精品解析：吉林榆树市第五中学等校2026年中考第二次模拟考试数学试题

2026年中考第二次模拟考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将冷藏室温度减去冷冻室温度即可解答． 【详解】解：， 答：这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为． 2. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法，即提公因式法、公式法、十字相乘法等，要注意因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，本题据此依次判断即可求解． 【详解】解：A、的右边不是整式的积的形式，故该项错误； B、的右边不是整式的积的形式，故该项错误； C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故该项错误； D、是因式分解，故该项正确； 故选：D ． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解不等式组得-3<x1, 根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法可知A表示是正确的 故选A 5. 在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角函数的知识是解题关键．设与交于点，，首先根据等腰三角形的性质得到，，，，然后在中求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点， ∵两条侧翼，的长为60，夹角为，平分， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴即两点间的距离为． 故选：D． 6. 如图，在中，，．直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直线b上取一点F，则，∠1 是 的外角，由外角性质求 ；由 得 ；，在等腰  中由 求 ，即可得 ． 【详解】 解：在直线b上取一点F，则， ，， ， 是  的外角， ， ， ， （两直线平行，同位角相等）， ， ， 7. 如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过折叠的性质，通过比较与的大小，即可判断与的大小，从而求解． 【详解】解：、如图， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， ∴， ∴，不符合题意； 、由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， 无法确定与的大小，从而无法确定与的大小，符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质确定点P位置，再求出CP的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴A（0，2），B（2，0）， ∴OA=OB=2， ∵为线段的中点， ∴C（1，1）, ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线y=x对称， ∵点C在直线y=x上， ∴当点P在直线y=x上时，线段CP最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴P（2，2）， ∴， ∴的最小值为 故选：B 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的图像与性质及线段最短问题，数形结合是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 10. 一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数可以表示为______（用含a，b的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【详解】解：由题意得，十位数字为，个位数字为， 这个两位数可表示为． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，在某一次函数的图象上，且，请写出一个符合条件的一次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，由已知条件时，判断出一次项系数，写出符合条件的一次函数即可． 【详解】解：，， 随的增大而减小， 一次项系数， 符合条件的一次函数解析式可以为：．（答案不唯一） 12. 如图，是半圆的直径，点C，D将分成相等的三条弧，点P在上．已知点Q在上，且，则点Q所在的弧是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径，P在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴， ∵， ∴Q在上． 13. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中，中间正六边形的中心到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质．取中间正六边形的中心为O，过点O作于点M，交直线l于点N，把向两边延长，交两边正六边形的垂直直线l的两边于点B，F，延长交直线l于点E，连接，则，，，，，证明四边形是矩形，可得，，再证明，可得，根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，取中间正六边形的中心为O，过点O作于点M，交直线l于点N，把向两边延长，交两边正六边形的垂直直线l的两边于点B，F，延长交直线l于点E，连接，则，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ 根据题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，给出下列结论： ①； ②正方形的面积是四边形的面积的4倍； ③连接，总有； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】可证明，得到，则可证明，据此可判断①②；根据勾股定理可得，，则，据此可判断③；由勾股定理可得，，可证明，据此可判断④． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， 正方形的面积是四边形的面积的4倍，故②正确； ， ， 在中，由勾股定理得，则， 在中，由勾股定理得， ，故③正确； 当时，，则， ， ， ，即四边形的周长大于，故④不正确． 综上所述，正确的有①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，利用整式的运算法则先化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 当时， 原式． 16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意列出表格即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 由表可得，共有种等结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和大于的结果有种， ∴小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率为． 17. 为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 【答案】乙班每小时挖400千克的土豆 【解析】 【分析】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解． 【详解】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆， 根据题意有：， 解得：x=400， 经检验，x=400是原方程的根， 故乙班每小时挖400千克的土豆． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键． 18. 如图，在四边形中，与交于点，，，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形． ∵ ， ∴ 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先通过证明三角形全等得到线段相等，进而得出四边形是平行四边形，再结合一个角是直角的平行四边形是矩形来证明． 【详解】略 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图，作图时要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）图①中，点是的中点，在边上确定一点，连接，使． （2）图②中，在边上确定一点，连接，使． （3）图③中，在边上确定一点，连接，使． 【答案】（1） 如图，点E即为所求作的点． （2） 如图，点F即为所求． （3） 如图，点M即为所求作的点． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可； （2）取格点M连接，交于点F，则点F即为所求； （3）取格点G、H，连接，交于一点，该点即为所求作的点． 【小问1详解】 解：∵在和中， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接交于点Q，连接， 根据解析（2）可知：此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴点Q为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴． 【点睛】本题主要考查了格点作图，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握格点的特点和相关的判定和性质． 20. 为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级300名学生全员开设了A、、三类课程．经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取20名学生进行了检测．这三类课程的成绩均为百分制，抽取的20名学生A、、三类课程的成绩情况统计图如下： （1）例如：学生甲A类课程的成绩是60分，则该生类课程的成绩是80分，类课程的成绩是80分． ①学生乙A类课程的成绩是98分，则该生类课程的成绩是______分． ②学生丙类课程的成绩是45分，则该生三类课程的平均成绩是______分． （2）在图③中补全这20名学生类课程成绩的频数分布直方图． （数据分成7组：，，，，， ，） （3）学校规定成绩在85分及以上为优秀，估计该校七年级学生A类课程成绩优秀的人数． 【答案】（1）①90；②65 （2） 补全频数分布直方图如图． （3）75人 【解析】 【分析】（1）①观察统计图可得出答案． ②观察统计图可得出答案． （2）由统计图可知，B类课程的成绩在的人数为1人，分数在的人数为6人，即可补全频数分布直方图． （3）用七年级总人数乘以样本中A类课程成绩优秀的人数占比即可． 【小问1详解】 ①由统计图可知， 若A类课程的成绩是98分，则该生C类课程的成绩是90分． 故答案为：90． ②由统计图可知， 若C类课程的成绩是45分，则该生B类成绩为70分，A类成绩为80分， ∴平均成绩为 ． 故答案为：65． 【小问2详解】 由统计图可知， B类课程的成绩在的人数为1人，分数在的人数为6人． 【小问3详解】 分数高于分有5人 （人）． 答：该校七年级学生类课程成绩优秀的人数约为75人． 【点睛】本题考查统计图、频数分布直方图、平均数、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． （1）求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距． 【答案】（1） （2）两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （2）设客车、货车两车相距时，客车行驶了，分三种情况：其一是两车相遇前，两车相距；其二是两车相遇后客车到达乙地前两车相距；其三是货车静止，客车到达乙地后返程途中两车相距；列出方程解答即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，客车从甲地开到乙地需要， 即点的坐标为， 设客车返回时y与x之间的函数关系式是（）， 把，代入， 得，解得， 即客车返回时y与x之间的函数关系式是（）. 【小问2详解】 解：由函数图象得：货车速度为（） 设客车、货车两车相距时，客车行驶了， 根据题意，得或或， 解得，或，或. ∵两车第一次相遇后时间大于， ∴，或 ，. ∴两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距． 22. 【学习心得】小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 如图②，若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． （1）【初步运用】如图③，在四边形中，，，则 ． （2）【问题迁移】如图④，在中，，是边上的高，，，求的长； （3）【问题迁移】如图⑤，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明A、B、C、D四点共圆，即可得到； （2）如图所示，作的外接圆，过圆心O作于E，于F，连接，，，则四边形是矩形，分别求出、即可得到答案． （3）如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于点E，过点O作交于点H，交圆O于点G，过点G作圆O的切线分别交，于点K、Q，则当时满足题意，据此求解即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，作的外接圆，过圆心O作于点E，于点F，连接，，，则四边形是矩形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于点E，过点O作交于点H，交圆O于点G，过点G作圆O的切线分别交，于点K、Q，则四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴B在圆O上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 23. 如图，在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处． （1）如图①，若． ①请用无刻度的直尺和圆规作出点E； ②求的大小． （2）如图②，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，若． ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】（1）①如图，点E即为所求； ② （2）①证明：过点N作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）①以点B为圆心，为半径作弧交于点F，再作的平分线交于点E；②由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案； （2）①过点N作于点G，证明，得出，由得； ②设，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案． 【小问1详解】 解：①略 ②∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， 由勾股定理得， 设， ∵， ∴； 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴． （1）求该抛物线所对应的函数表达式． （2）当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标． （3）当点在矩形的内部时，求的取值范围． （4）当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）m的值为或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出抛物线的顶点坐标为，当点P在对称轴左侧时，最低点为顶点，则，解得：或（舍），则，当点P在对称轴右侧时，抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，，，解得：或，则． （3）分四种情况分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可； （4）解：①当点P在y轴左侧，点P在点N上方，抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点为点P，最低点记为点E，由得，，解得：或（舍）；②当点P在y轴右侧，记抛物线与分别交于点E，F，此时最高点为点E，最低点为点F，则， 由得，，解得：或（舍）；③当点P在y轴右侧，此时记抛物线与分别交于，由得，，解得：，综上所述：或或． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴，解得： ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， 当点P在对称轴左侧时，最低点为顶点， ∴当时，， 解得：或（舍）， ∴， 当点P在对称轴右侧时，抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时， ∴， ∴， 解得：或， ∴， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点的横坐标为，点P在抛物线上， ∴点P的坐标为， ∵轴，点Q的坐标是， 又∵四边形为矩形， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的上方，如图所示： ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，此时没有符合条件的m存在； 当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的下方，如图所示： ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，； 当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的上方，如图所示： ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，； 当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的下方，如图所示： 根据画图可知，点B不可能在矩形的内部； 综上分析可知，点m的取值范围是或． 【小问4详解】 解：①当点P在y轴左侧，点P在点N上方，抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点为点P，最低点记为点E， ∴， 由轴得，， ∴， ∵点到抛物线对称轴的距离为， ∴， 由得，， 解得：或（舍）； ②当点P在y轴右侧，记抛物线与分别交于点E，F，此时最高点为点E，最低点为点F， ∴， 而，， ∴， 而， 由得，， 解得：或（舍）； ③当点P在y轴右侧，此时记抛物线与分别交于， ∴， 由轴，得， ∴， 由轴，得， 由题意得，， ∴， 而， 由得，， 解得：， 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，矩形的性质，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为( ) A. B. C. D. 2. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，．直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 10. 一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数可以表示为______（用含a，b的代数式表示） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，在某一次函数的图象上，且，请写出一个符合条件的一次函数解析式______． 12. 如图，是半圆的直径，点C，D将分成相等的三条弧，点P在上．已知点Q在上，且，则点Q所在的弧是______． 13. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中，中间正六边形的中心到直线的距离为______． 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，给出下列结论： ①； ②正方形的面积是四边形的面积的4倍； ③连接，总有； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率． 17. 为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 18. 如图，在四边形中，与交于点，，，，求证：四边形是矩形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图，作图时要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）图①中，点是的中点，在边上确定一点，连接，使． （2）图②中，在边上确定一点，连接，使． （3）图③中，在边上确定一点，连接，使． 20. 为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级300名学生全员开设了A、、三类课程．经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取20名学生进行了检测．这三类课程的成绩均为百分制，抽取的20名学生A、、三类课程的成绩情况统计图如下： （1）例如：学生甲A类课程的成绩是60分，则该生类课程的成绩是80分，类课程的成绩是80分． ①学生乙A类课程的成绩是98分，则该生类课程的成绩是______分． ②学生丙类课程的成绩是45分，则该生三类课程的平均成绩是______分． （2）在图③中补全这20名学生类课程成绩的频数分布直方图． （数据分成7组：，，，，， ，） （3）学校规定成绩在85分及以上为优秀，估计该校七年级学生A类课程成绩优秀的人数． 21. 已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． （1）求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距． 22. 【学习心得】小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 如图②，若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． （1）【初步运用】如图③，在四边形中，，，则 ． （2）【问题迁移】如图④，在中，，是边上的高，，，求的长； （3）【问题迁移】如图⑤，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ． 23. 如图，在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处． （1）如图①，若． ①请用无刻度的直尺和圆规作出点E； ②求的大小． （2）如图②，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，若． ①求证：； ②直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴． （1）求该抛物线所对应的函数表达式． （2）当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标． （3）当点在矩形的内部时，求的取值范围． （4）当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $