精品解析：江西九江市武宁县尚美中学2025-2026学年下学期期中测试高一数学试卷

江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期期中测试 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】跟根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】由 得， 所以的虚部为. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令得求的范围，由等价原则结合集合的包含关系，判断条件间的充分、必要关系. 【详解】令，则由得，解得或， ∴或，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 如图，在△ABC中，点E是线段AB的中点，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合几何关系，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】． 故选：B． 4. 在长方体中，与成异面直线的侧棱的条数（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可； 【详解】解：依题意与成异面直线的侧棱有、、、、，共6条， 故选：C 【点睛】本题考查异面直线的判断，属于基础题. 5. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，圆柱的底面直径等于圆柱的高，然后由圆柱表面积为，可求出圆柱的底面半径，从而可求出圆柱的体积 【详解】由题意可知，圆柱的底面直径等于圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为， 因为圆柱表面积为， 所以，解得， 所以圆柱的高为4， 所以圆柱的体积为， 故选：C 6. 下列4个命题中，两直线，平面：①若，则平行于经过的任何平面；②若直线平面，则与内任一直线平行；③若，，则；④，，，则．正确命题个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题逐一判断得解. 【详解】①若，则平行于经过的任何平面,是错误的，因为a,b有可能在一个平面内； ②若直线平面，则与内任一直线平行，是错误的，因为与内任一直线平行或异面； ③若，，则，是错误的，因为a和b可能平行，相交或异面； ④，，，则．是正确的； 故选B 【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7. 2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北的方向移动，距台风中心千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受到台风影响，则和的值分别为（附：）（ ） A. 858.5，60° B. 858.5，30° C. 717.60° D. 717，30° 【答案】A 【解析】 【分析】 利用余弦定理可构造出关于和的方程组，解方程组求得和，进而得到结果. 【详解】根据题意，小时后台风中心距甲地千米，小时后台风中心距甲地千米，乙地有小时在台风范围内 根据余弦定理得：，解得： 故选： 【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的角度和距离问题的求解，涉及到方位角的定义、余弦定理的应用等知识，考查了学生对于分析和解决实际问题的能力. 8. 已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在定点，使得． 其中正确的结论是（ ） A. ① B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论． 【详解】①当点与重合时，，，且，所以平面， 因为对于任意给定的点，都有平面， 所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确； ②只有平面，即平面时， 才能满足对于任意给定的点，存在点，使得， 因为过点与平面垂直的直线只有一条，而，所以②错误； ③当与重合时，在线段上找不到点，使，所以③错误； ④只有当平面时，④才正确， 所以对于任意给定的点不存在点，使，故④错误． 故选：A． 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． （3）证明线线垂直，需转化为线面垂直． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知复数，是其共轭复数，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为1 C. D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，模长公式，复数相等，共轭复数等知识可求答案. 【详解】对于A，复数（虚部不为0）不能比较大小，所以A不正确； 对于B，设，，由可得，设， 则 ，当时，取到最小值1，B正确； 对于C，设，，，， 所以，即，C正确； 对于D，，整理得， 所以且，解得，，D不正确. 故选：BC 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若是锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化后结合余弦定理可以判断出B，对于选项C，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解，令，，可判断D， 【详解】对于选项A，在中，若，则，由正弦定理得，故选项A正确. 对于选项B，若，由正弦定理可得，则，则角为锐角，但不确定角，是否为锐角，故选项B不正确. 对于选项C，由于，故三角形有两解，故选项C正确. 对于选项D，锐角三角形中，，则，由于，且正弦函数在此区间单调递增， 所以，故选项D正确. 11. 已知正四棱台中，，，高为2，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则以下正确的是（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离是点到平面的距离的 C. 若点为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 D. 异面直线与所成角的正切值的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线线平行证明线面平行，进而证明面面平行； 对于B，利用面面平行和点到平面距离的概念进行判断即可； 对于C，利用球的表面积公式，直接求解即可； 对于D，根据异面直线所成角的概念，作出相应的辅助线，进而利用勾股定理和锐角三角函数即可求解. 【详解】 选项A：设，，如图1所示.选项A：，，则四边形为平行四边形，，所以平面，又因为，所以平面，因为，所以平面平面，故正确； 选项B：因为平面平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，又点到平面的距离与点到平面的距离相等，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，故不正确； 选项C：如图2所示，在梯形内过点作于点，所以面，取线段的中点，因为，所以为球心，，球的表面积为，故正确； 选项D：如图3所示，因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以（或其补角）为与所成的角，所以，若最小，则最小，当点在点时，取最小值2，所以的最小值为，故正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图的面积和原图形的面积比进行求解. 【详解】设直观图的面积为，原图形的面积为，则， 故原三角形的面积为. 故答案为： 13. 已知虚数（，）的模为4，则的取值范围为________． 【答案】. 【解析】 【分析】由模长公式易得，设（，），表示的几何意义为点到点的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数（，）的模为4，所以有， 故点的轨迹是以圆心，半径为的圆， 设（，），表示的几何意义为点到点的距离， 由图可知，点到点的距离的最大值为，最小值为， 又因为， 所以点到点的距离的最大值为，最小值为， 则的取值范围为. 故答案为. 【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x和y关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题. 14. 已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将不等式两边平方得，进而对于任意的恒成立，利用即可求解答题空1；再结合图形，利用几何意义及对称性即可求解答题空2. 【详解】由两边平方可得，即， ∴对于任意的恒成立， ∴， ∴，即. ∵，∴，∴. 如图所示，设，，，， 则，， ∴. 作点关于的对称点，连接，如图所示，则， ∴当，，三点共线时，取得最小值. 此时，，，， 在中，由余弦定理可得，故. ∴的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若， ①求； ②已知，求. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由可得，化简变形可求出； （2）①给两边平方化简变形可求得，②由可求出，令，则，求出，然后可求得. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以； 【小问2详解】 ①因为，，所以， 因为， 所以，即， 即； ②因为， 所以由得， 因为，所以， 所以， 令，则，，， 所以， ， 所以 . 16. 如图，在四棱锥中，为正方形，为中点，平面平面，，． （1）求四棱锥的表面积； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【小问1详解】 解：因为， 所以为等腰直角三角形，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 因为平面，所以，为直角三角形， 同理可得，，为直角三角形且， 所以， 因为，所以，所以为等腰三角形， ，底上的高为，所以， 所以四棱锥的表面积为； 【小问2详解】 解：取中点，连接， 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由（1）知为等腰直角三角形，所以， 设点到平面的距离为， 因为为的中点，所以， 又， 所以． 17. 已知，. （1）求的值； （2）若且，求的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由平方关系求得，然后由二倍角公式得，再由两角和的余弦公式计算； （2）求出，然后由两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）因为，，所以， 所以，， ； （2）因为，所以，所以， 所以． 【点睛】本题考查三角函数的求值问题，解题关键是确定已知角与未知角的关系，确定选用的公式和顺序，以便正确快速地求解．解题中要注意“单角”和“复角”的相对性． 18. 如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由分别是的中点，得到，结合线面平行的判定定理，即可得到平面； （2）根据线面垂直的判定定理，证得平面，得到，得出为二面角的平面角，在中，即可求解. 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 又因为平面,平面， 所以平面； （2）因为底面，底面，可得， 又因为，平面，所以平面， 又由平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，因为，且，所以， 即二面角的大小为. 【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明，以及二面角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及二面角的平面角的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19. 如图，在梯形中，． （1）令，，用，表示，，； （2）若，且，求，． 【答案】（1）， ， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先求出，再根据数量积的运算律及得到方程，求出，最后根据及运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， ， ； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为， 且， 所以， 解得， 所以， 因为，， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期期中测试 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在△ABC中，点E是线段AB的中点，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，与成异面直线的侧棱的条数（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列4个命题中，两直线，平面：①若，则平行于经过的任何平面；②若直线平面，则与内任一直线平行；③若，，则；④，，，则．正确命题个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北的方向移动，距台风中心千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受到台风影响，则和的值分别为（附：）（ ） A. 858.5，60° B. 858.5，30° C. 717.60° D. 717，30° 8. 已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在定点，使得． 其中正确的结论是（ ） A. ① B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知复数，是其共轭复数，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为1 C. D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若是锐角三角形，则 11. 已知正四棱台中，，，高为2，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则以下正确的是（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离是点到平面的距离的 C. 若点为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 D. 异面直线与所成角的正切值的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为__________. 13. 已知虚数（，）的模为4，则的取值范围为________． 14. 已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若， ①求； ②已知，求. 16. 如图，在四棱锥中，为正方形，为中点，平面平面，，． （1）求四棱锥的表面积； （2）求三棱锥的体积． 17. 已知，. （1）求的值； （2）若且，求的值. 18. 如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小． 19. 如图，在梯形中，． （1）令，，用，表示，，； （2）若，且，求，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $