上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦函数与几何核心知识，通过生活情境与分层问题设计，考查抽象能力、推理意识及模型意识，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题/30分|函数应用、立体几何|结合购物优惠情境考查函数建模，通过折叠问题发展空间观念|

2026年罗店高二下期中考试数学试卷 一、填空题 1.已知等差数列{an}满足a3=-2,则a1+a5=一 【解析】-4 2.已知双曲线C:号-苦=1，则C的离心率为一 【解析】 3.某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编 号为001,002,449,450，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学 的编号为 648442175572175455068331 047447672176335025839212 067663016378591695556719 【解析】176 4.已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(3,),则D[3X-1]= 【解析】6 5.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,-1),则与b的夹角大小为 【解析】 6.若C克=C%,则(2x-1)”的展开式中含x2项的系数为一 【解析】-220 7.现有7名同学分别去A、B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小 区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为一（用数字作答） 【解析】70 8.斜率为1的直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,若l与圆(x-5)2+y2=8 相切，则p等于 【解析】2或18 9.己知一圆柱的休积为54π立方厘米，则当该圆柱的表而积最小时，底而半径r= 厘米 【解析】3 10.若函数f(x)=12x-x3作区问(m-5,2+1)上有最小值，则实数m的取值范 围为 【解折】（←引 11.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=(x-1)(x-a)(x-b),x∈R,写出所行正 确命题的序号一· ①.函数y=f(x)的裘点的个数一定是3个 ②.函数y=f(x)在(b,0)处的切线方程为y=0,则b=1 ③.若集合A={xf(x)≥0的解集是[0，+o),则实数对(a,b)有2对 ④.函数y=f(x)必存在极值 【解析】③ 12.已函数f(x)= -e,x≤0 ,点M、N是数y=f(x)图象上不同的两个 -V2+x2,x> 点，设O为坐标原点，则tanMON的取伯范围是 【解析】 u+ 作出函数fx)的图象如下图所小： 设过原点A.'函数f(x)(x≤0)的图象相切的直线的方程为y=kx,切点为 (o品-e2）则切线方程为y-品+2=〔x-x0, 将原点坐标代入切线方程得-+2=-(1-x)品， 即点=e2,解得0=-e 2 则tang=tan(g-a)= tan tand =-1-(ex1)=1+2 1-(e+) 结合图形可知，0<tanM0N<1+是 二、单选题 13.己知随机变量专~N(3,4),则“a=3"是“P(5<a)=号”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】C 14.己知x1≠x2,yy2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2),动点P在x轴上，设直线AP、BP 的斜率分别为k1,k2,当|PA+IPB|取最小值时，k1,k2满足C) A.k]=k2 B.k1+k2=0 C.k1…k2=1 D.k1k2=-1 【解析】B 15.在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分 都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是〔) 頻率组距 0.035 0.030 0.020 0.010 a 可405060708090得分1分 A.可求得a=0.005 B.这200名参赛者得分的中位数为64 C.得分在[60,80)之间的频率为0.5 D.得分在[40,60之间的共有80人 【解析】B 16.在一个抽奖游戏中共有n(n≥3，n∈W)扇关闭的门，其中k(k≤n-2,k∈N)扇 门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一 扇门，但不立即打开主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决 定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门的获奖概率分别为() A片B高 C.k k(n-1)D.k-1:k n'n(n-2） ‘n-2'n-2 【解析】C 不换门：则与一开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为； 换们：若一开始选择的门有奖则换门后的中奖概率为号：若一开始选择的门无炎， 则换门后的中奖概率为÷所以换门的中奖概率为片兰+1-月÷-号放 选C 三、解答题 17.(7+7=14分) 已知数列{a}为等差数列，其前n项和记为Sn· (1)若a1012=1,则S2023; (2)已知等差数列{an}的公差d=2,S1oo=10000,，求其通项公式an· 【解析】 (1)因为a1+a2023=2a1012, 所以S2023=2023a,2=2023a1012=2023; 〔2)油S10=100a1+10010-D×2=10000,解得a1=1. 2 故an=a1+(n-1)d=2m-1. 18.(7+7=14分) 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,AB⊥AC,D,E 分别为AB,A1C1的中点. (1)证明：A1D/平面EBC: (2)若三棱锥A-EBC的体积为，求平面EBC与平面A1ABB1夹角的 余弦值 【解析】 (1)设BC的中点为M,连接DM,EM. 因为E,D分别为A1C,AB的中点，所以DM/IAC，且DM=二AC, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1E/AC,且A1E=号AC,所以DM/A1E,DM=A1E, 所以四边形DMEA1为平行四边形，则EM/AD.又EMc平面EBC,A1D不在平 面EBC上，所以A1D/I平面EBC. (2)以A为原点，分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设直三棱柱的 侧棱长AA1=h,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,h),D(1,0,0),E(0,1,h)三棱锥 VA-EBc=VE-ABC,E到底面ABC的距离为h,S△ABc=AB·AC=2, A 因此VA-Ec=Vg-ABc=△ABc·h=号×2Xh=号h=专解得h=2. 则向量A1D=(1,0,-2),EB=(2,-1,-2),EC=(0,1,-2), 设平面E8C的法向最为n=(k,y),则n·丽=2x-y-2z=0 n.EC=y-2z=0 令z=1得y=2,x=2,即n=(2,2,1); 平面A1ABB1的一个法向量为m=(0,1,0); 5 设两个平而夹角为日，则lcos1=号 即两个平面的夹角余弦值为或-子， 19.(6+8=14分) 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小 说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集 其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件A为小明取到的卡牌人物属于天 罡，事件B为小明取到的卡牌为隐藏卡，求P(B)和P(BIA),并判断事件A和事件B 是否独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则： 抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一 张隐藏卡，得3分：抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余 情况不得分.设X为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出X的分布，并求出X的 数学期望 【解析】 ()由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得P(B)=云， 由条件概率公式可得P(B1A)=Mna!=名= 484 因为P(AnB)=云，P(A)=云所以P(4nB)≠P(A)P(B), (或者P(BIA)≠P(B)) 枚事件A与事件B不独立. (2)由题意可知，随机变量X的可能取值有：0、1、3、5， 则PK=)-誉-茹PX=)=要-影PX=0-警-会 C25 P(X=0)=1 1 21623 30-50-25=751 0 1 所以随机变量X的分布为： 6 21 2 30/ 枚EX=0×号+1×会+3×器+5×易- 6 20.(6+6+6=18分) 己知函数f(x)=ax+lnx+1. (1)当a=1时，求函数在点(1,2)处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)对任意的x>0,f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】 (1)当a=1时，fx)=x+lnx+1,则f(x)=1+,所以f(1)=2,f(1)=2,所以函数 在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. (2②)函数f)的定义域为(0，+o),f()=a+=， x 当a≥0时，对任意的x>O,f(x)>0,此时函数f(x)的单调增区间为(0，+o); 当a<0时，由f)>0可得0<x<-,由f()<0可得x>- 此时函数f(x)的单调增区间为(0，-)，单调减区间为(-+∞) 综上所述，当a≥0时，函数f(x)的单调增区间为(0，+∞)； 当a<0时，函数f)的单调增区间为(0，-引，单调减区间为(-+∞) (3)对任意的x>0,f(x)=ax+lnx+1≤0，可得-a≥lnx 令g()=hx,其中x>0,则g)=0ax2=-。 2 由g'(x)>0可得0<x<1,由g'(x)<0可得x>1, 所以函数g(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，+∞)， 所以-a≥g(x)max=g(1)=1,解得a≤-1， 因此实数a的取值范围是〔-∞，-1]. 7 21.(4+6+8=18分) 在平面直角坐标系x0y中，椭圆C方程为号+兰=1(Q>b>0).已知椭圆的长轴长 为2N2,离心率为号，P,F2分别是椭圆左、右焦点，直线1与椭圆C交于AB两点。 (1)求椭圆方程： 2)若直线1是圆0：2+P=的任意一条切线，求0A0丽的值： (3)若直线I不经过左焦点F1,设焦点F2到直线l的距离为d,如果直线AF,l, BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围. 【解析】 ()油题意可得e-日=号椭圆的长轴长为22，即有2a=22,即a=V2,又a2- 62=2,解得6=c=1,即有椭圆的标准方程为兰+y2=1; 2)圆0：x2+y-子，设A(x,y),B(x2,y2),则OA·0B=x1x2+z2.直线1为 圆0的切线，分直线！的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线L的斜率不存在时，直线上x=土号若x= 3,由 作+y2=1 (x=6 解得 3 0=±9 此时O所，0丽=xx2+y2=号-号=0.若x=-9,同理得：O0死=0. ②当直线l1的斜率存在时，设l1:y=kx+t. 由后+y=1,得a+2+4秋x+20-2=0,0 (y=kx+t 8 △=16k2t2-8(1+2k2(t2-1)=8(2k2-t2+1),又直线L是圆0的切线， 故品=9，可得3=2次+2△>0恒成立 名+x2=- 1+2k2 (七-22 而yy2=(kx+0(kx2+)=k2x2+kt(x1+x2)+t2=-2 1+2k2 1+2k2 x1x2+y1y2 22-2+2-2张=3-22-2=0，即04.0B=0. 1+2k21 1+2k2 1+2k2 综上，恒有0A.0B=0 3)F,F2分别是椭圆苦+y=1的左、右焦点，可得F,(-1,0,P,1,0, △>0则2k2+1>t,② 由直线A,×1×BF,的斜率品×k×异依次成等差数列， x2+1 可得+品，=2k,厘归=k1+y2=k2+t 所以有(kx1+t)·(x2+1)+(kx2+t)·(x1+1)=2k(x1+1)·(x2+1), 化简井整理得：(t-k)(x1+x2+2)=0 假设t=k,则直线l的方程为：y=kx+k,即直线l经过点F,(-1,0),不符合条件，则 x1+x2+2=0, 由方程()及韦达定理可知：数=一(+x)=2,则t=k+示，③ 由②@可知，22+1>2-(k+)°，化简得：k2>是，这等价于：>竖， 当t、k满足国及k1>号时，直线必不经过F,(-1,0)(否则将导致t=k,与®矛盾)， 而此时t、k满足②，从而直线l与椭圆有两个不同的交点A为B 同时也保证了AF1XBF1的斜率存在（否则x1Xx2中的某一个为-1， 结合x1+x2+2=0可知x1=x2=一1，与方程①有两个不同的实根矛盾) 记点F2(1,0)到直线：y=kx+t的距离为d,则 d=器-赢+别房+ ),注意到以>竖。 令m-高则me红回从而④式可改马d=·(号+月)(n+月. 考虑到函数f(m)=(m+)在[1，v3上严格减，则d∈(5,2) 102026年罗店高二下期中考试数学试卷 一、填空题 1.已知等差数列{an}满足a3=-2,则a1+a5=一 2.已知双曲线C苦-苦-1，则C的离心率为一 3.某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编 号为001,002,449,450，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学 的编号为 648442175572175455068331 047447672176335025839212 067663016378591695556719 4.己知离散型随机变量X服从二项分布X~B(3,),则D[3X-]=— 5.已知向量a=(-1,1,0),万=(1,0-1)，则与的夹角大小为一 6.若C克=C”,则(2x-1)”的展开式中含x2项的系数为一 7.现有7名同学分别去A、B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小 区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为.（用数字作答） 8.斜率为1的直线1过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,若1与圆(x-5)2+y2=8 相切，则p等于 9.己知一圆柱的休积为54红立方厘米，则当该圆柱的衣而积最小，底而半径r= 厘米 10.若函数f(x)=12x-x3在区问(m-5,2m+1)上有最小值，则实数m的取值范 围为 11.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=(x-1)(x-a)(x-b),x∈R,写出所行正 确命题的序岁， ①.函数y=f(x)的零点的个数一定是3个 ②.函数y=f(x)在(b,0)处的切线方程为y=0,则b=1 ③.若集合A={xfx)≥0的解集是[0，+∞)，则实数对(a,b)有2对 ④.函数y=f(x)必存在极值 2已知响数f网=信心50点M、N是两数y=阅图象上不同的两个 -V2+x2,x>0 点，设0为坐标原点，则tan∠M0N的取值范围是一 二、单选题 13.己知随机变量5~N(3,A,则“a=3”是“P(《<a)="的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.己知x1≠x2,yy2>0,点A(x,y1),B(x2,y2),动点P在x轴上，设直线AP、BP 的斜率分别为k1,k2,当IPA+IPB取最小值时，k1,k2满足〔) A.k1=k2 B.k1+k2=0 C.k1·k2=1 D.k1k2=-1 15.在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分 都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是〔) 频率组距 0.035 0.030 0.020- 0.010f a O405060708090每分1分 A.可求得a=0.005 B.这200名参赛者得分的中位数为64 C.得分在[60,80)之间的频率为0.5 D.得分在[40,60)之间的共有80人 16.在一个抽奖游戏中共有n(n≥3，n∈W)扇关闭的门，其中k(k≤n-2,k∈N)扇 门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一 扇门，但不立即打开主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决 定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门的获奖概率分别为() A点B奇 cD号点 n'n(n-2) 三、解答题 17.(7+7=14分) 已知数列{an}为等差数列，其前n项和记为Sn (1)若a1012=1,则S2023; (2)已知等差数列{an}的公差d=2,S1oo=10000，,求其通项公式au· 18.(7+7=14分) 如图，直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=AC=2,AB⊥AC,D,E 分别为AB,A,C1的中点. (1)证明：A1D/平面EBC: (2)若三棱锥A-EBC的体积为，求平面EBC与平面A,ABB1夹角的 余弦值 19.(6+8=14分) 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小 说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集 其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明日前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件A为小明取到的卡牌人物属于天 罡，事件B为小明取到的卡牌为隐藏卡，求P(B)和P(B1A),并判断事件A和事件B 是否独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则： 抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一 张隐藏卡，得3分：抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分：其余 情况不得分.设X为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出X的分布，并求出X的 数学期望 20.(6+6+6=18分) 己知函数f(x)=ax+lnx+1. 〔1)当a=1时，求函数在点(1,2)处的切线方程： (2)讨论函数的单调性： (3)对任意的x>0,f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围. 21.(4+6+8=18分) 在平面直角坐标系x0y中，椭圆C方程为兰+岁=1(a>b>0.已知椭圆的长轴长 为2V2,离心率为要，FP,P2分别是椭圆左、右焦点，直线1与椭圆C交于A,B两点。 〔1)求椭圆方程： (2)若直线1是圆0：2+y=器的任意一条切线，求O.0丽的值： (3)若直线I不经过左焦点F1,设焦点F2到直线l的距离为d,如果直线AF,l, BF,的斜率依次成等差数列，求d的取值范围，