精品解析：重庆市暨华中学校2026届高三上学期期末考试数学试题

重庆市渝北区暨华中学校高2026届高三上学期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用0.5毫米黑色铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.回答非选择题时，将答案填写在答题卡对应的区域上，在试题卷上作答无效； 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 本试卷考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题：每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，命题，.若，都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 将6名学生分别安排到甲､乙､丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（ ） A. 392 B. 390 C. 262 D. 260 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 关于对称 D. 的一个周期是8 二、多选题：每小题有至少两个符合题目要求的选项，本大题共3小题，每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选、不选不得分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小正周期为 D. 10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，点，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 的最小值为10 C. 若，则 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线过点 三、填空题：直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 13. 已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为__________. 14. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是______． 四、解答题：每小题必须写清楚必要的演算过程、推理过程，只写出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15小题13分，第16-17小题每小题15分，第18-19小题每小题17分，共77分. 15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． （1）求角A的大小； （2）若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 16. 如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上． （1）若，求证：点是棱的中点； （2）若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 18. 已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 19. 已知函数的定义域为，其导函数为，且. （1）求的单调区间； （2）已知关于的方程恰有两个实数根，若，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝北区暨华中学校高2026届高三上学期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用0.5毫米黑色铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.回答非选择题时，将答案填写在答题卡对应的区域上，在试题卷上作答无效； 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 本试卷考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题：每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性求解不等式得集合，再由并集定义计算即得. 【详解】由可得，解得，即， 因，则. 故选：D. 2. 已知命题，，命题，.若，都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，都是真命题求得对应的的取值范围，再求交集即可. 【详解】对于命题，的否定为，， 因为命题为真命题，则，恒成立，故只需， 因为在单调递减，故在的最小值为，所以； 因为命题是真命题，则，即，解得或， 综上，，都是真命题，实数的取值范围是或. 故选：A 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的几何意义求解. 【详解】由题设，对应点为，第四象限. 故选：D. 4. 将6名学生分别安排到甲､乙､丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（ ） A. 392 B. 390 C. 262 D. 260 【答案】D 【解析】 【分析】分学生A独自1人去乙地或丙地、学生A与学生B外的1人成一队去乙地或丙地、学生A与学生B外的2人成一队去乙地或丙地、学生A与学生B外的3人成一队去乙地或丙地这四种情况讨论求解即可. 【详解】学生A独自1人去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的1人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的2人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的3人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 综上，符合题意的安排方案共有种. 故选：D. 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 6. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出，再由作差法说明的单调性，即可求出，从而得解. 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形性质确定点的坐标，代入椭圆方程，再通过转化为关于离心率的方程求解. 【详解】因为是菱形，所以，且，点的横坐标为中点的横坐标，即， 由可得，，整理得，解得，故， 代入椭圆，得，整理得， 又，所以，整理得， 两边同时乘以，得，解得， 因为，所以，所以，解得. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 关于对称 D. 的一个周期是8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性、对称性的定义分析判断ABC；确定函数的周期判断D. 【详解】对于A，由是奇函数，得， 则，因此为偶函数，A正确； 对于B，由，即，得的图象关于直线对称，B正确； 对于C，由的图象关于直线对称，得， 则，即，因此的图象关于对称， C正确； 对于D，由，得，又， 则，即，因此， 函数的一个周期是16，若的一个周期为8，则恒有，无条件说明恒成立，D错误. 故选：D 二、多选题：每小题有至少两个符合题目要求的选项，本大题共3小题，每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选、不选不得分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小正周期为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】化简得，结合三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为， A，，故错误； B，因为，所以的最小值为，故正确； C，由题意可得的最小正周期为，故错误； D，因为 ，故正确. 故选：BD. 10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的定义即可判断A；根据即可判断B；根据，可得，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以或， 所以，故C正确； 对于D，若，则， ，故D错误. 故选：AC. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，点，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 的最小值为10 C. 若，则 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设直线的方程为，联立方程，结合抛物线的定义把解出即可；对于B，过点分别作抛物线准线的垂线，通过抛物线的定义把线段进行转换即可；对于C，将代入，求解即可得到；对于D，设，的方程为，联立抛物线得到直线的方程，再将代入即可求出. 【详解】由题得，可设直线的方程为， 联立，得， 设，则， 则，解得，故A正确， 过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，故B正确， 由题意不妨设点分别在第一象限和第二象限，则， 将代入，解得， 则，故C错误， 设，的方程为， 由，得， ， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得， 由，解得， 故直线的方程为，即； 同理可得，直线的方程为； 将代入直线中，， 即， 可看作方程的两个根，， 由，，故直线的方程为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递增数列的定义，需满足对任意的恒成立，故需要同时满足①当时，②，③时，联立三者求出的取值范围. 【详解】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 13. 已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积与表面积相等求出球的半径，再由题意求出球的内接圆柱的底面圆半径与高，即可得解. 【详解】设球的半径为，则球的体积为：，球的表面积为：， 因为球的体积与其表面积的数值相等，所以， 解得， 设圆柱底面半径为，作球的内接圆柱的轴截面图，如图， 由题意可知，解得， 所以圆柱的侧面积为. 故答案为： 14. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，得，问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 画出与的图象，分析即可得答案. 【详解】由得，， 问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 画出与的图象如下图所示， 由图象可得，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：每小题必须写清楚必要的演算过程、推理过程，只写出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15小题13分，第16-17小题每小题15分，第18-19小题每小题17分，共77分. 15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． （1）求角A的大小； （2）若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）需利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角差的余弦公式及三角形内角和定理化简，求解三角方程得出角A； （2）求面积的取值范围，先根据锐角三角形条件确定角B、角C的范围，再由正弦定理用角C表示边b，结合正切函数性质求出b的范围，最后代入面积公式得出结果. 【小问1详解】 由和差公式和正弦定理可得： ， 即， 即， 即， 整理得到， 因为在中 ， 所以，即， 因为，所以， 所以，得到. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，所以， 结合B为锐角，解得，同理可得， 由正弦定理， 可得， 因为，所以，所以， 又因为. 16. 如图，已知四棱台的上底面是边长为2的正方形，，底面，点，分别在棱，上． （1）若，求证：点是棱的中点； （2）若三棱锥的体积是，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）由底面，底面，则， 又底面都是正方形，则，故两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，则，，， 因为，故，即， 因为点在棱上，所以，，， 所以，解得，即， 而的中点坐标为，所以点是棱的中点； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，设，，根据垂直关系有求参数值，即可证； （2）根据已知及棱锥的体积求出的坐标，进而确定对应平面的法向量，应用向量法求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则， 即， 由题意，可得， 所以，则，， 设平面的法向量为，则， 令，得. 由平面的一个法向量，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）①；②分布列见详解、数学期望为 【解析】 【分析】(1)先算出女生总人数，再用古典概型求概率. (2)①先由分层抽样得抽样后男女生人数，再用条件概率公式. ②先确定取值，再算各概率后得到分布列，再代入期望公式求解. 【小问1详解】 获奖人数：人，不获奖人数：人， 获奖男生：，获奖女生：， 不获奖女生：，不获奖男生：， 女生总人数：，则随机抽取到一名学生是女生的概率为：. 【小问2详解】 按性别分层随机抽取人，则： 抽取男生为人， 抽取女生为人， ①设事件为“人中有女生入选”，事件为“恰好选到名男生和名女生”， 依据条件概率公式，其中， ，，则； ②表示入选的人中的女生人数，其可能的取值为， ， ， ， 分布列： 数学期望：. 18. 已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，法一：借助作差法推理得证；法二：借助作商法计算推理得证. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距，由，得， 解得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得， ，，， 而，则 ， 所以. 法二：直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得，， ，，， 而，则， ，所以 19. 已知函数的定义域为，其导函数为，且. （1）求的单调区间； （2）已知关于的方程恰有两个实数根，若，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）在单调递增，在单调递减，最大值为； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对求导，得出的单调性，结合最值的定义即可得； （2）设，代入，将化简为，设，对求导，得出的单调性，证，即可求； （3）设，求，研究的单调性和最值可得，再结合的单调性即可证明. 【小问1详解】 ，令，解得， 当时单调递增，当时单调递减， 所以时，取得最大值， 所以在单调递增，在单调递减，的最大值为. 【小问2详解】 依题意，，两式相除可得， 不妨设，所以，所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以单调递增，所以， 所以单调递增，所以． 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设， 设，则， 设，则， 所以单调递减，，所以单调递减， 因为，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 由（1）知，，所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $