精品解析：宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学

石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 李师傅饮酒后，其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：h）的函数关系满足，则当时，李师傅血液中的乙醇含量的瞬时变化率的数值为（ ） A. B. C. D. 2. “灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 已知的数学期望，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 120 B. -120 C. 60 D. -60 6. 从、、、、、中选出四个数，组成没有重复数字的四位数，其中偶数有（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数．若，，且在上恰有3个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共18分. 9. 已知随机变量X满足，则（ ） A. B. C. D. 记，则 10. 已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ） A. B. C. 的最大值为0 D. 当时， 11. 设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若A与C互斥，则 C. 若A与C互斥，则 D. 若，则 三、填空题：本题共15分. 12. 甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件，，，分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则______，______． 13. 某比赛有8支队伍参赛，分别为中国赛区1，2，3，4号队伍，韩国赛区1，2，3号队伍，欧洲赛区1号队伍.现淘汰赛需要抽签，分四组两两对决，要求来自同一赛区的队伍不进行对战且同一编号队伍不进行对战.则会出现___________种不同的对局情况. 14. 为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则．_______，________． 四、解答题：本题共77分. 15. 若． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 17. 一袋中装有个大小、质地完全相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出个球，至少有1个白球的概率为. （1）求白球的个数； （2）现从中摸出一个球不放回，求第1次摸得白球且第2次摸得黑球的概率. （3）现从中摸出一个球不放回，已知第1次摸得白球，求第2次摸得黑球的概率. 18. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 不超过35周岁 30 20 50 超过35周岁 15 35 50 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？ （2）根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值； （3）现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数． （1）当时，判断函数在上的单调性. （2）设函数存在两个极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 李师傅饮酒后，其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：h）的函数关系满足，则当时，李师傅血液中的乙醇含量的瞬时变化率的数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据瞬时变化率和导数值的关系，先求出导函数再计算求解. 【详解】因为满足，则， 当时，李师傅血液中的乙醇含量的瞬时变化率的数值为. 故选：A. 2. “灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法原理，根据正难则反的思想，先求总情况数，再求不符合题意的情况数，相减即可. 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在8:00~9:00去金顶、太子坡、南岩宫游玩， 且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则5人一共有种情况， 若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫， 每人有2种选择方法，则5人一共有种情况， 故金顶一定要有人去有种情况． 故选：B． 3. 设函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义可得，结合函数的解析式求出函数的导数，再代值计算即可． 【详解】因为 所以，所以，即 所以 故选：D 4. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 已知的数学期望，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分布列的概率之和是，得到关于和之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于和之间的一个关系式，联立方程，解得的值. 【详解】由题意可知：， 解得. 故选：B. 【点睛】本题考查期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题． 5. 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 120 B. -120 C. 60 D. -60 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项． 【详解】由题意，解得， 展开式通项公式为，令，， 所以常数项为． 故选：C． 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数和问题，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 6. 从、、、、、中选出四个数，组成没有重复数字的四位数，其中偶数有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对个位数是否为进行分类讨论，利用分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若个位数为，则其余三个数位上的数没有限制，此时，符合条件的四位数的偶数个数为； 若个位数不是，则个位数为或，首位不能排，此时，符合条件的四位数的偶数个数为. 综上所述，符合条件的四位数的偶数个数为. 故选：A. 【点睛】本题考查数字的排列问题，解题时要对个位数字是否为零进行分类讨论，考查分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 7. 已知函数．若，，且在上恰有3个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出，，故，根据求出，根据极值点个数得到不等式，求出答案. 【详解】令，得，， 即，， 所以． 因为，，所以． 又在上恰有3个极值点，所以解得； 或（无解）；或（无解）． 综上，实数的取值范围为. 故选：C． 8. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导可知其在上单调递减，进而整理所求不等式为，由函数单调性构建不等式，解得答案. 【详解】由，得，即， 令，则当时，得，即在上是减函数， ∴，， 即不等式等价为， ∴，得，即， 又，解得，故． 故选：D. 二、多选题：本题共18分. 9. 已知随机变量X满足，则（ ） A. B. C. D. 记，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程，求得的值，可判定A正确；根据互斥事件的概率加法公式，可判定B正确；利用期望的公式，求得，可判定C错误；根据，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确. 【详解】由随机变量X满足， 根据分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 由，所以B正确； 由期望公式，可得，所以C错误； 由，则，， ，所以，所以D正确． 故选：ABD． 10. 已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ） A. B. C. 的最大值为0 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用导数几何意义求出切线方程，利用切线斜率和截距相等建立方程，然后利用指对互化判断A、B，由数量积坐标运算化简，判断函数值符号即可判断C，构造函数，利用导数法研究函数的单调性，判断D 【详解】因为，所以，又，所以， 切线：，即， 因为，所以，又，所以， 切线：，即， 由题意切线重合，所以，所以，即，A正确； 当时，两切线不重合，不合题意， 所以，，， 所以，，B正确； ， 当时，，，则，当时，，， 则，，所以，C错误； 设，则， 所以函数在上单调递增，所以，所以， 所以，∴， 记，则， 所以函数在上单调递增，则，所以，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数或对数，朝目标化简. 11. 设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若A与C互斥，则 C. 若A与C互斥，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式，求出积事件的概率，进而根据独立事件乘法公式，判断事件是否独立，判断选项A的正误，根据互斥事件的性质，求出互斥事件和事件的概率，判断选项B的正误；根据条件概率的定义，以及互斥事件的性质，判断选项C的正误；根据对立事件的性质，以及全概率公式，求出条件概率，判断选项D的正误； 【详解】对于A，因为， 所以，所以A与B相互独立，故A正确； 对于B，因为A与C互斥，则，所以，故B错误； 对于C，因为，若此时A与互斥，则，此时不存在，所以C错误； 对于D，因为，，所以， 又根据全概率公式，得， 所以，所以，故D正确. 三、填空题：本题共15分. 12. 甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件，，，分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则______，______． 【答案】 ①. ②. ##0.375 【解析】 【分析】分别求出甲箱中拿出红、白、黄、黑球事件的概率，依据条件概率的公式和全概率公式分别计算结果. 【详解】由题意知：，，，， ，同理：，，， 由全概率公式可知：． 故答案为：， 13. 某比赛有8支队伍参赛，分别为中国赛区1，2，3，4号队伍，韩国赛区1，2，3号队伍，欧洲赛区1号队伍.现淘汰赛需要抽签，分四组两两对决，要求来自同一赛区的队伍不进行对战且同一编号队伍不进行对战.则会出现___________种不同的对局情况. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知中国赛区1号队伍的对阵情况，再分类讨论，利用穷举法将所有对阵情况一一列出即可. 【详解】记中国赛区1，2，3，4号队伍分别为，韩国赛区1，2，3号队伍分别为，欧洲赛区1号队伍为， 根据题意，只能对战中的一支队伍， 当对战时，可以对战中的一支队伍， 若对战，则只能对战，故只能对战，只有1种情况； 若对战，则可以对战中一支队伍，对战剩下的队伍，一共有2种情况； 若对战，则只能对战，故只能对战，只有1种情况； 当对战时，只能对战中的一支队伍， 若对战，则可以对战中一支队伍，对战剩下的队伍，一共有2种情况； 若对战，则可以对战中一支队伍，对战剩下的队伍，一共有2种情况； 综上：对局情况一共有种. 故答案为：. 14. 为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则．_______，________． 【答案】 ①. ②. 28 【解析】 【分析】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个，求出普通果的数量，根据题意列出方程求解即可求解. 【详解】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个， 则普通果的数量为个， 由题意得， 解得，由超几何分布可知，. 故答案为：； 四、解答题：本题共77分. 15. 若． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求得正确答案. （2）求得，从而求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，， 令得， 令得， 所以 【小问2详解】 由， 令得①， 由（1）得②， 由①②得， 所以. 16. 已知． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出导数计算出切线斜率后可得切线方程; （2）利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，， 所以函数的图象在点处的切线方程为即； 【小问2详解】 由可得 令，解得或， 当时，当或时，， 单调递减， 当时，， 单调递增； 当时，当，， 单调递减； 当时，当或时，， 单调递减， 当时，， 单调递增； 综上所述，当时，的递减区间是和，递增区间是； 当时，的递减区间是，无递增区间； 当时，的递减区间是和，递增区间是 17. 一袋中装有个大小、质地完全相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出个球，至少有1个白球的概率为. （1）求白球的个数； （2）现从中摸出一个球不放回，求第1次摸得白球且第2次摸得黑球的概率. （3）现从中摸出一个球不放回，已知第1次摸得白球，求第2次摸得黑球的概率. 【答案】（1）5 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）设袋中白球个数为（且），根据对立事件及古典概型的概率公式得到方程，解得即可； （2）设“第次摸得白球”为事件，“第次摸得黑球”为事件，根据古典概型的概率公式计算可得； （3）根据条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 设“从袋中任意摸出个球，至少有个白球”为事件，袋中白球个数为（且）， 由题意得，解得或（舍去），即白球的个数为. 【小问2详解】 设“第次摸得白球”为事件，“第次摸得黑球”为事件， “第次摸得白球且第次摸得黑球”就是事件， 所以； 【小问3详解】 “已知第次摸得白球，求第次摸得黑球的概率”就是事件发生的条件下，事件发生的概率， 又，， 所以. 18. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 不超过35周岁 30 20 50 超过35周岁 15 35 50 合计 45 55 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？ （2）根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值； （3）现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联 （2），. （3） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）计算的值，根据独立性检验判断即可； （2）根据条件概率及古典概型求解即可； （3）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知的所有可能取值，求出相应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望. 【小问1详解】 零假设：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联， 根据表中数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联. 【小问2详解】 ， . 【小问3详解】 按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 可得的所有可能取值为1，2，3， 此时，，， 则的分布列为： 1 2 3 所以. 19. 已知函数． （1）当时，判断函数在上的单调性. （2）设函数存在两个极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）在上单调递增 （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数法求函数的单调性； （2）（ⅰ）由存在两个极值点得到在上有两个解，即．令，则有两个不等实根．构造函数，利用导数法求出单调性，求出，当时，，当时，，且当时，，从而得到的取值范围．（ⅱ）令，，要证，需证，构造函数，，求出．构造函数，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到，从而得到，再利用在上单调性可证得结论． 【小问1详解】 由题意得，函数的定义域为． 当时，，， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为， 所以当时，函数在上单调递增． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得. 因为存在两个极值点，所以在上有两个解， 所以，即． 令，则，即方程有两个不等实根． 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减， ，当时，，当时，，且当时，， 所以，解得，即的取值范围为． （ⅱ）由题意得，，是方程的两个不等实根，由（ⅰ）可知，，，是方程的两个不等实根，同样令，由，可得1． 要证，需证，令，， 则． 令， 则． 所以在上单调递增，则， 所以，从而， 所以． 因为在上单调递减，且，，所以， 即，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $