4.1 认识三角形 课件 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

1 认识三角形 第四章 三角形 侵权必究 1 认识三角形 第四章 三角形 第1课时 三角形的定义和内角和 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 3 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 4 1.了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形; 2. 会按角的大小对三角形进行分类; 3.掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单 的问题.（重点、难点） 学习目标 侵权必究 新课导入 下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉 的几何图形. 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 7 问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 问题2：三角形中有几条边?有几个角?有几个顶点？ A B C 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角 形的角. 有三条边，三个角，三个顶点 讲授新课 三角形的概念 侵权必究 记法：三角形ABC用符号表示________. 边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________. △ABC c，a，b 边c 边b 边a 顶点C 角 角 角 顶点A 顶点B 侵权必究 辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 侵权必究 ①位置关系：不在同一直线上； ②联接方式：首尾顺次相接. 三角形应满足以下两个条件： 要点提醒 表示方法： 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等. 侵权必究 基本要素： 三角形的边：边AB、BC、CA； 三角形的顶点：顶点A、B、C； 三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C. 特别规定： 三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c. 侵权必究 5个，它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD. 找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ A B C D E (2)以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE. （3）以E为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、△BCE、 △CDE. 侵权必究 （4）以∠D为角的三角形有哪些？ △ BCD、 △DEC. （5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边. △BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC. A B C D E 侵权必究 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 讲授新课 三角形的内角和 侵权必究 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 试说明：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 解法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 侵权必究 解法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 侵权必究 C B A E D F 解法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 侵权必究 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 侵权必究 例1 已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数． 解：在△DFB中， ∵∠DFB＝90°，∠D＝50°， ∠DFB＋∠D＋∠B＝180°， ∴∠B＝40°. 在△ABC中， ∵∠A＝46°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°. 侵权必究 练一练 1.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°， AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点 E，则∠ADE的大小是(　　) A．45°　　　 B．54°　　　 C．40°　　　 D．50° C 侵权必究 同学们手中有直角三角板，请再画一个内角都不是90°的三角形. 讲授新课 三角形按角分类 侵权必究 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； 锐角三角形 有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 钝角三角形 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形； 直角三角形 直角边 直角边 斜边 A B C 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC； 侵权必究 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 三角形 三角形按角的大小分类 根据“三角形的内角和为180°”易得“直角三角形的两个锐角互余”. 侵权必究 例2 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由． 引用辅助量x°，用x°表示出△ABC的三个内角， 然后在△ABC中，运用三角形的内角和构造方程， 解方程后，求出△ABC中各内角的度数，从而判断 △ABC的形状． 导引： 侵权必究 △ABC是直角三角形．理由如下： 因为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， 所以可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°， 3x°. 在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以x°＋2x°＋3x°＝180°，解得x°＝30°. 所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°. 所以△ABC是直角三角形． 解： 侵权必究 例3 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F. (1)试说明∠BCD＝∠ECD； (2)请找出图中所有与∠B相等的角． 侵权必究 (1)根据直角三角形的两个锐角互余求出∠BCD的度 数，再利用三角形的内角和求出∠ACB的度数， 然后根据角平分线的定义求出∠BCE的度数，从 而可以求出∠ECD的度数，进而得到结论； (2)根据三角形的角度关系，找出度数是70°的角即 可． 导引： 侵权必究 (1)因为∠B＝70°，CD⊥AB于点D， 所以∠BCD＝90°－70°＝20°. 在△ABC中，因为∠A＝30°，∠B＝70°， 所以∠ACB＝180°－30°－70°＝80°. 因为CE平分∠ACB， 所以∠BCE＝ ∠ACB＝40°. 所以∠ECD＝∠BCE－∠BCD ＝40°－20°＝20°. 所以∠BCD＝∠ECD. 解： 侵权必究 (2)因为CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F， 所以∠CED＝90°－∠ECD ＝90°－20°＝70°， ∠CDF＝90°－∠ECD ＝90°－20°＝70°， 所以与∠B相等的角有∠CED和∠CDF. 侵权必究 2.如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数． 解：∵CE⊥AF， ∴∠DEF＝90°， ∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°. 由三角形的内角和定理得 ∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF， 又∵∠CDB＝∠EDF， ∴30°＋∠DBC＝40°＋90°， ∴∠DBC＝100°. 练一练 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 32 1.三角形是指（ ） A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相 接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相 接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 C 当堂练习 侵权必究 2.　如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为(　　) A．60° B．50° C．40° D．30° D 侵权必究 3.下列各组角是同一个三角形的内角 吗？为什么？ （2）60°， 40°， 90° （3）30°， 60°， 50° （1）3°， 150°， 27° 是 不是 不是 提醒：三角形的内角和为180°. 侵权必究 4.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 则∠ C =_______; （2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 则∠A = _______; （3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 则∠C = ________. 102° 40° 120° 侵权必究 5.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 设∠B为x °，则∠A为(3x)°，∠C为(x+ 15)°. 3x+x+(x+15)=180，解得 x=33. 所以 3x=99 ，x+15 =48. 即∠A,∠B,∠C的度数分别为99°，33°，48°. 根据三角形的内角和等于180°， 得 解： 侵权必究 6.如图，△ABC中BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°， ∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数. ∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°, ∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°. ∠ABD=54°，∠ADB=90°， ∴∠A=180°－∠ABD－∠ADB =180°－54°－90°=36°. 解： C A B D ∠C=180°－∠A－（∠ABD+∠DBC） =180°－36°－（54°+18°） =72°. 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 39 三角形 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形. 三角形按角分类 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 三角形的内角和等于180° 直角三角形的两个锐角互余 课堂小结 侵权必究 4.1 认识三角形 第2课时 三角形的三边关系 第四章 三角形 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 42 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 43 1.掌握三角形按边分类的方法，能够判定三角形 是否为特殊三角形; 2.探索并掌握三角形三边之间的关系，运用三角形 三边关系解决有关问题．（重点、难点） 学习目标 侵权必究 三角形按角的大小关系，可分为： 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 三角形 三角形若按边来分类，可分为哪几类？ 新课导入 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 46 腰 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 底边 顶角 底角 你能找出下列三角形各自的特点吗？ 三边均不相等 有两条边相等 三条边均相等 讲授新课 三角形按边分类 侵权必究 三条边各不相等的三角形叫作不等边三角形 ； 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫作等边三角形． 等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 总结归纳 侵权必究 三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形 我们可以把三角形按照三边情况进行分类 腰和底不等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等 的三角形） 侵权必究 小明 我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？ 为什么？ 邮局 学校 小明家 讲授新课 三角形的三边关系 侵权必究 A B C 路线1：从A到C再到B的路线走； 路线2：沿线段AB走. 请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？ 解：路线2较短；两点之间线段最短. 由此可以得到： 侵权必究 归纳总结 三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边. 议一议 1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么 大小关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么 大小关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？ 侵权必究 例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度 为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长 度为13cm的木棒呢？ 判断三条线段是否可以组成三角形，只需 说明两条较短线段之和大于第三条线段即可. 解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形. 归纳 侵权必究 例2 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么 x的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 判断三角形边的取值范围要同时运用两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边． 归纳 解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11. A 侵权必究 例3 若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|. 解：根据三角形的三边关系，两边之和 大于第三边，得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0. ∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b| ＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b ＝3c＋a－b. 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负. 注意 侵权必究 练一练 1. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(　　) A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10 C 侵权必究 2. 已知有理数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　) A．20或16 B．20 C．16 D．以上均不对 B 侵权必究 3. 已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(　　) A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0 D 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 59 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ） （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ） 1.判断： √ × × （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） × √ 当堂练习 侵权必究 4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm, 则这个等腰三角形的周长为________. 3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm, 则这个等腰三角形的周长为______________. 2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其 中三条线段为边长可以构成____个三角形. 3 22cm 18cm或21cm 侵权必究 5.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm； （3）5cm、6cm、10cm. 判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可. 解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm； （2）不能，因为5cm+6cm=11cm； （3）能，因为5cm+6cm>10cm. 归纳 侵权必究 6.已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长 等于4cm，求另两边的长？ 解：若底边长为4cm，设腰长为x cm， 则2x+4=18，解得x=7. 若一条腰长为4cm，设底边长为x cm， 则2×4+x=18，解得x=10. 因为4+4<10，所以4cm为腰不能构成三角形. 所以三角形另外两个边长都是7cm. 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 64 三角形中边的关系 三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形（包括等边三角形） 三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 课堂小结 侵权必究 1 认识三角形 第3课时 三角形的高、中线与角平分线 第四章 三角形 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 67 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 68 1.认识三角形的高、中线与角平分线，能画任意三角形的高;了解三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形三条高所在的直线交于一点（重点） 2. 学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力与合作精神.（难点） 学习目标 侵权必究 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 放、 靠、 过、 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画. 思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 新课导入 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 71 三角形的高的定义 A 从三角形的一个顶点， B C 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 D 之间的线段 叫作三角形的高线， 简称三角形的高. 如右图, 线段AD是BC边上的高. 和垂足的字母. 注意 ! 标明垂直的记号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 三角形的高 侵权必究 思考：你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. 侵权必究 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角 形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示； 侵权必究 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; (2) AC边上的高是 ; 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高, AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 侵权必究 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？ A B C D E F (2) AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD 侵权必究 A B C D F (3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高 不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 侵权必究 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 侵权必究 例2 如图，在△ABC中，BC边上的高AD＝4cm， BC＝4cm，AC＝5cm. (1)试求△ABC的面积及AC边上的高BE的长； (2)试求AD∶BE的值． 利用三角形面积公式及面 积法求解． 导引： 侵权必究 (1)S△ABC＝ BC·AD＝ ×4×4＝8(cm2)， 因为S△ABC＝ AC·BE＝ ×5×BE＝8(cm2)， 所以BE＝ cm. (2)AD∶BE＝4∶ ＝ 解： 侵权必究 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 练一练 侵权必究 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线. 三角形的“中线” B A C A BE=EC E 三角形的中线 侵权必究 (1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系? 议一议 三条中线， 交于一点 侵权必究 (2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流. 三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 要点归纳 侵权必究 例1 在△ABC中，AC＝7cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差. 9cm 侵权必究 例2 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案． 根据等底等高的两个三角形的面 积相等，要等分三角形的面积， 只需要作出一条边上的中线即可． 导引： 侵权必究 根据要求，平分田地的直线只能经过三 角形的顶点．画△ABC的中线AD(如图)， 则AD就把△ABC的面积平分成两份． 这是因为AD是△ABC的中线， 所以BD＝DC.过点A作AE⊥BC于点E.在△ABD和△ACD 中，因为BD，CD边上的高都是AE，所以由三角形的面 积计算公式，知△ABD和△ACD的面积相等，因此，要 把△ABC平分成两个三角形，只需画中线AD即可，这是 一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC边上的中 线也可以) 解： 侵权必究 1. 若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的 是(　　) A．AB＝BC 　B．BD＝DC C．AD平分BC 　 D．BC＝2DC A 练一练 侵权必究 2. 如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为(　　) A. B. C. D. B 侵权必究 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是一条线段. ∠1=∠2 三角形的角平分线 侵权必究 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角 形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系 ? 做一做 侵权必究 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形角平分线的性质 侵权必究 例3 如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(　　) A．20°　 B．30° C．45° D．60° 因为AD平分∠BAC，∠BAC＝80°， 所以∠BAD＝40°. 又因为AE平分∠BAD， 所以∠EAD＝20°. 导引： A 侵权必究 3. 如图， ∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(　　) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝ ∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 D 练一练 侵权必究 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中， ∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°. 4. 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. A B D C 侵权必究 5 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 97 1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D D 当堂练习 侵权必究 1.AD是ΔABC的高（如图1），那么 ∠ADB ∠ADC= ； 2.AD是ΔABC的角平分线（如图2），那么 ∠BAC= ∠BAD； 3.AE是ΔABC的中线（如图3），那么 BC= BE. 2 当堂练习 图1 图2 图3 90° 2 = 侵权必究 4.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交 AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法 的正误. ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H （1）AD是△ABE的角平分线( ) （2）BE是△ABC边AC上的中线( ) × × （3）CH是△ACD边AD上的高( ) √ 侵权必究 5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是 △ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°， 求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. B A C D E 侵权必究 6. 在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm的两部分，求三角形的各边长． 因为中线BD将△ABC的周长分成两部分： (BC＋CD)和(AD＋AB)，谁为12 cm，谁为15 cm， 不确定，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多， 因此可建立方程模型，利用设未知数来求解． 导引： 侵权必究 设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm. (1)如图①，若AB＋AD＝12 cm， 则x＋ x＝12，解得x＝8， 即AB＝AC＝8 cm，CD＝4 cm. 故BC＝15－4＝11(cm)． 此时AB＋AC＞BC， 所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm. 解： 侵权必究 (2)如图②，若AB＋AD＝15 cm， 则x＋ x＝15， 解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm， 则CD＝5 cm， 故BC＝12－5＝7(cm)． 显然此时三角形存在， 所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，此三角形的三边长分别为8 cm，8 cm， 11 cm或10 cm，10 cm，7 cm. 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 105 三角形中几条重要线段 角平分线：三角形的三条角平分线交于一点. 高：三角形的三条高 所在直线交于一点. 课堂小结 中线：三角形的三条中线交于一点. 侵权必究 $