河南开封市尉氏县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

**基本信息** 八年级数学期中试卷，以“二十四节气”考轴对称与中心对称、“俄罗斯方块”查图形运动，融合文化传承与生活情境，体现几何直观与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、不等式性质、三角形交点|结合文化遗产设计情境题| |填空题|5/15|多边形内角和、反证法、不等式应用|考查数学语言表达（如反证法假设）| |解答题|8/80|图形变换、方案设计、新定义“互联”|分层设计，如旋转探究题（第23题）培养推理能力|

八年级数学 时间：100分钟 知识分值满分120分，卷面分值满分5分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录。下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( 2.已知m<n，则下列各式中一定成立的是( ) A.2m+1<2n+1 B. C. m-n>0 D. 3.游戏时，3名同学分别站△ABC在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜、为使游戏公平、则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的( ) A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边中线的交点 D.三边上高的交点 4.下列各数中，能使不等式2x+1<3成立的是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.一次函数y₁= mx+n与y₂= kx+a的图象如图所示,则 mx+n> kx+a的解集为( ) A. x<2 B. x>2 C. x>1 D. x<1 6.如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图,已知直线EF与BD相交于点P, AB∥CD, ∠P=15°,∠CFP=100°,则∠ABP的大小为( ) A.100° B.95° C.90° D.85° 7.若不等式组 无解、则实数a的取值范围是( ) A. a≥1 B. a<-1 C. a≤1 D. a≤-1 8.如图, △ABC中, ∠ACB=90°, AD为角平分线, 为直线AB上一动点，连接PD，则线段PD长的最小值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 A.9.如图,等腰△ABC的顶点B在y轴上,顶点C在x轴上,已知B(0,2), A(- 2),AB=BC,将△ABC绕点C顺时针旋转,每次旋转90°,若旋转后点A的对应点A'的坐标为 则旋转的次数可能是( ) A.71 B.72 C.73 D.74 10.“俄罗斯方块”是一种早期的电子游戏，核心玩法是在方格场地中，操控7种积木(每个占四个格子)通过平移、旋转并堆叠(积木与积木之间不能重合，没有缝隙)，填满整行即可消除该行从而得分，积木堆到顶端则游戏结束、例如：下图①中，将上方“长方形”积木，向下平移4个格子，就可以消除“第1行”从而得分.那么当如图②中最上方积木通过怎样的运动可以同时消除“第1行和第2行”( ) A.向下平移3格 B.以格子A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移2格 C.以格子A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格 D.以格子A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°，再向下平移2格 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 . 12.用反证法证明“已知在△ABC, AB=AC,则∠B<90°”时,应假设: . 13.某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本或以上可享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠：第2种：全部按原价的九折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少买 本笔记本. 14.如图,在△ABC中, AB=AC, AE平分∠BAC, DE垂直平分AB,垂足为点D,连接CE, ∠B=50°,则∠BCE的度数为 . 15.若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则m的取值范围是 . 三、解答题：本题共8小题，知识分共75分，卷面分5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分)解不等式(组)，并将不等式(组)的解集在数轴上表示出来：(卷面分5分) (1)-3(2x-1)>4x+1; 16.解： (1)3(2x-1)>4x+1, 6x-3>4x+1, 6x-4x>1+3, 2x>4, x>2, 数轴表示如下： 解不等式①得， 解不等式②得， x<4, 所以不等式组的解集为 数轴表示如下： 17.(9分)如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上,点O为原点,点A、B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3). (1)将△AOB向下平移3个单位后得到△A₁B1C₁,则点B₁的坐标为 ; (2)画出△AOB关于y轴对称的△A₂B₂C₂; (3)将△AOB绕点O逆时针旋转180°后得到△A₃OB₃, 17.解：(1)由题意，得 故答案为: (1, 0); (2)如图, ①, 过点O作OA的垂线，在上面取一点. 使 ②，同样的方法求出点 ，顺次连接. B2、O就得出 是所求作的图形 . (3)如图, ①, 过点O作AO的延长线，在上面取一点 A3使 OA3=OA, ②，同样的方法求出点 B3,，顺次连接. A3、B3、O就得出 △A3OB3, ∴△A3OB3是所求作的图形 . 18.(9分)在△ABC中, ∠C=90°, AC=6, BC=8,将△ABC沿某条直线折叠,使三角形的顶点A与B重合，折痕为DE. (1)试求△ACD的周长; (2)若∠CAD:∠BAD=4:7,求∠B的度数. 18.解：(1)由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB, 根据垂直平分线的性质可得： DA=DB, 所以， DA+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14; △ACD的周长为14 (2)设 则 在 中， 即： 19.(9分)某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元.若计划用两种货车共10辆、一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案?哪种方案总运费最低?最低运费是多少元? 20.(9分)如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置?请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置(保留作图痕迹，不写作法) 21.(9分)如图,在等腰Rt△ABD中, 点F在线段AD上，点C在BD的延长线上，连接AC, BF,并延长BF交AC于点E,且BF=AC. (1)求证: BE⊥AC; (2)过点F作FG∥BD、交AB于点G,猜想线段GF、DC、BD满足的数量关系,并证明; (3)若E为AC中点,求AF: DF的值. 22.(10分)对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数m，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数m“互联”.例如：不等式x>1和不等式x<3关于整数2“互联” (1)不等式x-1<3和x-3≥0关于整数 “互联”; (2)若关于x的不等式x-2a<0和 关于整数m“互联”， ①直接写出m的值为 ； ②求a的最大值； (3)已知不等式x>3-n和x<n+3关于整数3“互联”，直接写出n的取值范围. 23.(12分)在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边 内部,且PA=3, PC=4, ∠APC=150°,求PB的长. (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将 绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP'B，连接PP'，寻找PA，PB，PC三边之间的数量关系，即可求得PB的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°, P为△ABC内一点, 可判断出 请说明理由： (3)如图③,在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=1, ∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO, CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分) 1-5DAAAA 6-10DBADC 二、填空题 (本大题有5个小题，每小题3分，共15分) 11.6 12.∠B90° 13.5 14.10° 15. 三、解答题 (本大题共8小题，知识分共75分，卷面分5分) 16.解： (1)3(2x-1)>4x+1, 6x-3>4x+1, 6x-4x>1+3, 2x>4, x>2, 数轴表示如下： 解不等式①得， 解不等式②得， x<4, 所以不等式组的解集为 数轴表示如下： 17.解：(1)由题意，得 故答案为: (1, 0); (2)如图, ①, 过点O作OA的垂线，在上面取一点. 使 ②，同样的方法求出点 ，顺次连接. B2、O就得出 是所求作的图形 . (3)如图, ①, 过点O作AO的延长线，在上面取一点 A3使 OA3=OA, ②，同样的方法求出点 B3,，顺次连接. A3、B3、O就得出 △A3OB3, ∴△A3OB3是所求作的图形 . 18.解：(1)由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB, 根据垂直平分线的性质可得： DA=DB, 所以， DA+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14; △ACD的周长为14 (2)设 则 在 中， 即： 19.解:设安排甲型货车x辆,则乙型货车为10-x辆,根据题意列不等式组: 解不等式1得x≥5; 解不等式2得x≤5; x=5, 则只有1种运输方案:甲型货车5辆,乙型货车10-5=5辆; 总运费为:400×5+360×5=2000+1800=3800(元), 答:有1种运输方案,该方案为最低运费方案,最低运费3800元. 20.解：分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求，如图所示，点P即为所求作的点. 21.(1)证明:在等腰Rt△ABD中, ∠ADB=90°, ∴∠ADC=∠BDF=90°, AD=BD,在Rt△ADC和Rt△BDF中, ∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL), ∴∠DAC=∠DBF, ∵∠BFD=∠AFE, ∠DBF+∠BFD=90°, ∴∠DAC+∠AFE=90°, ∴∠AEF=180°-90°=90°, ∴BE⊥AC; (2)解: GF=BD-CD; 证明:如图1,过点F作FG∥BD,交AB于点G, ∴∠AGF=∠ABD=45°, ∠AFG=∠ADB=90°, ∴△AFG是等腰直角三角形， ∴GF=AF, ∵Rt△ADC≌Rt△BDF, ∴CD=DF, ∴GF=AF=AD−DF=BD−CD,即GF=BD-CD; (3)解: 如图2, 连接CF, ∵CD=DF,∠CDF=90∘, ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴CF=2DF, ∵E为AC中点, BE⊥AC, ∴BE垂直平分AC, ∴CF=AF, ∴AF=2DF, ∴AF:DF=2. 22.解：(1)是，理由如下： 解不等式得3≤x<4, 满足条件的整数有且只有一个：3，所以这两个不等式是“互联”的； 故答案为：是. (2)①解不等式x-2a<0,得x<2a ∵关于x的不等式x-2a<0和 关于整数m“互联”, ∴m=1, 故答案为：1. ②依题意， 的整数解为x=1, 解得： 故a的最大值为1； (3)若不等式x>3-n和x<n+3是关于整数3“互联”的, 则满足3-n<x<n+3的整数有且只有一个，为3, 解得： 23.(1)解: PB=5; 证明：∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP'B, ∴PA=P'A, ∠PAP'=60°, ∴△PAP为等边三角形， ∴PP'=PA=3, ∠APP=60°, ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC, ∠BAC=60°, ∴∠BAP'=∠CAP=60°-∠BAP, 在△BAP和△CAP中, ∴△BAP≌△CAP(SAS), ∴BP'=CP=4. ∠AP'B=∠APC=150°. 在直角三角形BPP中，由勾股定理得： ., (2)证明：如图②，将PC绕点C顺时针旋转9 得到DC, 连接AD, PD, 由勾股定理得， 又 由勾股定理得 (3)解：如图③，将OB绕点B顺时针旋转 得到O'B,，将AB绕点 B顺时针旋转 得到A'B，连接O'A',OO', 同(1)可得. 为等边三角形， ∴OO'=OB, ∠O'OB=∠OBO'=∠OO'B=60°, 同(1)可得△ABO≌△A'BO'(SAS),∴O'A'=OA, ∠A'O'B=∠AOB=120°, ∠ABO=∠A'BO', ∴∠BOC+∠O'OB=180°, ∠A'O'B+∠OO'B=180°, ∴点C, O,O',A'在同一条直线上， ∴OA+OB+OC=O'A'+OO'+OC=A'C, ∵∠OBC+∠ABO=30°=∠OBC+∠A'BO', ∴∠OBC+∠A'BO'+∠OBO'=90°, ∵∠C=90°, AC=1, ∠ABC=30°, ∴A'B=AB=2AC=2, 由勾股定理得： ∴ 即 学科网（北京）股份有限公司 $