精品解析：黑龙江齐齐哈尔市甘南县第一中学2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试题

2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数z，确定z对应的点，即可确定答案. 【详解】，则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域化简集合，解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，且，， 所以. 故选：C 3. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是奇函数，且在区间上单调递增 C. 是偶函数，且在区间上单调递减 D. 是奇函数，且在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性定义进行判断，然后对函数求导判断函数的单调性. 【详解】因为函数，所以. 所以是偶函数，选项B,D错误； 当时，，求导得 且等号仅在时成立， 所以在区间上单调递增. 综上，是偶函数，且在区间上单调递增. 故选：A. 4. 若非零向量 满足 ，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可判断是直角三角形，从而根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】如图所示： 设则 ， 因为 ， 所以易知点A是斜边OB的中点，故是直角三角形， 则 根据直角三角形的性质，斜边大于直角边， 故 ， 故选：B. 5. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，利用导数，结合直线的点斜式方程求出切线的方程，联立切线方程和曲线方程，化简得方程，根据切线与曲线有且只有一个公共点，求出参数的值即可. 【详解】函数，对其求导得. 设切点为，则切线斜率为 又， 所以切线方程为， 化简得. 将切线方程和曲线方程联立得： 整理得， 因式分解得， 解得或， 因为切线与曲线有且只有一个公共点， 所以，解得， 此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线， 故选：B. 6. 某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 12种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【详解】法一：先安装下底面的三个顶点有种不同的安装方法， 再安装上底面的三个顶点有种不同的安装方法. 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的安装方法. 法二：依次安装，，，，，六个位置， 则有种不同的安装方法. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为 ， 所以. 则 . 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，连接，，由双曲线的定义和中位线的性质分析可得，，进而可得， 变形可得，由此可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，如图，连接，， 因过点的直线与圆相切于点N，则， 又由，，则， 因点分别为线段和的中点，则， ，， 由双曲线的定义，，即，变形可得， 则， 故该双曲线的离心率 故选：C. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 C. 命题，，则， D. ，表示同一集合 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解，即可求解A；根据恒成立问题求解，即可根据充分不必要条件的定义求解B；根据命题的否定即可求解C，根据集合相等的定义即可求解D. 【详解】对于A，由可得，故，解得， 故不等式的解集是，故A错误； 对于B，命题“，”为真命题，则， ，，则， 则是命题为真命题的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题，，则，，故C错误； 对于D，，故与表示同一集合，D正确. 故选：BD. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的表达式可以写成 D. 若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助图象计算可得A、B；结合诱导公式计算可得C；利用三角函数性质计算可得D. 【详解】对A：由图知，，因此，故A错误； 对B：由五点法可知，因此，令，， 得经过最大值点的对称轴为，， 故，即为单调递减区间，故B正确； 对C：由诱导公式可知， 故C正确； 对D：令，故，故， 因为在上有且只有3个实数根，则，故D正确. 11. 已知，为抛物线C：上异于原点O的两个动点，且，作交直线AB于点N，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 存在一个定点Q，使得为定值 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线的方程，根据点在抛物线上及垂直关系，直线过定点可判定A；根据抛物线弦长公式可判定B；利用圆的性质可判定C；联立直线方程结合韦达定理可判定D. 【详解】由题意可设， 联立抛物线方程可得， 则， 对于A项，因为， 所以， 整理得，即直线恒过定点，故A错误； 对于B项，由弦长公式， 当时取得等号，故B正确； 对于C，设直线交横轴D，即 当时，显然为直角三角形，则N在以为直径的圆上， 不妨设的中点为Q，则是定值， 当时，此时重合，也有是定值，故C正确； 对于D项，不妨设，由上知， 则 ，故D正确. 故选：BCD 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理将角转化为边求解. 【详解】根据正弦定理和余弦定理，可化为， ∴，即，则， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形 13. 已知，，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式和对立事件的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， . 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，，过点M，P的平面与交于点N，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】法1，建立空间直角坐标系，设出点的参数坐标，利用向量垂直 求出参数，再用空间两点间距离公式求；法2，通过线面垂直判定⊥平面，结合余弦定理、平行线分线段成比例求出，再用勾股定理求. 【详解】法一（坐标法）：如图建立空间直角坐标系， ，，，， 由，得， 由得， 即，得，则， 则. 法二（几何法）：由平面，平面知， 由，，平面，平面， 所以平面，由平面得，取上一点使得， 由余弦定理得，， ，可得， 由平行线分线段成比例知，故， 故. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知正方形的边长为2，按如下规律构造正方形序列：取当前正方形各边中点，依次连接各边中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形.设第k个正方形与第个正方形之间的封闭区域为第k个“环域”，记第k个“环域”的面积为，初始正方形为第1个正方形. （1）求数列的通项公式； （2）受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图.若此分割作图过程可无限延续，则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M，求这个常数M的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设是第个正方形的面积，则可得是首项为4，公比为的等比数列，借助等比数列定义计算可得的通项公式，即可得数列的通项公式； （2）求出数列的前项和后，考虑时，的值即可得. 【小问1详解】 正方形的面积为，故连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的， 设是第个正方形的面积，则是首项为4，公比为的等比数列， 所以， 因此，故的通项公式为； 【小问2详解】 由题意得， 故当时，，∴. 16. 如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. （1）求点P到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）分析与的垂直关系，确定二面角的平面角，再结合线面垂直的判定，找到在平面内的射影，进而利用三角函数计算距离； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值，进而求出正弦值. 【小问1详解】 由题设，可知， 取中点，连接，，故， 又，，平面， ∴平面， 又平面，故. 故为平面与平面所成二面角的平面角，则. 因为平面，故平面平面，平面平面， 过作交于， 故平面. ∵，∴， 因此点到平面的距离为. 【小问2详解】 以为坐标原点，直线，为x轴，y轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. ，，. 设平面的法向量为，则，即 取，∴， 设平面的法向量为，则，即 取，∴， ∴，故， 所以二面角的正弦值为. 17. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 【答案】（1）填表见解析 （2）分布列见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充表格内容. （2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望； （3）利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”， 设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为． 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 【小问2详解】由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为； 乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为． 记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为， ． ， ， 所以的分布列为 所以． 【小问3详解】 记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， . 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为． 【点睛】本题考查概率与分布列问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学建模素养的考查，考查学生的运算求解能力． 18. 平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． （1）求点Q的轨迹E的方程； （2）过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点H在一条定直线上，直线方程为． 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义确定Q的轨迹，得出求解即可； （2）设，，，，解法一，根据向量坐标运算化简可得，设直线的方程为：，联立椭圆方程，根据根与系数的关系结合化简可得；解法二，设直线方程为，同解法一建立纵坐标间关系，化简可得，当直线斜率不存在或斜率为0时，验证即可. 【小问1详解】 如图， 由题意知，， 所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆． 设椭圆的方程为， 则，，， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 如图， 解法一： 设，，，， 由可得， 则，即①. 由可得 则，即②， 所以，整理得③. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得， 消去得， ，， 代入③得，又因为，所以． 直线的斜率不存在时，不妨取，， 则，，则，，解得， 综上可得，点在一条定直线上，直线方程为． 解法二：设，，，， 由可得， 则，即①. 由可得， 则，即②， 所以，整理得③. 当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为， 联立，消去得， ，，代入③得. 当直线的斜率为0时，，， 则，恒成立，点H在上也成立， 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为． 19. 已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有. （1）讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； （2）当时，解不等式：； （3）我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实满足，证明：. 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，结合已知条件和的奇偶性，推导在上的符号，进而判断函数单调性； （2）原不等式等价于， 即，结合函数单调性证明即可； （3）求导分析在上单调性，结合题干可得，将证明，转化为证明.构造函数，求导分析单调性和极值即可. 【小问1详解】 当时，， ∴为奇函数. 当时，， ∴，∴在上单调递增， ∵为奇函数，∴在上单调递增. 令，， ∴，∴在上单调递增， ∴，∴. 【小问2详解】 等价于 ， 即， ∵，∴，， 由（1）知在上单调递增，∴，即， 故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由， 可得，整理得， ∵，∴在上单调递增， ，且，故. 要证，只需证， 只需证， 只需证， 即证. 令， ， 令，∴， 故在上单调递增， 所以，故在上单调递减， ， 即成立， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是奇函数，且在区间上单调递增 C. 是偶函数，且在区间上单调递减 D. 是奇函数，且在区间上单调递减 4. 若非零向量 满足 ，则（   ） A. B. C. D. 5. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 6. 某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 12种 D. 48种 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 C. 命题，，则， D. ，表示同一集合 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的表达式可以写成 D. 若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 11. 已知，为抛物线C：上异于原点O的两个动点，且，作交直线AB于点N，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 存在一个定点Q，使得为定值 D. 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，则的形状是______． 13. 已知，，，则 ______． 14. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，，过点M，P的平面与交于点N，，则_____. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知正方形的边长为2，按如下规律构造正方形序列：取当前正方形各边中点，依次连接各边中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形.设第k个正方形与第个正方形之间的封闭区域为第k个“环域”，记第k个“环域”的面积为，初始正方形为第1个正方形. （1）求数列的通项公式； （2）受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图.若此分割作图过程可无限延续，则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M，求这个常数M的值. 16. 如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. （1）求点P到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 17. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 18. 平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． （1）求点Q的轨迹E的方程； （2）过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 19. 已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有. （1）讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； （2）当时，解不等式：； （3）我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $