精品解析：安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试卷

芜湖一中2022届高二年级6月份月考试卷 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共25题，满分100分，考试时间90分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共54分） 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，满分54分，每小题4个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 圆柱 D. 球 5. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 A. B. C. D. 6. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是 A. B. C. D. 7. 点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或. 8. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A. 167 B. 137 C. 123 D. 93 9. 已知点，点，向量，若，则实数y的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7 10. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A. 8号学生 B. 200号学生 C. 416号学生 D. 915号学生 11. 设满足约束条件，则的最小值是 A. B. C. D. 12. 已知函数是上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 13. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 14. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 15. 执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为，则过定点的直线与圆，截得的最短弦长为 A. B. C. D. 16. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了 A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里 17. 如图，圆柱中，半径OA，等于1，且，异面直线AB与所成角的正切值为，则该圆柱的体积为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 18. 如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共46分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 19. 不等式的解集为_________．（用区间表示） 20. 已知在正方形ABCD中，分别以边AB，CD为直径作半圆如图所示，若在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 21. 已知，则________． 22. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则__________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分．解答时应写出文字说明及演算步骤．） 23. 在中，角所对的边长分别为，且满足． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若的面积为，求的值． 24. 如图，已知平面 ，点分别是 的中点． （1）求证：平面 ； （2）求证：平面平面 ； （3）求直线与平面 所成角的大小． 25. 在正项数列中，，，其中． （1） 写出，及； （2） 记数列的前n项和，设，试判断与1的大小关系； （3） 对于（2）中的，不等式对任意大于1的整数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖一中2022届高二年级6月份月考试卷 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共25题，满分100分，考试时间90分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共54分） 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，满分54分，每小题4个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 则. 故选：B. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】，所以，函数的最小正周期为. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义判断. 【详解】直线与轴垂直，所以倾斜角为. 故选：D. 4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 圆柱 D. 球 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个三棱柱. 【详解】该几何体为一个三棱柱，如图. 故选：A. 5. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率； 解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故. 【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力. 6. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项： 为非奇非偶函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选D. 7. 点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 8. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A. 167 B. 137 C. 123 D. 93 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60， ∴该校女教师的人数为77+60=137， 考点：收集数据的方法 9. 已知点，点，向量，若，则实数y的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，根据向量平行得到方程，求出. 【详解】， 根据得，解得. 故选：D 10. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A. 8号学生 B. 200号学生 C. 416号学生 D. 915号学生 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意 ，得到被抽测的号码满足，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，从1000名新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验， 可得抽测的间距为，所以在抽取的号码为， 则被抽测的学生号码满足， 对于A中，令，解得，所以A不正确； 对于B中，令，解得，所以B不正确； 对于C中，令，解得，所以C正确； 对于D中，令，解得，所以D不正确. 故选：C. 11. 设满足约束条件，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得的最小值. 【详解】作出可行域,如图所示: 将目标函数化为斜截式得, 由图可知,最优解为, 所以当,时,. 故选:C 【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,作出可行域,根据斜率关系找到最优解是答题关键. 12. 已知函数是上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义求出参数的值，进而可求得的值. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即恒成立， 所以，，可得，， 因此，. 故选：C. 13. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 14. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在性定理结合单调性判断. 【详解】因为函数在单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，， 所以函数在上存在唯一零点. 故选：D. 15. 执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为，则过定点的直线与圆，截得的最短弦长为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据程序框图求出，结合点与圆的位置关系，确定最短弦的位置，结合勾股定理求解. 【详解】根据程序框图，第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；第四次运算：；此时结束循环输出，即. 易知点在圆内部，且与圆心的距离为2，由圆的性质可得，当直线与过点的直径垂直时，所得弦长最小.此时弦长为. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和圆的弦长求解，过圆内一点的直线被圆所截得的最长弦是圆的直径，最短弦是与该直径垂直的弦. 16. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了 A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值. 【详解】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B. 【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题. 17. 如图，圆柱中，半径OA，等于1，且，异面直线AB与所成角的正切值为，则该圆柱的体积为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点，则，由平行等于，且得，所以圆柱的高，圆柱的体积为． 【详解】过作于点， 则即为异面直线与所成角， 则， 由平行等于，且， 可得， 得， 又, 所以圆柱的高， 所以圆柱的体积为． 故选：C. 18. 如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 为求矩形面积的最大值，可先将其面积表达出来，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论． 【详解】解：设长为，则长为 又因为要将点围在矩形内， 则矩形的面积为， 当时，当且仅当时， 当时， 分段画出函数图形可得其形状与接近 故选：． 【点睛】解决本题的关键是将的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出的解析式，属于基础题． 第Ⅱ卷（非选择题 共46分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 19. 不等式的解集为_________．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【详解】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：． 考点：一元二次不等式． 20. 已知在正方形ABCD中，分别以边AB，CD为直径作半圆如图所示，若在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形边长为2，求出阴影部分的面积，得到概率. 【详解】设正方形边长为，则空白部分的面积为， 故阴影部分的面积为， 在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 故答案为：. 21. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式可得，在结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，可得，则， 所以. 故答案为：. 22. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则__________． 【答案】26 【解析】 【分析】利用向量加法、减法、数乘和数量积运算，求得的值. 【详解】连接部分圆心如下图所示.根据圆的几何性质可知四边形是菱形，且. 所以， . 所以 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查向量加法、减法、数乘和数量积运算，属于中档题. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分．解答时应写出文字说明及演算步骤．） 23. 在中，角所对的边长分别为，且满足． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若的面积为，求的值． 【答案】（1）;（2）. 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinCsinB= sinBcosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC=，即可得解C的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a2+b2﹣c2=ab，又a2﹣c2=2b2，可得a=3b，利用三角形面积公式即可解得b的值． 详解： 1由已知及正弦定理可得，， ， ， 2 由1可得，， ， 又， ， 由题意可知，， ，可得：  点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 24. 如图，已知平面 ，点分别是 的中点． （1）求证：平面 ； （2）求证：平面平面 ； （3）求直线与平面 所成角的大小． 【答案】（1）证明： 如图，连接，在中，因为和分别是的中点，所以，又因为 平面，所以平面 ． （2）证明： 要证明 平面平面，可证明；因为 为中点，所以，因为平面，所以平面 ，从而，又，所以 平面，又因为平面 ，所以平面平面． （3）. 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：（1）要证明平面 ，可以先证明与平面 内的直线平行，然后就可以线面平行；（2）要证明平面 平面，可以先证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，即先证明 平面，之后再证明平面 平面；（3）先作出直线 与平面所成的角，再结合直角三角形的边角关系，就可求出直线与平面 所成角的大小． 试题解析：（1）略． （2）略． （3）取中点，连接，则就是直线与平面 所成角，中，由，得直线 与平面所成角为． 考点：1、线面平行；2、面面垂直；3、线面角. 25. 在正项数列中，，，其中． （1） 写出，及； （2） 记数列的前n项和，设，试判断与1的大小关系； （3） 对于（2）中的，不等式对任意大于1的整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据递推公式可知数列为等差数列，由此即可求出； （2）根据等差数列的前项和公式求出，再根据裂项相消法求出，由此可得答案； （3）由题意代入数据分离参数得对任意大于1的整数恒成立，再结合基本不等式即可求出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，，且数列为等差数列， ∴； （2）由（1）可得， ∴， ∴ ， ∵， ∴； （3）由（2）可得，，， 由得， ， 又， 当且仅当即时等号成立， ∴， ∴实数的取值范围为． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查裂项相消法求和，考查基本不等式的应用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $