2.1 两条直线的位置关系 课件 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

1 两条直线的位置关系 第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第二章 相交线与平行线 第1课时 对顶角、余角和补角 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 3 新课导入 教学目标 教学重点 4 1.理解对顶角、余角、补角的概念； 2.掌握对顶角、余角、补角的性质，并能运用它们的 性质进行角的运算及一些实际问题.（重点、难点） 学习目标 北京立交桥 相交线 平行线 新课导入 生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁.在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线. 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 讲授新课 典例精讲 归纳总结 8 如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠2的位置有什么关系？ 2 1 A B C D O 3 4 对顶角的概念及性质 一 探究一: 1.有公共顶点， 2.两边互为反向延长线. 讲授新课 直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 请你观察图中∠1和∠2这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系? 2 1 A B C D O 探究二: ∠1=∠2 对顶角相等 如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.∠2和∠4也是对顶角. 对顶角： A O C B D 1 3 2 4 总结归纳 对顶角相等 对顶角的性质： 例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 1 2 C 1 2 D D 1 2 A 1 2 B 典例精析 方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的， 只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 例2 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数. 解：因为∠1＝40°， ∠BOC＝110°(已知)， 所以∠BOF＝∠BOC－∠1 ＝110°－40°＝70°. 因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)， 所以∠2＝70°(等量代换)． 注意：隐含条件“对顶角相等”. 3 4 一般地，如果两个角的和是180°(平角)，那么称这两个角互为补角(简称互补).可以说∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角. 定义： 补角和余角的概念 二 2 1 一般地，如果两个角的和是90°(直角)，那么称这两个角互为余角(简称互余).可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角. 定义： ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° x°(x<90) 90° x° 180° x° 观察可得结论： 同一个锐角的补角比它的余角大________. 做一做 90° 图1 N 2 D C O 1 3 4 A B 图2 如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. 补角和余角的性质 三 小组合作交流，解决下列问题：在图2中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 因为∠1= ∠2， ∠1+∠AOC=180°, ∠ 2+∠BOD=180°， 所以∠AOC=∠BOD. 同角(或等角)的补角相等 N 2 D C O 1 3 4 A B 图2 因为∠1= ∠2， ∠ 1+∠3=90° , ∠ 2+∠4=90°， 所以 ∠ 3=∠4. 同角(或等角)的余角相等 归纳总结：同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等. N 2 D C O 1 3 4 A B 图2 例3 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝ 90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线， ∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数． 解：∵∠AOB与∠COM互补， ∴∠AOB＋∠COM＝180°， 即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°. ∵∠COB＝90°， ∴∠AOB＋∠BOM＝90°. ∵OM是∠AOB的平分线， ∴∠BOM＝ ∠AOB，即∠AOB＋ ∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°. ∵ON平分∠AOC得∠AON＝ ∠AOC ＝ ×150°＝75°. 由角的和差， ∴∠BON＝∠AON－∠AOB ＝75°－60°＝15°. 当堂练习 当堂反馈 即学即用 22 1.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数.你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？ 解：40°， 根据是对顶角相等． 当堂练习 2.判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明 理由？ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 √ × × × × × 3.图中给出的各角，哪些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 4.图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 5.如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有__________________. ∠BOC和 ∠AOD 6.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900, 回答下列问题： （1）∠AOE的余角是 ；补角是 ； （2）∠AOC的余角是 ；补角是 ； 对顶角是 ； C A B D O E ∠AOC ∠BOE ∠AOE ∠BOC ∠BOD 7.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系?并试着说明理由? O ∠1与∠3相等 (等角的余角相等). 8.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°), 余角是(90°－x°) . 根据题意，得180°－x°= 4 (90°－x°). 解得 x=60. 答：这个角的度数是60 °. 9.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入 围墙，如何测量？ A B O C D 你能想到几种方法？ 课堂小结 归纳总结 构建脉络 32 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等 对顶角性质：对顶角相等. 课堂小结 1 两条直线的位置关系 第二章 相交线与平行线 第2课时 垂 直 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 35 新课导入 教学目标 教学重点 36 1.了解垂直的有关概念、性质及垂线的画法，了解点到直线的距离的概念； 2.能够运用垂直的有关性质进行运算，并解决实际 问题.（重点、难点） 学习目标 情境引入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 新课导入 日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？ 讲授新课 典例精讲 归纳总结 40 在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化. ） α a b b b b b ） α 垂线的概念 一 讲授新课 a b 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 垂足 垂 线 垂 线 知识要点 42 定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中， 如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直； 记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中 一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点O 叫作垂足．如图. 43 例1 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数． 解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°， ∴∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动1： 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动2： 折一折，试一试 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? 问题: (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能 画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能 画几条? 垂线的画法及基本事实 二 A .B l . 问题：这样画l的垂线可以画几条？ 1.放 2.靠 3.画 l O 如图，已知直线 l,作l的垂线. A 无数条 l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条 l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线. 根据以上操作，你能得出什么结论 垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可 以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指 唯一性. 总结归纳 C D E l 点到直线的距离 三 1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. B A 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短 线段AD的长度叫作点A到直线l的距离. 总结归纳 特别规定： D l A 例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短 当堂练习 当堂反馈 即学即用 56 1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能 判定两条直线垂直的是( ) A. 有两个角相等 B.有两对角相等 C. 有三个角相等 D.有四对邻补角 C 当堂练习 2.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ） A B C D C 4.找出图中互相垂直的线段： AO ⊥ CO BO ⊥DO A B C D O 3.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短 的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 D A B C C 5.（1）如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝ 90°，则 ； （2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD， 那么∠BOD = _________； （3）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数 之比为1:5，那么∠COA＝_____,∠BOC的 补角为 . O m n 1 B C A O m⊥n 90° 72° 162° 6.下列说法正确的是（ ） A.线段AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离 C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离 A B C D D 7.如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射 线，若∠1＝35°,∠2＝55°，则OE与AB的位置关 系是 . C A B O E 1 2 D 垂直 8.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ） A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角 A B C D E F O 1 2 D 课堂小结 归纳总结 构建脉络 64 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 1.垂线的定义 2.垂线的画法 3.垂线的性质 (1)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直. (2)垂线段最短. 4.点到直线的距离 课堂小结 $