浙江嘉兴市清华附中嘉兴实验高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学试题（A卷）

**基本信息** 高二年级数学期中A卷，以人工智能设备产需率、“奋斗者”号深潜器校准等真实情境设计解答题，考查导数应用、概率统计等知识，注重数学思维与实际问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|相关系数（题2）、导数应用（题3）、二项式定理（题10）|单选基础巩固，多选综合辨析（如题9结合正态分布考性质）| |填空题|3题15分|排列组合（题12）、函数单调性（题13）|知识迁移（如题14构造函数解导数不等式）| |解答题|5题77分|导数应用（题15、17、19）、概率统计（题16、18）|情境真实（如“奋斗者”号校准考概率，产需率考分布列），分层设问（如题19从单调区间到零点范围）|

2025-2026学年第二学期期中考试 高二年级数学试题 参考答案及解析 1．B 【详解】因为，， 所以. 2．D 【详解】由题意知，样本数据所对应的点均在直线上，而直线的斜率， 说明解释变量和响应变量之间正相关，即，且线性相关程度达到最强，所以. 3．C 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 4．A 【详解】设， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 5．C 【详解】由可得， 令，， 所以在上单调递增， 所以由，即， 当时，因为在上单调递增，所以， 当，因为在上单调递增，所以， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．D 【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜， 则甲以4比2获胜的概率为． 故选：D． 7．D 【详解】当时，，则． 当时，；当时，． 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即． 当时，函数在上单调递增，由题意可知，， 得，解得，此时，； 当时，且当时，合乎题意； 当时，函数在上单调递减，此时，，合乎题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：D 8．C 【详解】的定义域为， 由可得，即； 因为，所以，即， 构造函数，则， 可知函数在上单调递增，因此， 即，所以， 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，； 即可得，解得， 所以正实数的取值范围是. 9．BD 【详解】随机变量， 对于A，，则，A选项错误； 对于B，因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为直线， 因为，所以，B选项错误； 对于C，，所以，C选项正确； 对于D，，有，则， 当且仅当时等号成立，的最小值为50，D选项正确. 故选：BD. 10．ABC 【详解】对于A，令， 得， 令，得， 故，A正确； 对于B，所有含的奇数次项的二项式系数和， 与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，都为，故B正确； 对于C，， 故只需考虑被7整除得余数， 因为， 被7整除的余数为4，故C正确； 对于D，， 两边求导得， 再令，得，故D错误. 11．AD 【详解】对于A，因为，故， 所以，故A正确； 对于B，因为是奇函数，故， 因为，故，故，故B错误； 对于C，由A的分析可得 ，故即， 若在上单调递增，则当时，有， 故，矛盾，故C错误； 对于D，因为， 故即，故为上的增函数， 设， 则， 设，则， 设，则， 若恒成立，则，故，此时， 矛盾，故且不恒为零，故在上为增函数， 故，故为上为增函数， 故，故为上为增函数， 故即，故D成立， 故选：AD. 12．144 【详解】因为上午要播出某电视剧和某专题报道，所以有种排法， 其他4个节目有种排法 根据分步乘法计数原理， 不同播出方案的种数为. 故答案为：144 13． 【详解】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14． 【详解】构造函数，则， 所以函数在上为增函数， 且. 显然当时，不等式不成立， 故我们只需讨论时，不等式的解集即可； ①当时，由可得， 即， 即，可得，解得，此时不存在； ②当时，由可得， 即. 即，可得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 15．【详解】（1），， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， 令得， 则的变化入下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故函数的单增区间为，，单减区间为； 函数的极大值为，极小值为. 16．【详解】（1）记事件A为“这款设备的产需率大于100%”. 由表中数据，这款设备的产需率大于100%的年份为2016年，2018年，2021年，2024年，共4年.所以. （2）由表中数据，从2018-2025年这6年中，这款设备的产需率大于100%的年份为2018年，2024年，共2年. 的所有可能的取值为0，1，2. ，，. 所以X的分布列为： 0 1 2 P 故X的数学期望， 的分布列为： 0 1 4 P 故，所以X的方差. 17．【详解】（1）求导得， 又在处有极大值，，解得或， 当时，， 时，；时，，故为极大值点，符合题意， 当时，， 时，；时，，故为极小值点，不符合题意， 综上，实数的值为. （2）由（1）得， 要证，即证对成立， 令则， 令，解得或， 令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在和上单调递减， 所以函数的极大值为和, 且，, 即对所有成立，成立. 18．【详解】（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. （2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 19．【详解】（1）解：当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，；时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. （3）解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得， 当时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以恒成立，所以在单调递增， 可得， 又因为时，，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 高二年级 数学试题卷（A卷） 2026.4 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名，考号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上。 2.答题时，请按照答题纸上“考生须知”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分共40分.） 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A． B． C．0 D．1 3．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A．B． C． D． 4．若随机变量服从两点分布，且，则（    ） A．0.24 B．2.4 C．0.28 D．2.8 5．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数，且，则正实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若随机变量且，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．的最小值为50 10．已知，则下列描述正确的是（ ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被7整除所得的余数是4 D． 11．已知定义域为函数和，且是奇函数，对任意满足且，下列说法正确的（    ） A． B．或1 C．在上单调递增，在单调递减 D．时， 第Ⅱ卷（选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答）_____ 13．若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 14．已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题13分）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 16．（本题15分）为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2016-2025年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0 需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1 定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”. (1)从2016-2025年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率； (2)从2018-2025年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列、数学期望和方差. 17．（本题15分）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 18．（本题17分）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 19．（本题17分）函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $