精品解析：安徽芜湖县第一中学2025-2026学年高二下学期4月质量检测数学试题

安徽芜湖县第一中学2025-2026学年高二下学期4月质量检测数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，其前项和为，则（ ） A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 120 4. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知4名女孩，2名男孩排成一排照相，则男孩不在两边的排法一共有（ ） A. 144种 B. 200种 C. 224种 D. 288种 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，满足的面积为，其中为坐标原点，为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中的系数和等于二项式系数和 C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若直线的斜率为，则的面积为 11. 已知数列满足若，数列和的前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 13. 在的展开式中，含的项的系数为__________. 14. 已知正整数严格递增数列中，满足，且数列中各项数值为奇数的个数与数值为偶数的个数相等，若满足条件的不同数列的个数为36，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算的值； （2）若，求的值. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知如图是由两个全等的梯形和沿着公共边折叠而成的立体图形，其中,. （1）证明：； （2）若，点为的中点，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 19. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽芜湖县第一中学2025-2026学年高二下学期4月质量检测数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后计算即可得. 【详解】，所以. 2. 已知等差数列中，其前项和为，则（ ） A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 【答案】B 【解析】 【详解】因为数列是等差数列，所以，可得. 3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 120 【答案】D 【解析】 【详解】， 的二项展开式的通项为， 所以的系数为. 4. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 5. 已知4名女孩，2名男孩排成一排照相，则男孩不在两边的排法一共有（ ） A. 144种 B. 200种 C. 224种 D. 288种 【答案】D 【解析】 【分析】分2名男孩相邻和不相邻讨论求解. 【详解】根据题意，当2名男孩相邻不在两边时，排法有种方法； 当2名男孩不相邻不在两边时，有种方法； 所以一共有288种方法. 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，满足的面积为，其中为坐标原点，为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】，整理可得，可得， 整理可得，可得，可得，可得. 7. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 8. 已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，得到且．再利用面面垂直和棱台的相似关系建立空间直角坐标系，设在上的位置参数为，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式把问题转化为二次函数最值问题． 【详解】 取的中点，连接，因为，所以， 又因为，，所以，从而， 且是等腰直角三角形，故， 设为的中点．因为为三棱台，所以， 又因为，所以四边形为等腰梯形，故， 因为平面平面，且交线为，所以平面， 在等腰梯形中，， 由，得， 所以； 以为原点，， ，所在直线分别为 ， ，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由于三棱台的上、下底面相似，且， 所以，故， 因为点在棱上运动，故可设， 其中，则， 所以， 设平面 的法向量为， ， 令，则， 所以平面的法向量， 又，故点到平面的距离为， 即， 化简得， 因为，且， 所以当时，取得最小值，此时取得最大值，且. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中的系数和等于二项式系数和 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意可得，则，故A正确； 因为，所以展开式的二项式系数和为，当时，展开式中的系数和为，故B正确； 令，得，令，得， 两式相减可得，故C正确； 令，则， 令，则，所以，故D不正确. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若直线的斜率为，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线基本性质(焦点坐标、焦半径公式)、焦点弦性质(倒数和公式)、直线与抛物线交点计算及三角形面积公式展开，逐一验证选项。 【详解】焦点，可得，计算可得，选项A正确； 若，由焦半径公式，可得，代入得，故选项B错误； 根据倒数和公式可得，若，可得，选项C正确； 直线的方程，联立，可得， 则，点到直线的距离为， 所以的面积为，选项D正确. 11. 已知数列满足若，数列和的前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先由分段递推关系推出奇数项子列 、偶数项子列 的递推式，通过构造等比数列分别求出 通项，再依次代入验证 A、B 选项；接着利用等比求和分别求出 前 项和 、 前 项和 ，由 得到偶数项总前 项和公式，代入 验证 C，代入 验证 D，最终判定 A、C正确，B、D 错误. 【详解】选项A：，可得，整理可得，可得数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，可得，所以，故选项A正确； 选项B：，可得，整理可得，可得数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，可得，所以，故选项B不正确； 选项C：，计算可得，可得，故选项C正确； 选项D：设数列的前项和为， ， 可得，故选项D错误； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】应用点到直线距离结合弦长公式计算求解参数. 【详解】圆的圆心为， 则圆心到直线的距离， 则，可得. 13. 在的展开式中，含的项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以展开式的通项为，， 含项的系数为. 14. 已知正整数严格递增数列中，满足，且数列中各项数值为奇数的个数与数值为偶数的个数相等，若满足条件的不同数列的个数为36，则的值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】对分类讨论，注意可以为偶数也可以为奇数，分类讨论的时候需注意奇数和偶数的数量，再利用组合数的运算法则进行计算. 【详解】数列为严格递增的正整数，共6项，首项（奇数），末项， 要求数列中恰有3个奇数､3个偶数， 分情况讨论： 若为偶数，则最大项为偶数，即是数列中3个偶数之一， 还需从小于的偶数中选2个，从大于1且小于的奇数中选2个（1已固定）， 小于的偶数共个，选2个：，大于1且小于的奇数共个，选2个：， 总数列个数为，即，计算可得； 若为奇数，则最大项为奇数，即是数列中3个奇数之一， 还需从大于1且小于的奇数中选1个，从小于的偶数中选3个， 设，则大于1且小于的奇数共有个， 从中选1个奇数的选择数为，小于的偶数共有个，从中选3个的选择数为， 由，得，无整数解， 综上所述，. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）87；（2） 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式、组合数公式计算可得答案； （2）利用组合数公式计算可得答案. 【详解】（1）， ， 故原式； （2）等式， 整理可得 计算可得， 整理可得，可得（舍去）. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由于数列满足，且．可得时，，再利用等比数列的前项和公式即可得出． （2），利用“裂项求和”即可得出． 试题解析： （1）∵数列满足，且， ∴时， . 当时也成立，∴. （2）， ∴数列的前项和 . 17. 已知如图是由两个全等的梯形和沿着公共边折叠而成的立体图形，其中,. （1）证明：； （2）若，点为的中点，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为在梯形中，,. 所以， 取点为上一点，且，连接， 则易得 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取点为上一点，，连接，得到证得平面，进而得到； （2）以为轴，以为轴，以过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求出直线方向向量及平面法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 所以，又， 由余弦定理得,所以， 如图所示，以为轴，以为轴，以过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 可得， ， 设平面的法向量为， 则,故可取 设直线与平面所成角为， 则 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 【答案】（1） （2）是， （3）24 【解析】 【分析】（1）由直线垂直于轴时知椭圆经过点，结合离心率列出关于的方程组，解得即得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入并根据韦达定理求得，再求出，将代入即得答案； （3）由（2）中韦达定理可得到，分别求出直线、并联立得到，解得，设点的坐标为，根据点在和上，求出直线和的方程，进而求出点的坐标，即可求得. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，可得，即，① 因为过点的直线垂直于轴时截得弦长， 所以椭圆经过点. 所以，② 由①②解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，设直线的方程为， 联立，可得， 可得， 直线的斜率分别为， ， 所以， 因为在直线：上，所以， 所以 ， 代入式子可得； 【小问3详解】 由（2）知，可得，所以， 直线的方程为，直线的方程为， 两条直线联立可得 则， 解得，所以设点的坐标为， 因为过原点平行于的直线斜率为，且点在上， 则， 故该直线的方程为， 点在上，则， 故直线的方程为. 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以. 19. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明： 当时，，原不等式等价于，即 . 令，则， 令，则 恒成立， 故在上单调递增. ， 所以存在唯一使得，即. 所以在上单调递减，在上单调递增，故. ， 令 ， 所以在上单调递增. ， 因此，即， 因此，恒成立，即 . 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，从而求得切线的方程； （2）根据恒成立，分离参数，得，构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可得到实数的取值范围； （3）原不等式等价于 ，构造函数，利用导数分析的单调性，可得，即原不等式得证. 【小问1详解】 函数，则， 所以 . 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 因为恒成立，即恒成立，即. 令， 令，得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 故在处取得极大值，即最大值，最大值为， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $