第18章《矩形、菱形与正方形》单元卷 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版八年级下册第18章《矩形、菱形与正方形》单元卷 一．选择题（共10小题） 1．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠AOD＝60°，BC＝2，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C． D．5 3．如图两段公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2千米，则M、C两点间的距离为（　　）千米． A．2 B．1 C．0.5 D． 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝BO B．AC＝BD C．AB2+BC2＝AC2 D．∠OAD＝∠ODA 5．如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（　　） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形，又是中心对称图形 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝13，BD＝10，则AC的长是（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 7．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为菱形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量对角线是否互相垂直 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量四条边是否分别相等 8．若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（　　） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2 9．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（　　），使得▱ABCD是菱形． A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 10．下列说法中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 二．填空题（共8小题） 11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，当AC＝　 　 时，四边形ABCD是矩形． 12．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝　 　 cm． 13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝1，则BD的长为　 　 ． 14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是　 　 （添加一个条件即可）． 15．如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是　 　 ． 16．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AH⊥BC于点H，AC＝6，BD＝8，则AH的长为　 　 ． 17．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加一个条件　 　 ，使矩形ABCD成为正方形（填一个即可）． 18．、如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O．G为AD边上的一动点（不与点A，D重合），GE⊥AC于点E，GF⊥DB于点F，若OA＝3，OB＝6，则EF的最小值为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 19．如图，在一个长方形的木块上截下一个三角形ABC，使AC＝6cm，BC＝8cm，截线AB的长是多少？ 20．已知菱形的两条对角线的长分别为a，b，求它的面积． 21．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形． 22．如图所示，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝6． （1）判断△AOB的形状； （2）求矩形ABCD的面积． 23．如图所示，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点F在边BC上，BF＝CF．求证：△DEF是等腰三角形． 24．如图，正方形ABCD中，点E在正方形ABCD外，△AEB为等边三角形，求∠BED的度数． 25．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，若DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝5，AB＝3，求▱ABCD的面积． 26．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若AC平分∠DAE，AD∥CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AD＝5，△ACD的周长为18，求菱形AECD的面积． 27．小明参加数学兴趣小组的探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上． （1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由； （2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A按逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长． 28．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案． 【解答】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转180°后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个， 故选：C． 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠AOD＝60°，BC＝2，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C． D．5 【分析】先由矩形的性质得出，AD＝BC＝2，再证明△AOD是等边三角形，得出AD＝OA＝OD＝2，即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝2， ∴，AD＝BC＝2， ∵∠AOD＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OA＝OD＝2， ∴BD＝2OD＝4， 故选：B． 3．如图两段公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2千米，则M、C两点间的距离为（　　）千米． A．2 B．1 C．0.5 D． 【分析】根据题意可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝2千米，点M是AB的中点， ∴CMAB＝1（千米）， 故选：B． 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝BO B．AC＝BD C．AB2+BC2＝AC2 D．∠OAD＝∠ODA 【分析】在平行四边形中，证出有一个直角或对角线相等，即可判定为矩形，据此对选项进行判断． 【解答】解：选项A：AB＝BO，无法推出AC＝BD或有直角，故无法证明平行四边形ABCD是矩形； 选项B：AC＝BD，对角线相等，可证平行四边形ABCD是矩形； 选项C：AB2+BC2＝AC2，则∠B＝90°，可证平行四边形ABCD是矩形； 选项D：由∠OAD＝∠ODA，则OA＝OD，又AC＝2OA，BD＝2OD，则AC＝BD，可证平行四边形ABCD是矩形， 故选：A． 5．如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（　　） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形，又是中心对称图形 【分析】菱形是四边相等的平行四边形，具有四边相等、对角线互相垂直、轴对称和中心对称等性质，但对角线不一定相等，即可解答． 【解答】解：A．菱形的定义是四边相等的四边形，该项正确； B．菱形的对角线互相垂直平分，该项正确； C．菱形的对角线不一定相等（仅正方形等特殊菱形对角线相等），该项不正确； D．菱形是轴对称图形（对称轴为对角线所在直线）和中心对称图形（对称中心为对角线交点），该项正确． 故选：C． 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝13，BD＝10，则AC的长是（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【分析】根据菱形的对角线相互平分且垂直，可得，AC＝2AO，AC⊥BD，然后由勾股定理求得AO，即可解答． 【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝13，BD＝10， ∴，AC＝2AO，AC⊥BD， ∴， ∴AC＝2AO＝2×12＝24． 故选：B． 7．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为菱形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量对角线是否互相垂直 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量四条边是否分别相等 【分析】根据菱形的判定方法，逐一判断选项即可． 【解答】解：选项A：对角线互相垂直且相等的四边形是菱形，只测量对角线是否互相垂直不能说明是菱形，故错误； 选项B：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，还需要邻边相等才能说明是菱形，故错误； 选项C：三个角是直角的四边形是矩形，故错误； 选项D：四条边都相等的四边形是菱形，这是菱形的定义，故正确． 故选：D． 8．若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（　　） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2 【分析】利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【解答】解：∵正方形对角线长为4cm，且面积， ∴． 故选：A． 9．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（　　），使得▱ABCD是菱形． A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 【分析】由菱形的判定可直接求解． 【解答】解：添加的条件为AC⊥BD， 理由：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故选：B． 10．下列说法中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【分析】根据特殊四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； B．一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项正确，符合题意； D．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，当AC＝　10　 时，四边形ABCD是矩形． 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，证出∠ABC＝90°即可． 【解答】解：当AB＝6，BC＝8，AC＝10时， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故答案为：10． 12．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝　3　 cm． 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长． 【解答】解：由图可得， ∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点， ∴CDAB＝3cm， 故答案为：3． 13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝1，则BD的长为　2　 ． 【分析】由矩形的对角线相等且互相平分，所以BD＝2AO＝2． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC，OB＝OD＝OA＝OC（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴BD＝2AO＝2． 所以，BD的长为2． 故答案为：2． 14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是AF＝AE （添加一个条件即可）． 【分析】根据三角形中位线定理可得DF∥AC，DE∥AB，进而可得四边形AFDE为平行四边形，再AF＝AE，可得四边形AFDE为菱形． 【解答】解：添加AF＝AE， ∵点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点， ∴DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE为平行四边形， ∵AF＝AE， ∴四边形AFDE为菱形， 故答案为：AF＝AE． 15．如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是　3　 ． 【分析】利用对角线乘积的一半即可求出正方形的面积． 【解答】解：正方形的面积是3． 故答案为：3． 16．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AH⊥BC于点H，AC＝6，BD＝8，则AH的长为　4.8　 ． 【分析】根据菱形的性质可知BD⊥AC，OA＝OCAC，OB＝ODBD，再根据勾股定理求得BC＝5，最后利用菱形的面积即可解答． 【解答】解：在菱形ABCD中，BD⊥AC，OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵AC＝6，BD＝8， ∴OC＝3，OB＝4， ∴BC5， ∵AH⊥BC于点H， ∴S菱形ABCD＝BC•AHAC•BD， ∴5AH＝6×8， ∴AH＝4.8， 故答案为：4.8． 17．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加一个条件AB＝BC（答案不唯一）　 ，使矩形ABCD成为正方形（填一个即可）． 【分析】有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【解答】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：AB＝BC； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：AC⊥BD； 故答案为：AB＝BC（答案不唯一）． 18．、如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O．G为AD边上的一动点（不与点A，D重合），GE⊥AC于点E，GF⊥DB于点F，若OA＝3，OB＝6，则EF的最小值为　　 ． 【分析】连接OG，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出AD的长度，证明四边形OFGE为矩形，得出当OG⊥AD时，OG的值最小，即EF的值最小，最后利用等面积法求解． 【解答】解：如图，连接OG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OD＝OB＝6， ∴∠AOD＝90°， 由勾股定理得， ∵GE⊥AC，GF⊥DB， ∴∠GEO＝∠GFO＝90°， ∴四边形OFGE为矩形， ∴EF＝OG， 当OG⊥AD时，OG的值最小，即EF的值最小， 由等面积得， 即EF的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 19．如图，在一个长方形的木块上截下一个三角形ABC，使AC＝6cm，BC＝8cm，截线AB的长是多少？ 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴． 20．已知菱形的两条对角线的长分别为a，b，求它的面积． 【分析】根据菱形的面积公式即可得到结论． 【解答】证明：如图． ∵四边形ABCD是菱形，AC＝a，BD＝b， ∴菱形的面积Sab． 21．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形． 【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形CEDF是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论． 【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∵DE＝DF， ∴矩形CEDF是正方形． 22．如图所示，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝6． （1）判断△AOB的形状； （2）求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）根据矩形的性质判断出OA＝OB，结合∠A0B＝60°即可解决； （2）判断出∠BAC＝60°，结合∠ABC＝90°，求出BC的长即可解决． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO，BO， ∴AO＝BO；而∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形． （2）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO＝60° 又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°； 故∠ACB＝30°，AC＝2AB＝12；由勾股定理得： BC； 故矩形ABCD的面积 ＝AB×BC＝36． 23．如图所示，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点F在边BC上，BF＝CF．求证：△DEF是等腰三角形． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EFBC，DFBC，从而得到EF＝DF，再根据等腰三角形的定义证明即可． 【解答】证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高，BF＝CF， ∴EFBC，DFBC， ∴EF＝DF， ∴△DEF是等腰三角形． 24．如图，正方形ABCD中，点E在正方形ABCD外，△AEB为等边三角形，求∠BED的度数． 【分析】由四边形ABCD是正方形，△AEB为等边三角形，推出AD＝AB＝AE，∠DAB＝90°，∠BAE＝∠AEB＝60°，所以∠DAE＝90°+60°＝150°，∠AED＝∠ADE＝15°，即可求出∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEB为等边三角形， ∴AD＝AB＝AE，∠DAB＝90°，∠BAE＝∠AEB＝60°， ∴∠DAE＝90°+60°＝150°， ∴∠AED＝∠ADE15°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°． 即∠BED的度数45°． 25．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，若DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝5，AB＝3，求▱ABCD的面积． 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形BECD为平行四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到BD⊥AB，再由勾股定理求得BD＝4，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，BC＝AD，AB＝CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∵BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∵DE＝AD， ∴DE＝BC， ∴平行四边形BECD是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形BECD是矩形， ∴∠DBE＝90°，即BD⊥AB， ∵AB＝3，AD＝BC＝5， ∴， ∴平行四边形ABCD的面积＝3×4＝12． 26．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若AC平分∠DAE，AD∥CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AD＝5，△ACD的周长为18，求菱形AECD的面积． 【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，平行线的性质结合角平分线的定义，推出AD＝CD，即可得证； （2）根据菱形的性质结合△ACD的周长求出AC的长，勾股定理求出OD的长，进而求出DE的长，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE， ∴四边形AECD为平行四边形， ∵AB∥CD， ∴∠CAE＝∠DCA， ∵AC 平分∠DAE， ∴∠CAE＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝DC， ∴四边形AECD是菱形； （2）解：∵四边形AECD是菱形， ∴AC⊥DE，OD＝OE，OA＝OC，AD＝CD＝5， ∵△ACD的周长为18， ∴AC＝C△ACD﹣AD﹣CD＝18﹣5﹣5＝8， ∴OA＝OC＝4， 在Rt△AOD中，∠AOD＝90°，由勾股定理得， ， ∴DE＝6， ∴． 27．小明参加数学兴趣小组的探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上． （1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由； （2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A按逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长． 【分析】（1）延长EB交DG于点H，先证出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD＝∠AEB，再根据∠HBG＝∠EBA，得出∠HGB+∠HBG＝90°即可； （2）过点A作AM⊥BD交BD于点M，根据△DAG≌△BAE得出DG＝BE，∠AMD＝90°，求出AM、DM，利用勾股定理求出MG，再根据DG＝DM+MG求出DG，最后根据DG＝BE即可得出答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形， ∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE， ∴△ADG≌△ABE， ∴∠AGD＝∠AEB． 如图，延长EB交DG于点H． 在△ADG中，∠AGD+∠ADG＝90°， ∴∠AEB+∠ADG＝90°， ∴∠DHE＝180°﹣（∠AEB+∠ADG）＝90°， ∴DG⊥BE． （2）由题意可得： ∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE， ∴∠DAB+∠BAG＝∠GAE+∠BAG， ∴∠DAG＝∠BAE， 又∵AD＝AB，AG＝AE， ∴△ADG≌△ABE， ∴DG＝BE． 如图，过点A作AM⊥DG于点M，则∠AMD＝∠AMG＝90°， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠MDA＝45°． ∵∠MDA＝45°，AD＝2， 可得， ∵， ∴， ∴． 28．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 【分析】（1）①如图1，当点P在BC上时，由DQ＝PC，建立方程解出t即可；如图2，当点P在BC的延长线上时，PC＝3t﹣10，由DQ＝PC，建立方程解出t即可． （2）①如图1，当点P在BC上时，若四边形PCDQ是菱形则DQ＝PC＝CD＝6，建立方程求出m，n的关系即可；②如图2，当点P在BC的延长线上时，先证明四边形ACPQ是平行四边形，得到PQ＝AC＝8，再求出DQ＝PD＝5，建立方程求出m，n的关系． 【解答】解（1）①如图1，当点P在BC上时， DQ＝t，PC＝10﹣3t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴DQ∥PC， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC， ∴t＝10﹣3t， ∴t＝2.5（秒）． ②如图2，当点P在BC的延长线上时， PC＝3t﹣10， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC， ∴t＝3t﹣10， ∴t＝5（秒）． 综上得，t＝2.5秒或5秒时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形． （2）①如图1，当点P在BC上时， 若四边形PCDQ是菱形， 则DQ＝PC＝CD＝6， ∴nt＝10﹣mt＝6， ∴mt＝4， ∴， ∴3m＝2n． ②如图2，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于E， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴AC8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠ACD＝90°， ∵四边形PCDQ是菱形， ∴PQ⊥CD，CE＝DE，PE＝QE， ∴PQ∥AC， ∴四边形ACPQ是平行四边形， ∴PQ＝AC＝8， ∴QE＝PE＝4， ∴DQ＝PD5， ∴nt＝mt﹣10＝5， ∴m＝3n． 综上得，3m＝2n或m＝3n时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/5 9:57:17；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $