精品解析：黑龙江齐齐哈尔市甘南县第一中学2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试题

2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是奇函数，且在区间上单调递增 C. 是偶函数，且在区间上单调递减 D. 是奇函数，且在区间上单调递减 4. 若非零向量 满足 ，则（   ） A. B. C. D. 5. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 6. 某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 12种 D. 48种 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 C. 命题，，则， D. ，表示同一集合 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的表达式可以写成 D. 若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 11. 已知，为抛物线C：上异于原点O的两个动点，且，作交直线AB于点N，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 存在一个定点Q，使得为定值 D. 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，则的形状是______． 13. 已知，，，则 ______． 14. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，，过点M，P的平面与交于点N，，则_____. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知正方形的边长为2，按如下规律构造正方形序列：取当前正方形各边中点，依次连接各边中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形.设第k个正方形与第个正方形之间的封闭区域为第k个“环域”，记第k个“环域”的面积为，初始正方形为第1个正方形. （1）求数列的通项公式； （2）受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图.若此分割作图过程可无限延续，则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M，求这个常数M的值. 16. 如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. （1）求点P到平面的距离； （2）求二面角的正弦值. 17. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 18. 平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． （1）求点Q的轨迹E的方程； （2）过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 19. 已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有. （1）讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； （2）当时，解不等式：； （3）我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 命组卷网 2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试题 注意事项： 1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填 写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回·满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.己知i为虚数单位，则复数1+i在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数z,确定z对应的点，即可确定答案， 1-i1-i11 11 【详解】(1+(1-可2"22'，则复数2=1+i在复平面内对应的点为2：2 1 位于第四 象限， 故选：D 第1页/共29页 学科网命组卷网 2.已知4= A.{0,12,3} B.{1,0,12,3} c{01,3} D{-1,01,3} 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域化简集合A,解不等式化简集合B,再利用交集的定义求解 x+1≥0 A={x| 【详解】依题意， x-2≠0'={x|x≥-1且x≠2}，B={x∈N-1≤x≤3}={0,1,2,3}， 所以1nB={0,13y 故选：C 3.设函数f(冈)=+cosx,则() Af(是偶函数，且在区间(0，+0)上单调递塔 B.f(冈)是奇函数，且在区间(0，+o)上单调递增 Cf(四)是偶两数，且在区间0，o)上单调递减 D.(☒)是奇函数，且在区间（0，+切)上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性定义进行判断，然后对函数求导判断函数的单调性， 【详解】因为函数f()=冈+cosx,所以f（-)=+cos(-)=+cosx=f(x) 所以∫()是偶函数，选项B,D错误 当x>0时，f)=+cosx=+cosx,求导得f'(四=1-simx≥0 第2页/共29页 可学科网丽组卷网 x=元+2km(k∈N) 且等号仅在2 时成立， 所以f(冈在区同(0，+⊙)上单调递增 综上，f()是偶函数，且在区间(0，+切)上单调递增 故选：A 4若非零向量a,6满足a-bHd,则() A.12a<2a-B B.2a>2a-b c.|26l>la-26l D.26l<a-26l 【答案】B 【解析】 【分析】由AC=OA=A可判断△OBC是直角三角形，从而根据直角三角形的性质求解即可 【详解】如图所示： 2a-B a-B a 设0i=AB=a,0c=b,则CA=a-万，C6=2i-6 因为a-列=同， 所以易知点A是斜边OB的中点，故△OBC是直角三角形， 则2d=|OBl,2a-b=BC, 根据直角三角形的性质，斜边大于直角边， 第3页/共29页 6学科网命组卷网 故2d>2a-6. 故选：B. 5.已知函数(x)=t-6x+7,直线1是曲线=f()的切线，如果切线1与曲线y=f()有且只有个 公共点，那么这样的直线1有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为(a,f(@),利用导数，结合直线的点斜式方程求出切线1的方程，联立切线I方程和曲 线'=f)方程，化简得方程，根据切线与曲线)=f(:)有且只有一个公共点，求出参数a的值即可 【详解】函数f()心6x+7,对其求导得∫（四）-3x-6 设切点为(a,f(a刃，则切线斜幸为f(a)=3a-6 又f(a=a3-6a+7 所以切线方程为y-(a-6a+7）=(3d-6x-a), 化简得y=(3a2-6)x-2a3+7 将切线！方程和曲线'=∫()方程联立得： x3-6x+7=(3a2-6)x-2a3+7 整理得t-3ax+2a=0 因式分解得(x-a(x+2a)=0. 解得x=a或x=-2a, 第4页/共29页 6学科网命组卷网 因为切线1与曲线y=f(:)有且只有一个公共点， 所以a=-2a,解得a=0, y=-6x+7 此时切线方程为 ，对应唯一一条满足条件的直线， 故选：B. 6某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A,B,C,A, B,G上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有〈） B B A.3种 B.6种 C.12种 D.48种 【答案】C 【解析】 【详解】法一：先安装下底面的三个膜点有A=6种不同的安装方法， 再安装上底面的三个顶点有2种不同的安装方法 由分步乘法计数原理可知，共有2A=12种不同的安装方法 法二：依次安装A,B,C,A,B,G六个位置 则有3×2×1×2×1×1=12种不同的安装方法 .5π1 第5页/共29页 6学科网 列组卷网 7 7 1 7 A.9 B.25 C.25 D.9 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可 sin a+cos 【详解】因为 a+5π） +6 sina- -cos a 3 3). mfa+}mr2a-引roa-】-[-2amr(a-引 - x y 8已知双曲线「：京F-1(a>0,b>0的左、右焦点分别为R,F,过点6的直线与圆 T: F+少=心扫切1点心交双装的右支于点M且点N是线段的中点，则汉袋T们害心幸方( A.V② B.2 c v5 D.5 【答案】C 【解析】 第6页/共29页 学科网 命组卷网 【分析】根据题意，连接ON,M,由双曲线的定义和中位线的性质分析可得M=2b,M=2a 进而可得MHME=2a 变形可得b=20,由此可得c=V5a,由双曲线的离心率公式计算可得答案 【详解】根据题意，如图，连接ON,M, 因过点F的直线与圆r+广=d相切于点NON上M 又由lOW=a,IoF=c,则NE=oEP-ONP=ve2-a=b, 因点，0分别为线段M和FB的中点，则M1ON, MF=2b MF =2a 由双曲线的定义，MM=2a,即2b-2a=2a,变形可得b=2a, 则c=Va2+b2=5a】 e=c-5. 故该双曲线的离心率a 故选：C 二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分在每个小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 第7页/共29页 6学科网6组卷网 分) 9.下列说法正确的有() 2x+1 A.不等式3x-1 >1的解集是 B命思x2).-a≤0，为直命题的一个充分不必要条件是 ≥5 c命P:x∈R,r>0,则p:3xeR,<0 D.M={xx2-2x+1=0),N={表示同一集合 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解，即可求解A根据恒成立问题求解α≥4，即可根据充分不必要条件的 定义求解B;根据命题的否定即可求解C,根据集合相等的定义即可求解D. 2x+>1 -x+2 【详解1对于A,由3x-1可得3x->0,放3x-10x-2)<0,解得3 x<2 2x+1 故不等式3x-1 一1的解集是3≤x<2 故A错误； 对于B,金腿xel,2].-a≤0，为底命题，则a之 xel,2.∴xe[l,4.则a24, 则a之5是命题为真命题的一个充分不必要条件，故B正确： 对于C,命题P:x∈R,r>0,测p:x∈R,≤0，放C错误 对于D,M={xx-2x+1=0=,故与N={仍表示同一集合，D正确 故选：BD. 第8页/共29页 命学科网命组卷网 10西数f✉)=2sin(@r+p0<a≤24< 2的部分图象如图所示，则() 5π 12 Ap=了 3 7π5π B.f(x)在(6’3上单调递减 cf)的表达式可以写成f网)=2ca2x-骨到 4π D.若关于x的方程f(x)=l在(0，m)上有且只有3个实数根，则3 <m≤2π 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助图象计算可得A、B;结合诱导公式计算可得C；利用三角函数性质计算可得D 【联1对A1向国知0)=2血p=1,风受。因P-石.成人货灵 5π，π +=π .2x+ 对B:由五点法可知126“，因此0=2，令62 +2,keZ. 、元元 x=6+杯，ke五. 得经过最大值点的对称轴为6 匹+元++元 7π5π 故(6 62,即6’3为单调递减区间，故B正确： 第9页/共29页 6学科网6组卷网 对南青导*可e)-2m2x+引-2om[2z+引-引-2m2x到 故C正确： 对D:令f()-1,放n2x+》=} 7π +6)2,故x=0 0,42m3“ ,,3 3 4π 因为f(x)=1在(0，m)上有且只有3个实数根，则3 <m≤2π ,故D正确 1.己知A(x,H）,B(x乃)为抛物线C:y=4x上异于原点O的两个动点，且∠A0B=90,作 ON⊥AB 交直线AB于点N,则() A直线AB恒过定点(2,0) B.AB≥8 C存在一个定点Q,使得N0为定值 D.x-片+1+k3-2+1≥9 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线AB的方程，根据点在抛物线上及垂直关系，直线过定点可判定A;根据抛物线弦长公式 可判定B；利用圆的性质可判定C；联立直线方程结合韦达定理可判定D. 【详解】由题意可设AB:x=+m(m≠0)】 联立抛物线方程可得广=4红=4+4m→y2-4构-4m=0 片+y=4k 则yy2=-4m' 对于A项，因为∠A0B=0 所以OA-0B=x5+y=(k2+）y+m(y+)+m2=0 整理得m=4,即直线AB恒过定点(4,0），故A错误： 第10页/共29页 6学科网命组卷网 对于B项，由弦长公式AB=V+1以-y2=V2+1V(y+)2-4y%2=4Vk2+1)(2+4)≥8 当2=0 取得等号，故B正确： 对于C,设直线AB交横轴D,即D(4,0) 当k≠0时，显然△OND为直角三角形，则N在以OD为直径的圆上， 不妨设0D的中点为9，则N0=2是定值， 当k=0时，此时D重合，也有NO=2是定值，故C正确： 对于D顶，不妨设>0>为，由上知=6 -+--+学+， =+片-4(04+2)+8_（4+2-2}'-2y%+4 4 =(2k-1)+9≥9，故D正确 故选：BCD A 第二卷（非选择题，共2分) 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 第11页/共29页 6学科网6组卷网 sinA cosA 12.在△ABC中，已知sinB cosB,则△ABC的形状是 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理将角转化为边求解， b2+c2-a2 a 2bc a(b2+c2-a2） 【详解】根据正弦定理和余弦定理，sin4_cos4可化为乃a+c2-6F b(a2+c2-b2） sin B cos B 2ac d+c2-=+c2-d,则=B,则a=b ∴.△ABC为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 1BEP-.Pa-号.P@可-，则P8= 7 【答案】24 【解析】 【分析】利用条件概率公式和对立事件的公式进行求解即可. P(BA)P(BA) 【详解】因为PBA=PA-P闭 2n-. 因为PA= P(BA P(P()=1-P(B)= 所 第12页/供29页 6学科网命组卷网 回=+P网号. P=1P同=7 7 故答案为：24 4如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,∠BAC、2 3,SA=AC=2,AB=1, SM=MC,3BP=2BC,过点MP的平面与4C交于点N,NPLBS,则N= √o 【答案】3 【解析】 【分析】法1，建立空间直角坐标系，设出点N的参数坐标，利用向量垂直求出参数，再用空间两点间 距离公式求MWN;法2，通过线面垂直判定NP⊥平面SAB,结合余弦定理、平行线分线段成比例求出 AN MN ,再用勾股定理求 A-xyZ 【详解】法一（坐标法）：如图建立空间直角坐标系 第13页/共29页 6学科网命组卷网 S S(0,0,2):M(0,1,1) 由AN=AC,AC=2得N(0,2九，0) 由NP1BS得P·B=0, 〔管2-a0〔9，-u刘 则w--)+-0-丽 法二（几何法）：由SA⊥平面ABC,NPC平面ABC知NP⊥SA, 由P1BS,SAN SB=-S,SMC平面SMB,SBc平面SMB 所以PL平面SMB,由4BC平面S1B得NPLB,取BC上一点使得O4上B 由余弦定理得BC2=AB+AC2-2×AB×ACxcos4=1+4+2=7,BC=V万 COSB=4B+BC2-AC21+7-4 2 2 xABxC=2W77,可得BQ=C0=7 2 由平行线分线段成比例知CN=24,故1N) 3, 第14页/供29页 6学科网6组卷网 B 四.解答题（共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.已知正方形ABCD的边长为2，按如下规律构造正方形序列：取当前正方形各边中点，依次连接各边 中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形设第k个正方形与第k+1个正方形之间的封闭区域为 第k个“环域”，记第k个“环域"的面积为：，初始正方形1BCD为第1个正方形 4)求数列，}的通项公式： (2)受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图若此分割作图过 程可无限延续，则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M,求这个常数M的值. -2 【答案】(1) (2)M=8 【解析】 【分析】(1)设4是第k个正方形的面积，则可得a}是首项为4，公比为2的等比数列，借助等比数 列定义计算可得a:}的通项公式，即可得数列亿，}的通项公式： (2)求出数列a,}的前n项和S后，考虑n→0时，S的值即可得 第15页/共29页 命学科网命组卷网 【小问1详解】 正方形ABCD的面积为4=4，故连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的2， 设a:是第k个正方形的面积，则a}是首项为4，公比为2的等比数列， 因t4-a4-日月°.微h3的页式为4-（日”： 【小问2详解】 由题意得Sn=a1+a2+43+…+an 4 故当n)0时， 2 0, M=8 16.如图所示，己知等腰梯形ABCE中，ABI‖EC,D是EC的中点，将△AED沿AD对折至△APD, 使得与边长为2的菱形ABCD成60°的二面角，折叠后发现PB⊥AD (I)求点P到平面ABCD的距离： (2)求二面角A-PB-C的正弦值， 3 【答案】(1)2. 第16页供29页 6学科网 组卷网 3W13 (2)13· 【解析】 【分折】(1)分析1D与OB,O 的垂直关系，确定二面角的平面角，再结合线面垂直的判定，找到P 在平面ABCD内的射影，进而利用三角函数计算距离： (2)建立空间直角坐标系，分别求出平面APB和平面BPC的法向量，再利用向量的夹角公式计算二面 角的余弦值，进而求出正弦值， 【小问1详解】 由题设，可知AD=AB=DC=BC=ED=EA=PD=PA=2, 取AD中点O,连接PO,OB,故PO⊥AD, 又PB⊥AD,PBoPO=P.PB,POE POB 平面 ∴.AD⊥平面POB, 又OBC平面POB,故AD⊥OB 故∠POB为平面ABCD与平面PAD所成二面角的平面角，则∠POB=60°. 因为ADC平面ABCD,故平面ABCD⊥平面POB,平面ABCD∩平面POB=OB, 过P作PF⊥OB交OB于F, 故PF⊥平面ABCD :oP=5,PF=3 3 因此点P到平面ABCD的距离为2. 第17页/共29页 命学科网命组卷网 【小问2详解】 以O为坐标原点，直线OA,OB为x轴，y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 ò B w.coo 5,05c小2io -m-Q5到 BC=(-2,0,0) -x+V3y=0, 设平面的法向量为 则:B=0,即3+3 i=(x,y,z）i.BP=0 02 y+ =0, ABP 取x=3,:i=(3,V5, -2a=0, mBC=0 设平面 的法向量为 m=a,b,cm·Bp=0'即3b+3 ,则 -b+ c=0, BPC 2 取b=3,m=(0,5, cos元m=万m2 m√，故sini,m=V1-cos2i,m= 3V13 13 3v√13 所以二面角A-PB-C的正弦值为13· 17.2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿 态，展竞技之美，攀体育高峰.最终，中国代表团以103枚金牌、40枚银牌、35枚铜牌，总计178放奖牌的 成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情.己知甲、乙两名大学生每天 第18页/共29页 6学科网命组卷网 上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的 情况 (足球，足 (足球，羽毛 (羽毛球，足 (羽毛球，羽毛 (上午，下 球) 球) 球) 球) 午) 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率 4 (1)已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为7，请将表格内容补充完整：（写出计算 过程) (2)记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求X的分布列和数学期望 EX 1 (3)在(1)的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为3，并且当上午的室外温度 3 低于20度时，甲去打羽毛球的概率为4，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度 以下的概率. 【答案】(1)X的分布列为 X -1 0 1 P 9 27 7 50 50 25 (2)X的分布列为 X -1 0 1 第19页/共29页 命学科网组卷网 9 P 27 7 50 0 E(X)=0 5 (3)6 【解析】 【分析】(1)根据条件概率的计算公式得到甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充 表格内容 (2)先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定X的取值， 根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望： (3)利用条件概率的计算公式即可求解 【小问1详解】 设事件C为“甲上午选择足球”，事件D为“甲下午选择足球”， 设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为x, 则P(D1C)= n(CD)204 n(C)20+x7,解得x=15: 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为50-20-10-15=5. 体育锻炼项目的情况（上午， (足球，足 (足球，羽毛 (羽毛球，足 (羽毛球，羽毛 下午) 球) 球) 球) 球) 甲 20天 15天 5天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 20+103 【小问2详解】由题意知，甲上午、下午选择同一种球的概率为505，选择两种球的概率为 1. 第20页/共29页 6学科网6组卷网 10+257 1-7、3 乙上午、下午选择同一种球的概率为5010，选择两种球的概率为1010 记X为甲，乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则X的所有可能取值为 1,0,1 339 P(X=-）=5X1050 37.2327 P(X=0)=3x, 一X 51051050, P(X=1) 2×7-14-7 5^105025, 所以X的分布列为 0×22+1 +0 71 所 E(X)=-1x9 0 50 2510. 【小问3详解】 记事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件B为“甲上午打羽毛球”， 由题意 P40-P-5e4-. 311 AaP4)P（BAP（443341105 P(B) P(B) 3436 1010 5 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为6. 【点睛】本题考查概率与分布列问题，从素养上体现对学生的逻辑推理、数学建模素养的考查，考查学生 的运算求解能力. 第21页/共29页 6学科网命组卷网 18平面直角坐标系x0中，圆4的方程为+(-=16，点B的坐标为(Q,-),点P是圆上任意 点，线段BP的垂直平分线交半径AP于点O,当点P在圆上运动时，点O的轨迹为曲线E. (1)求点Q的轨迹E的方程； (②)过点A作一条直线与点O的轨迹B相交于M,N两点，满足MM="4N ，点H满足 HM uHN 问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由， y2 x2 十 =1 【答案】(1)43： y=4 (2)点H在一条定直线上，直线方程为 【解析】 【分折】（山由精圆的定义确定Q的轨迹，得出4，求解即可， 2)设M(:,),N(x,乃)，H(s,）,A(0,,解法一，根据向量坐标运算化简可得 4=-龙=出-为 2x2一x,设直线的方程为：y=c+1,联立椭圆方程，根据根与系数的关系结合 -五=- 女七3一x化简可得=4；解法二，设直线方程为x=m(y-),同解法一建立纵坐标间关系，化 简可得少=4 ,当直线斜率不存在或斜率为0时，验证即可 【小问1详解】 如图， 第22页/供29页 6学科网命组卷网 B 由题意知， O4+OB=24+OP=AP=4>4B=2 所以Q点的轨迹是以4(0,1)，B(0,-)为焦点，长轴长为4的椭圆. an的为卡+后->6s0】 则a=2,c=1.b=V5 y2.x2 -十 =1 所以椭圆方程为43 【小问2详解】 如图， 解法一： 设M(,),N(,).H(s).A0,1) 由M=A可得（-x,1-)=(:,为-) 第23页/共29页 6学科网命组卷网 则x+s,=0,期4=- x2①. 由HM=孤可得(：-名片-)=4（名-本，乃-⅓） 则名考=5，即“=5二5 七2-x3②， 龙=一龙 2x2 所以名-天整理得5飞十巧@ y=kx+1 当直线的斜率存在时，设直线的方程为： ，联立得 yx=1 y=G+1 43 消去y得(32+4)x+6k-9=0 -9 XX2 -6k 32+4,x+63X2+4, 3 代入③ 得5k,又因为为=c,+1,所以乃=4. 直线'的斜率不存在时，不妨取M(0,2）,N(0,-2)】 0=1,N=3.到“-.西-写孤，指%=4 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为'=4 解法二：设M(,),N().H(sy).A(0,1)】 由M=4N可得x,1-)=4(名，-)， 1-y 则1-片=40-，B-为10 第24页/供29页 命学科网命组卷网 由HM=H可得x-,片-)=(：-，-⅓) 则-⅓)=心-为小.即“=二业 y2-⅓②， 1-出-乃-为 所以必1为-整理得2-g+。 当直线'的斜率不存在或不为0时，设直线方程为x=m(少-)， x=m(y-1) 联立二+父=1，消去得( 43 x(3+4m2）y2-8m2y+4m2-12=01 4m2-12 8m2 4=3+4m,片+%3+4m,代入®得以=4 当直线1的斜率为0时， (别.别 1-y=1 则4=1,1-⅓恒成立，点H在y=4上也成立， 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为'=4 10已知了()为定义在2引上的奇童数且在接可导，令g内=付osx当c0)时，有 兀元 f(x)-f(x)tanx>e* )时eg树在医司受0上性，，当经)时.>1-e. 3当e(20时.解不特f（任+nx+f(-osx<e”-e 第25页/供29页 6学科网列组卷网 (3)我们可以找到满足题意的一个函数了(x)=cosr一2、r<)无 现在利用这个函数，重新构造函 数h(),记h()=((x)+osx+x+e,若实x,x(x<5)满足h()+h(名)=4，证明： x+x2<0 上单调递增； 0的-=g田-1+e,*0引 :=g+e>0,:(在0写)上单满递， :t(w>t0)=80)-l+e=0,:8)>1-e (3) (x)-(J(x)+I)cosx+x+e.f(r)--e cosx w-信+小a1e,红w-ta+ :因=e-血x+I>0,片A在0写引上年河送期 h0)=2,且h(x)+h(3)=4,故<0< 要证+名<0，只需证<-x, 第26页/供29页 6学科网列组卷网 只需证h()<h(x)】 只需证4-h(:)<h(x)小 即证h(x)+h(-x)-4>0 今国=+M--4受<x<0】 H'(x)=h'(x)-h'(-x)=e*-e*-2sinx P(x)=H(x).p'(x)=e'+e*-2cosx>2-2cosx>0 所P<ro=0,故H)在20 上单调递减， H(x)>H(0)=2h(0)-4=0 即h()+h(x)4>0成立， 故+书<0 【解析】 【分折】山对g6国求导。禁合已如条作和/)的奇得性，护号g树在（受0 上的符号，进而判 断函数单调性： ②s不十o(1*e<f任+mr任+小1+e” 结合函数单调性证明即可： 第27页供29页 6学科网命组卷网 (3)求导分析h(x)在(2上单调性，结合题干可得x<0<x2,将证明x+x2<0,转化为证明 戈<-.构适函数（四=h)+-)-4, 求导分析单调性和极值即可 【小问1详解】 当x22时，g(-x)=f(-x)c0s(-)=-f(x)cosx=-g(x), :8(为奇函数 当e0)时，g)=fcsx-f(x)sinx,. :g()=cosx(f()-f)an)>>0,:g()在0,2)上单调递，增 :g冈为奇茶数.六g问在受0上单调速 【小问2详解】 -0o--1+e<f径+om+x1+e2 (-<经】 (20.引，+o引 由4)如0引上+，<0， 第28页/共29页 6学科网 命组卷网 故原不等式的解集为 【小问3详解】 略 第29页/共29页