精品解析：黑龙江哈尔滨工业大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

哈工大附中2025-2026学年度八年级检测 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，不是函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，3，2 5. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD的（ ） A. 四条边相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 6. 从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（ ） A. 11条 B. 12条 C. 13条 D. 14条 7. 如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E是上一点，连接，，若，，则菱形的周长为（ ） A. 60 B. 40 C. 36 D. 48 10. 如图，在边长为6的正方形中，在边上取一点G使得，连接，点E在边上，作交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 13. 在平行四边形中，如果，则______． 14. 正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为______． 15. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为______． 16. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 __________ 17. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 18. 在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为_____． 19. 如图， 在中，， P、Q分别是和上的点，，M是边上的一动点， 连接．则的最小值为________________． 20. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，连接并延长，交于点G，交于点H，当时，有下列结论：①；②；③；④；则正确结论的序号是______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． （1）画出以线段为边的平行四边形，点E、F分别在小正方形的顶点上，使得平行四边形的面积为12； （2）画出以为底边的等腰直角，点M在小正方形的顶点上； （3）连接线段，并直接写出线段的长度． 23. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 24. 在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形． 25. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，销售量为 ，月销售利润为 元； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 26. 定义：在一个四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做倍直四边形． （1）探究发现 如图1，在倍直四边形中，，过点D作交于点E．若，求证：． （2）问题拓展 如图2，在倍直四边形中，，，点E在线段上，连接，且，连接，求的度数． （3）方法迁移 如图3，在倍直四边形中，，，，，点E在线段上，作，且交于点P，过点E作于点M交于点N．已知，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A，点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，取线段的中点C，连接．已知，，点D在y轴负半轴上，． （1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2，点Q在y轴负半轴上且在点D下方，以，为邻边作矩形，点E在线段上（点E不与点P，点Q重合），连接交于点M，若，设，，求d与t的关系式（用含t的式子表示d，不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，的延长线交x轴负半轴于点R，点K在的延长线上，连接，，过点D作交的延长线于点J．若，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈工大附中2025-2026学年度八年级检测 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程满足的条件（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项：方程为，最高次数为3，不符合二次项要求，故此选项不符合题意； B选项：展开得，整理为，为一元一次方程，故此选项不符合题意； C选项：含分式项，非整式方程，故此选项不符合题意； D选项：展开并整理为，满足整式、一个未知数且最高次数为2，符合定义，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列选项中，不是函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 3. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加减法，判断，，，都不符合题意，根据二次根式的乘法法则，判断选项，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 、，本选项不正确，故不符合题意； 、，本选项不正确，故不符合题意； 、，本选项正确，故符合题意； 、，本选项不正确，故不符合题意， 故选：． 4. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，3，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证三边满足即可验证是直角三角形． 【详解】A：，能构成直角三角形； B：，不能构成直角三角形； C：，不能构成直角三角形； D：，不能构成直角三角形； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 5. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD的（ ） A. 四条边相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D， ∴AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ∴平行四边形ABCD的对角线互相平分， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法． 6. 从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（ ） A. 11条 B. 12条 C. 13条 D. 14条 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的特点，多边形的对角线的定义，从多边形一个顶点出发的对角线数等于总顶点数减3（排除自身和两个相邻顶点），由正n边形从一个顶点出发有条对角线，由此即可求解． 【详解】解：∵ ，从一个顶点出发的可连接顶点数为， ∴ 对角线数为， 故选：A． 7. 如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 9. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E是上一点，连接，，若，，则菱形的周长为（ ） A. 60 B. 40 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，设，则，，得出， 确定， 得出， 即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵在上，且， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的周长为． 10. 如图，在边长为6的正方形中，在边上取一点G使得，连接，点E在边上，作交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于点，易得四边形为平行四边形，进而得到，证明，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵边长为6的正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于是解答本题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为，可求解可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意，有， 解得：． 故答案为：． 12. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 13. 在平行四边形中，如果，则______． 【答案】 125 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，可求出的度数，再利用平行四边形对边平行，邻角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得， ． 14. 正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的增减性可知一次项系数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 15. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先利用勾股定理求得，再证明是的中位线，从而得到． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 16. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：，即， 故答案为：． 17. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】∵，且是整数， ∴2是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故答案为6． 【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 18. 在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得：， 如图，当在线段上时， ∴， 在中由勾股定理得：， 如图，当在线段延长线上时， ∴， 在中由勾股定理得：， 综上可知： 的长为或． 19. 如图， 在中，， P、Q分别是和上的点，，M是边上的一动点， 连接．则的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，对称的性质，作点关于的对称点，连接，根据题意易证是等边三角形，得到，再根据，，求出，由对称的性质易得，易证，推出，推出，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，则有最小值为的长，即可得到结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， 由对称的性质易得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当三点共线时，则有最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 20. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，连接并延长，交于点G，交于点H，当时，有下列结论：①；②；③；④；则正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，利用即可证明；对于②，通过角度推导得到；对于③，通过证明即可判断；对于④，延长交于点，得到，设，则，那么，故，那么． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴ ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ∵ ∴，故②错误， ∴， ∴， ∴，故③正确； 延长交于点， ∴ ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴ ∴， ∴，故④错误． 综上：正确的有①③． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内进行通分后，对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 22. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． （1）画出以线段为边的平行四边形，点E、F分别在小正方形的顶点上，使得平行四边形的面积为12； （2）画出以为底边的等腰直角，点M在小正方形的顶点上； （3）连接线段，并直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将两点往左平移3格，即可得到，然后连接，可得该平行四边形的底边为3，高为4； （2）可知将往右平移2格，再向上平移1格得到点，借助网格，可得，满足，那么； （3）借助网格，利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 解：下图即为所求作： 【小问2详解】 解：下图即为所求作： 【小问3详解】 解：连接线段，如下图所示： ． 23. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】（1）铺设这条鹅卵石路的最低花费为元 （2）整块空地上种植草皮共需投入元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵铺设成本为， ∴铺设这条鹅卵石路的花费为（元）． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴整块空地的面积为：， ∵种植草皮的费用是元， ∴整块空地上种植草皮共需投入（元）． 24. 在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可推出，根据角平分线的定义可推出，再结合三角形外角的性质可得出，即推出，结合题意，即证明四边形是平行四边形； （2）首先证明平行四边形是菱形，然后证明是等边三角形，得到，再根据等底等高的三角形面积相等可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，四边形是平行四边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴、、、的面积都与的面积相等． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等等知识．熟知特殊四边形的判定和性质是解题关键． 25. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，销售量为 ，月销售利润为 元； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 【答案】（1）450；6750 （2）80元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，与实际结合的比较紧密，解答本题的关键是仔细审题，得出等量关系，有一定的难度． （1）根据单价每涨1元，月销售量就减少10千克可得出销量，继而能得出销售利润． （2）销售成本不超过10000元，即进货不超过．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论． 【小问1详解】 解：当销售单价定为每千克55元时， 月销售量：（千克）， 利润：（元）； 【小问2详解】 解：由题意产品进货不超过， 设定价为元， 则， 解得：，， 当时，进货，符合题意， 当时，进货，舍去． 答：销售单价应为80元． 26. 定义：在一个四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做倍直四边形． （1）探究发现 如图1，在倍直四边形中，，过点D作交于点E．若，求证：． （2）问题拓展 如图2，在倍直四边形中，，，点E在线段上，连接，且，连接，求的度数． （3）方法迁移 如图3，在倍直四边形中，，，，，点E在线段上，作，且交于点P，过点E作于点M交于点N．已知，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先推出，再证明即可； （2）过点作交于点，先证明为等腰直角三角形，得到，接着证明，推出，最后算得答案； （3）延长交的延长线于点，先证明四边形是矩形，得到，，，接着证明是等腰直角三角形，得到，，那么，不妨设，那么，接着证明，得到，，下一步证明，推出，，根据，得到，最后在中，利用勾股定理求得，从而得到，结合（1）可知，． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点作交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 不妨设，那么， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A，点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，取线段的中点C，连接．已知，，点D在y轴负半轴上，． （1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2，点Q在y轴负半轴上且在点D下方，以，为邻边作矩形，点E在线段上（点E不与点P，点Q重合），连接交于点M，若，设，，求d与t的关系式（用含t的式子表示d，不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，的延长线交x轴负半轴于点R，点K在的延长线上，连接，，过点D作交的延长线于点J．若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理即可求得，从而得到点A的坐标； （2）延长和相交于点F，根据（1）中所求可得，易证是等腰直角三角形，得到，然后根据矩形的性质，易证，得到，最后利用线段的和差即可求得结论； （3）设的延长线交y轴负半轴于点G，交于点H，先证明，再证明，从而得到，，然后根据矩形的性质和线段和差得到，从而证明、都是等腰直角三角形，结合，通过角度的和差以及三角形内角和定理推导出、，进而由等角对等边和线段的和差求得，最后在中利用勾股定理建立方程求得，从而求得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点C是线段的中点，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 解：如图2，延长和相交于点F， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵设，，则， ∴， ∵， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图3，设的延长线交y轴负半轴于点G，交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵矩形， ∴，，， ∴，， 由（2）可知，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $