上海市华东师范大学附属东昌中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 本试卷立足高中数学期中考查需求，通过科技情境与文化素材融合，分层设计试题，全面考查抽象能力、运算能力及数据意识，体现真题命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|函数性质、立体几何|结合科技前沿考查空间观念| |填空题|4/20|概率统计、数列|以文化传承素材设计创新问题| |解答题|6/70|导数应用、解析几何|综合设问梯度提升，强化推理意识与应用能力|

华东师范大学附属东昌中学 2025学年度第二学期高二期中数学试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分 1.公理2的推论1可用符号语言表述为：若 则存在唯一的平面，使得 A∈a,lca. 【解析】A廷 2.(1+x)°展开式中的第4项为 【解析】20x 3.6个人站成一排，若甲在乙左边，则有 种排法.（结果用数值表示） 【解析】360 4.在四面体ABCD的6条棱中，与棱AB所在直线异面的是棱 所在直线. 【解析】CD 5.225不同的正约数有 个 【解析】9 6.己知正四棱柱ABCD-AB,CD底面是边长为3，高为5，则AC与平面ABCD所成角 为 (结果用反三角表示) 【解析】arctan之V反 6 7.设直线I与平面α斜交于点A,动点B∈a且不与A重合，若直线I与平面a所成角为 则直线AB与直线I所成角的取值范围是 ππ 【解析】 72 8. 使得Cm>2026的最小自然数n为 【解析】7 9.红、绿、蓝三色的同质小球各2个排成一排，同色球不相邻的排法有 种.（结 果用数值表示) 【解析】30 10.从长方体的12条棱中任取2条，则两条棱所在直线平行的概率为 【解析】 3C-3 c11 11.20252026被7除所得的余数为 【解析】2 将23=7+1代入上式：22026=(7+1)675×2 根据二项式定理，(7+1)675展开式为：(7+1)675=7675+C%75·7674+…+C·71+ 1675.观察展开式，除了最后一项1675外，其余每一项都含有因数7，因此这些项除以7 的余数均为0。所以，(7+1)675=1(m0d7)。进而可得：22026=2(mod7) 即20252026被7除所得的余数为2。 12.如图，在R△ABC中，己知BC=4,AC=3,D是斜边AB 上任意一点（不含端点）沿直线CD将△ABC折成直二面角 B-CD-A,当AD= 时，折叠后A、B两点间的距离 最小. 5 【解析】7 解：如图 一4 设∠ACD=日，0<日<号，则∠BCD=7-8, 过A作AG⊥CD,垂足为G,过B作BH⊥CD交CD的延长线于H, 由已知条件可得，AG⊥平面BCD,·AG⊥BG,AG⊥CH, :.AG 3sine,BH 4cose,CG 3cose CH=4sin HG=CH-CG 4sin0-3cose d=AB=VAG2+BG2 =VAG2+BH2+HG2/9sin20+16cos20+(4sine-3cos0)2 =V25-12sin28, 则当日=，即CD为Rt△ABC的角C的角分线时，d取得最小值， 2 此时 4C=42= AD BC DB AB-AD ,即= AD 45-AD ,解得AD=5 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个 选项是正确的，13、14题选对得4分，15、16题选对得5分，否则一律得零分. 13.抛掷一枚匀质硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2025次出现正面朝上的概率为 () 1 A.1 B. 1 1 2 D. 2025 2026 【解析】B 14.在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为() A.0 B. c. D. 2 【解析】B 15.如图，已知正方体ABCD-ABCD,点P在直线AD上，Q为线段BD D 的中点，则下列命题中假命题为（). B A.存在点P,使得P2⊥A,C B.存在点P,使得PQ∥A,B C.直线P叉始终与直线CC,异面 D.直线PO始终与直线BC异面 【解析】 正方体ABCD-ABCD中，易得ACG⊥平面BDD,B,因为点P在直线AD上，O为线段BD 的中点，当点P和点D重合时，PQc平面BDDB,.P9⊥AC,故A正确： 连接AD、AB,当点P为线段AD的中点时，PQ为三角形ABD D C A 的中位线，即PQ∥A,B,故B正确： CC,c平面AA,CC,当点P和点A重合时，PQC平面AACC, 所以直线PQ和CC,在同一平面内，故C错误； D0 BC,c平面ABCD,PQ∩平面ABC,D,=P,PEBC,所以直线 3 PQ始终与直线BC不相交，且不平行，所以直线P四与直线BC是异面直线，故D正确 16.已知集合M=x∈Nx≤10,4={，：，}SM,若当+2+3eZ,则满足条件的 3 集合A个数为() A.84 B.96 C.117 D.135 【解析】 因为+25+3乙，所以+2x,能被3整除，所以x,:除以3的余数相同，M中的元 3 素能被3整除的整数有0,3,6,9，被3除余1的整数有1,4,7,10，被3除余2的整数有2,5,8， 当x,x2都被3整除时，则x,x2,从被3整除的4个数中选取3个， 或x,x可从被3整除的4个数中选取2个，x从其余7个数中选择， 所以A的个数为C+C层×7=46， 当x,x被3除余1时，则x,x2,x从被3除余1的4个数中选取3个， 或x,x可从被3除余1的4个数中选取2个，x从其余7个数中选择， 所以A的个数为C+C2×7=46, 当x,2被3除余2时，则x,x2,x从被3除余2的3个数中逃取3个， 或x,x可从被3除余2的3个数中选取2个，x从其余8个数中选择， 所以A的个数为C+C号×8=25， 所以满足条件的集合A共有46+46+25=117个. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) C 己知三棱柱ABC-AB,C棱长均为1. (1)若AA⊥平面ABC,求三棱柱ABC-ABC的表面积； (2)若4G-5,c=1,求证：平面c1平面80c8 【解析】 (1)AA⊥平面ABC,三楼柱ABC-AB,C为正三棱柱，且侧面均为正方形， 4 则S=5w+2S=3x+2x5xP=3+ 4 2 (2)取BC中点O,联结AM,CM,则由己知易得AM⊥BC,AM=CM=5 又由勾股定理得AM2+CM2=AC2,故AM⊥C,M,又BC∩CM=M,故AM⊥平面BCC, AMC平面ABC,从而平面ABC⊥平面BCCB 18.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，线段A4,是圆柱OO,的母线，BC是圆柱下底而⊙O的直径， 01 (I)若D是弦AB的中点，且AE=AA,DE∥平面ABC,求的值： （2)若BC-2,Ac=30,直线4C与平面40c所成的角为子，求异 E D 面直线A,O与AB所成角的大小. 【解析】 （1)取AA的中点E,连DE, 点D为AB的中点，.DE∥AB,DE平面ABC,ABc平面A,BC, 05∥平面4c,2=克 B A （2)依题意，AB⊥AC,A4⊥平面ABC,AC=1,AB=V5, 4C是4C在平面BC上的射影，从面∠AC1=号，从=5， D 作圆柱的母线BB,,则连接AB,,则四边形AAB,B是矩形， ∴.AB∥AB，∴.∠OAB,或其补角为异面直线AO与AB所成的角， 在AOAB,中，A,B=AB=5,A0=VA4+O=2,B,0=VBB+0B2=2, 及政 cos∠0AB三计2=，异面直线4C与AB所成的角为arccos arcsin 3) 4 19.（本小题满分16分，每小题满分4分) 高二年级14个班级开展5人制足球班赛，赛制采用单场淘汰制，即通过抽签确定每轮 比赛对阵安排，每场均分出胜负，胜者晋级下一轮，败者淘汰（其中第二轮比赛会有一 支队伍轮空，从而直接晋级)，直至决出最后的冠军。同时由于场地与时间限制，每天 至多安排两场比赛，若当天安排两场比赛，则两场比赛将同时进行。 (1)若不设三、四名决赛，求按此赛制决出冠军共需要进行的比赛场次： (2)第一轮比赛对阵安排确定后，体育组打算将本轮比赛安排在4内天进行，若A班 的在该轮比赛时没有其他比赛同时进行，求满足该要求的排法数： (3)A、B两个班均晋级第二轮比赛，求随机抽签确定对阵安排后，两个班没有相互遭 遇的概率： (4)若A、B、C班最终分获本次班赛的冠、亚、季军，现需要从这三支队伍选出5人， 组成高二年级足球MVP阵容，要求三支队伍均有人入选，求冠军队入选人数最多选法 数。 【解析】 (1)7+3+2+1=13, (2)CC2CC=360, (3)1- C(Cic) =1-5×612-6 C(CC2C/P 7×15×6/67 (4)CCC+C2.C2C+CC2C2=1250 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点(L引，它的一个焦点与抛物线E:2=4x的焦 点重合，斜率为k的直线1交抛物线E于A、B两点，交椭圆T于C、D两点， (1)求椭圆Γ的离心率： (2)直线1经过点F(L,0),设点P(-l,k),且△PAB的面积为43，求k的值； (3)若直线1过点M@-小设直线0C,0的斜率分别为5，。，且吃，是言成特 6 差数列，求直线1的方程 【解析】 19 心设梳圆的方程为多+卡1a>6>0，由愿设得女十4坊1：口= ，…162=3 a2=b2+1 :椭圆r的方程是苦+皆-1，离心率e=8月 02 (2)设直线1：y=k(x-1),设A(x,y),B(x2y2), 由-得：k-2g+2e=0,69,5-1 2 1与抛物线E有两个交点，k≠0，△=16(k2+)>0, 则A=+在++)-_4+，P八L到的距离= k2 Vk2+1 又S=45,所以5×4+x=454状=3+3，故k=士5 2k2k2+1 (3)设直线1：y=-1,设C(x,),D(x4,y4), y=kx-1 曲任号=去y得：+r-版8-0 8k 因为M(0,-)在椭圆内部，所以1与椭圆恒有两个交点，所以 +x:=4k2+3 -8 xx4=4k2+3 ,121 41,1 由，是左成等差数列得店+石： L+1=生+=y+x丛=(，-)+(，- kik2 y3 y y3y (kx -1)(kx;-1) “-k6+88++323,所以2 23x4-(53+x) -16k-8k 24k k122一3’解得k=±2 所以直线/的方程为y=±臣x 2t1. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) > 己知函数f(x)=e+e+(2-b)x,g(x)=ax2+b(a、b∈R), (1)若g()=g'()=f0),求实数ab的值： (2)若a=1,b=2,且不等式f(x)≥g(e+2)-2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围； (3》设b=2,试利用结论e+er≥+2证明：若0<8<8<<0<7u≥2ne9, f(sine)f(cose)+f(sin)f(cose)+..+f(sine)f(cos)+f(sine,)f(cos)>6n. 【解析】 (1)依题意，g'(x)=2,,g)=g'()=f(0)=2,. 2”,解得a=6=1: (2)若a=l,b=2,则f(x)=e+ex,g'(x)=2x, 不等式树≥ge+2)-2,即k≤+e+2-“+2c+对任意xeR恒成立， 2ex+44e'+2 令1=C,则1>0，考察函数0=+21+，h0= t2+1 41+2 21+1)2, :1>0,0>0恒成立，y=M0在@+)上严格递增，0>0-克，即k≤ （3)证明：'e'+er≥x2+2,即f(x)≥x2+2, 则f(x)f(x2)=(e+e)(+e)=e++e+)+e-+e-)≥(：+x2)2+(x-x2)2+4, .f(sin)f(cos0,)+f(sin0)f(cos)=f(sing)f(cose)+f(cos)f(sine) (sin+cose)2+(sine-cose)2+4+(cos0+sine)2+(cos0-sine,)2+4=12, 同理：当i=2,3,4,,n时，f(sin0)f(cos0n-4)+f(sin0n--)f(cos0)≥12， 以上等号不可能同时成立， ."2f(sin)f(cose,)+f(sin)f(cose)+.+f(sine)f(cos)+f(sine)f(cos)>12n, .f(sin)f(cose,)+f(sin2)f(cose)+..+f(sine)f(cos)+f(sine)f(sin)>6n. 另证：依题意，f(sin0)f(cos0n-)≥(sin20+2)(cos20n1+2)>2sin20,+2cos20n-1+4, f(sine)f(cos0)2 (sin20+2)(cos20+2)>2sin2+2cos20+4, 两式相加得：f(sin0)f(cos0,n-+)+f(sin0n-4i)f(cos0)>12, .".2[f(sin)f(cose,)+f(sin)f(cose)+..+f(sine)f(cos)+f(sine)f(cos)>12n, .f(sin)f(cose)+f(sin)f(cos0)+...+f(sine)f(cos)+f(sine)f(sine)>6n.华东师范大学附属东昌中学 2025学年度第二学期高二期中数学试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1.公理2的推论1可用符号语言表述为：若 ,则存在唯一的平面《，使得 Aea,Ica. 2.(1+x)°展开式中的第4项为 3.6个人站成一排，若甲在乙左边，则有 种排法.（结果用数值表示） 4.在四面体ABCD的6条棱中，与棱AB所在直线异面的是棱 所在直线. 5.225不同的正约数有 个 6.已知I正四棱柱ABCD-ABCD底面是边长为3，高为5，则AC与平面ABCD所成角 为 ·(结果用反三角表示) 7.设直线I与平面a斜交于点A,动点B∈a且不与A重合，若直线1与平面a所成角为 牙，则直线4B与直线！所成角的取值范图是 8.使得C2n>2026的最小自然数n为 9.红、绿、蓝三色的同质小球各2个排成一排，同色球不相邻的排法有 种.（结 果用数值表示) 10.从长方体的12条棱中任取2条，则两条棱所在直线平行的概率为 11.2025226被7除所得的余数为 12.如图，在R1AABC中，己知BC=4,AC=3,D是斜边AB 上任意一点（不含端点）沿直线CD将△ABC折成直二面角 B-CD-A,当AD=时，折叠后A、B两点间的距离 最小 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个 选项是正确的，13、14题选对得4分，15、16题选对得5分，否则一律得零分. 13.抛掷一枚匀质硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2025次出现正面朝上的概率为 (). A.1 B. 1 3 2025 D. 2026 14.在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为()· A.0 B. C. D π 3 15.如图，已知正方体ABCD-ABCD,点P在直线AD上，Q为线段BD D 的中点，则下列命题中假命题为()， A.存在点P,使得Pp⊥AG B.存在点P,使得POHA B C.直线P始终与直线CC,异面 D.直线PQ始终与直线BC异面 16.已知集合M=x∈Nx≤10,4=，5，}sM,若+2+3远eZ,则满足条件的 集合A个数为() A.84 B.96 C.117 D.135 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知三棱柱ABC-AB,C棱长均为1. (I)若AA⊥平面ABC,求三棱柱ABC-ABC,的表面积： (2)若AG=5,BG=1,求证：平面ABC1平面BCGA 18.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，线段A4,是圆柱OO,的母线，BC是圆柱下底面⊙O的直径. 0 (1)若D是弦AB的中点，且AE=AA,DE∥平面ABC,求1的值： (2)若BC=2,∠ABC=30,直线AC与平面ABC所成的角为，求异 3 面直线AO与AB所成角的大小 19.(本小题满分16分，每小题满分4分) 高二年级14个班级开展5人制足球班赛，赛制采用单场淘汰制，即通过抽签确定每轮 比赛对阵安排，每场均分出胜负，胜者晋级下一轮，败者淘汰（其中第二轮比赛会有一 支队伍轮空，从而直接晋级)，直至决出最后的冠军。同时由于场地与时间限制，每天 至多安排两场比赛，若当天安排两场比赛，则两场比赛将同时进行。 (1)若不设三、四名决赛，求按此赛制决出冠军共需要进行的比赛场次： (2)第一轮比赛对阵安排确定后，体育组打算将本轮比赛安排在4内天进行，若A班 的在该轮比赛时没有其他比赛同时进行，求满足该要求的排法数： (3)A、B两个班均晋级第二轮比赛，求随机抽签确定对阵安排后，两个班没有相互遭 遇的概率； (4)若A、B、C班最终分获本次班赛的冠、亚、季军，现需要从这三支队伍选出5人， 组成高二年级足球MVP阵容，要求三支队伍均有人入选，求冠军队入选人数最多选法 数。 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点L引，它的一个焦点与抛物线E:y=4x的焦 点重合，斜率为k的直线1交抛物线E于A、B两点，交椭圆于C、D两点. (1)求椭圆「的离心率： (2)直线1经过点F(L,0),设点P(-1,k),且△PAB的面积为45，求k的值： (3)若直线1过点M0-小，设直线00,0D的斜率分别为，点，且，会，成等 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 己知函数f(x)=e+e+(2-b)x,g(x)=a2+b(a、b∈R), (1)若g)=g'(①)=f0),求实数a、b的值： (2)若a=l,b=2,且不等式f)≥g(+2)-2对任意xeR恒成立，求k的取值范围： (3)设b=2,试利用结论e+e≥x2+2证明：若0<6<0，<…<0.<匹(n≥2，neN), f(sin0)f(cos0)+f(sin)f(cos0)+..+f(sin0)f(cos)+f(sin0)f(cos)>6n.