从该批零件中随机抽取2个， 恰好有1个为优质品的概率为C9×0.68×(1-0.68)=0.4352. -4分 高二年数学科试卷第6页（共4页） (2)设随机抽取的6个零件中，优质品的个数为. 由题意得P(n=k)=C5×0.68×0.326-,k=0,1,2,3,4,5,6, -----6分 所以P（n=k+1=C1×0.68+1×0.32-=102-17飞 C5×0.68*×0.326- 8分 P(n=k) 8k+8 因为102-17k-(8k+8)=94-25k, 当0≤k≤3时，94-25k>0, P(n=k+1) >1, ---9分 P(n=k) 当4≤k≤5时，94-25k<0, P(n=k+1) ∠1， -10分 P(n=k) 所以m=4. -11分 由题意可得Y的所有可能取值为1,2,3， -12分 P(Y=1)=cCI=,P(Y=2)= C C-1 5 ----15分 C C C851 所以Y的分布列为 1 2 3 P 15 3 E(Y)=1×}+2×号+3×吉=2. 17分 19.(1)当m=5时，f(x)=x2-5c+2lnx,定义域为(0，+o), f四=2x-5+2=22-5x+2=24-1=2(>0, 2分 2 f'()=0,得=2，=2， 3分 当号<<2时，f(四<0，f如)在（号2）上单调递减： 当0<x<2或2>2时，了)>0，f)在(0，号)和(2，+w)上单调递增. 国此，极大值点为亚=分极小值点为工=2 -5分 (2)函数f(x)=x2-mx+2lnx的定义域为(0，+o). -6分 对f()求导得f)=2红-m+2 -7分 因为f(x)在其定义域内单调递增，所以f'(x)≥0在(0，十o)上恒成立， 即2x-m+2≥0在(0，+0)上恒成立. 移项可得m≤2x+2在(0，十0)上恒成立. -8分 根据基本不等式a+b≥2wWab(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)， 对千2z+2,共中a=2,b=是，则2x+2≥2V2r子=4 -------9分 当且仅当2x=2,即x=1时等号成立. 高二年数学科试卷第7页（共4页） 所以m≤4，即实数m的取值范围是(-o0,4]. ----- 10分 (3)由(2)知f'(x)=22-mx+2 因为f(x)有两个零点x,2, 所以x1,x2是方程2x2-mx+2=0的两个不相等的正实数根. 根据韦达定理，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 两根，西有西十=-， a:= a' 则在方程22-mx+2=0中，西+西= 2，c2=1. -12分 国为0<<，所以0<<1<，且m=2+)=2+）月 已知4<m<5,即4长2a+安)<5，解不等式4<2a+安》 两边同时除以2，得2<十女，移项得号2如十1>0，即（国10， 因为0<<1，所以该不等式恒成立. 解不等式2（西+）<5，两边同时乘以4(>0)得2-5+2<0， 国式分解得2-1)国-2)<0，解得号<<2， 结合0<<1，可得}<<1. -14分 f(c1)-f(x2)=（x2-mc+2lnc)-（x3-mw2+2lnc2) =（x-x)-m(x1-x2)+2(lnc1-lnx2) =(-)-2(+)(a-x)+21n西 2 =(%-x2)+2n C2 1 -好+4na 15分 设M子1n,吉<<1， =2-2z+224-2<0 x3 x3 所以h)在（分，）上单调递减。 则h1)<e)<h号)，h(1)=是-1+n1=0, 12 -4n2=15 4 -4ln2, 所以0<h)<点-4n2, 16分 即f)-f)的取值范国是(0,5 -4ln2 -17分 高二年数学科试卷 第8页（共4页）