精品解析：山西晋中市介休市第一中学校2025-2026学年高二下学期4月考试数学试题

介休一中2025-2026学年高二下学期4月考试 数学试题 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B. 考点：排列与组合 2. 将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【详解】先确定第一行的情况一共有种，然后我们再确定第二行第一列的数有种，其余的就是唯一的，由乘法原理可得为12种． 3. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 5. 设随机变量，满足：，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】二项分布与次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出，再利用方差的性质求解即可． 【详解】解：因为，则， 又，所以． 故选：A． 6. 已知随机变量的取值为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则由，，列出方程组，求出，，即可求得． 【详解】设，， ①， 又② 由①②得，，， 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 7. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设可得，令可得所有项的二项式系数和为，令可得偶数项二项式系数的和与奇数项二项式系数的和相等，即展开式奇数项的二项式系数和为，应选答案D． 8. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】令x=1得a=1.故原式=． 的通项， 由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40， 故所求的常数项为40 ， 故选D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列表述正确的是（ ） A. 4名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有64种 B. 乒乓球比赛规定团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中前2场出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛，共有30种安排方法 C. 由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数有1420种 D. 从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成1224个没有重复数字的五位数 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，每名同学都有3种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为种，故A错误. 对于B，若进行3场比赛，有种不同的安排方法， 若进行4场比赛，有种不同的安排方法， 若进行5场比赛，有种不同的安排方法， 故共有种安排方法，故B正确. 对于C，若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6，所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数，故C错误. 对于D，从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种， 五个数全排列有种，其中首位是零的有种， 所以一共可组成个没有重复数字的五位数，故D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判断答案. 【详解】B选项：，对； C选项：,C对； A选项：由全概率公式得： , ,A错； D选项：D对； 故选：BCD 11. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据A与B相互独立，则,再由可判断A选项；由条件概率的运算 可判断B选项；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；通过计算得，得B与C互斥即可判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，则, ，故A错误； 对于B，因为与互斥，所以，所以， 所以，， 所以,故B正确； 对于C，因为与互斥，所以，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，显然，即， 由，得， 解得，所以与互斥，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含的项的系数是________. 【答案】 【解析】 【分析】要得到必须有4个因式选含的项，一个因式选常数项相乘，由此即可得. 【详解】要得到必须有4个因式选含的项，一个因式选常数项相乘， 所以的系数为. 13. 某种号牌的编号采用5位序号编码，编码具体规则为：由0~9共10个阿拉伯数字和26个英文字母组成，且最多只能含有2个不重复的英文字母.按这种方式可产生_______种号牌. 【答案】7900000 【解析】 【分析】按编码中含0个、1个、2个不重复英文字母分三类，分别计算每类的编码数量后相加得到总数. 【详解】根据规则“最多含2个不重复英文字母”，分三类情况计算： 情况1：不含英文字母，全为数字 5个位置每个位置都有10种数字选择，共   种； 情况2：含1个英文字母 先从5个位置选1个放字母：，字母共26种选择，剩余4个位置放数字：， 共  种。 情况3：含2个不重复的英文字母 先从5个位置选2个放字母：，选不重复的2个字母排列： ， 剩余3个位置放数字：，共  种。 三类相加得总号牌数：  . 14. 已知随机事件、满足：，，若与互斥，则_________；若，则_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】空1：若与互斥，则，所以； 空2：因为，所以， 所以， . 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求的展开式中的系数和常数项. 【答案】的系数为，常数项为． 【解析】 【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，确定通项中的指数，再分别令指数为和，即可求出对应的系数和常数项． 【详解】由二项式定理，展开式的通项为. 令，得，所以的系数为 . 令，得，所以常数项为 . 综上，展开式中的系数为，常数项为． 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式定理求解； （2）令可得； （3）由二项式定理求得，再令求得所有项系数和，然后可得结论. 【小问1详解】 由已知； 【小问2详解】 在中，令得： ； 【小问3详解】 令得， 在中，令得： ， 所以. 17. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求： （1）的值； （2）求的值； （3）求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三台车床零件数量占比算出，再结合各自次品率，用全概率公式代入求和求出. （2）直接由题意得到第三台车床的条件次品率. （3）利用贝叶斯公式，用第二台车床加工次品的概率除以总次品概率，即可算出. 【小问1详解】 已知，，. ，，. 由全概率公式：. 【小问2详解】 由题意直接得：. 【小问3详解】 由贝叶斯公式：. 18. 车间有3台车床各自独立工作.设同时发生故障的车床数为，在下列两种情形下分别求的分布列. （1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是30%； （2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为20%，B型车床发生故障的概率为10%. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）本题中服从参数 的二项分布，利用二项分布概率公式计算取各可能值的概率，即可得到的分布列； （2）分情况枚举取各可能值时故障车床的型号组合，利用独立事件的概率乘法与加法公式计算对应概率，即可得到的分布列. 【小问1详解】 易知同时发生故障的车床数， ， ， ， ， X的分布列为： 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 【小问2详解】 设2台A型车床故障概率为0.2，1台B型车床故障概率为0.1，各车床故障独立，的可能取值为， （无故障）： ， （仅1台故障）： ， （仅2台故障）： ， （全故障）： ， X的分布列为： 0 1 2 3 0.576 0.352 0.068 0.004 19. （1）甲、乙参加围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，没有平局，赛制分别为三局两胜制和五局三胜制，求甲在两种赛制中获胜的概率？ （2）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求3次传球后球在甲手中的概率. 【答案】（1）甲三局两胜的概率为.甲五局三胜的概率为 （2）3次传球后球在甲手中的概率为 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式分别求出甲3局2胜和5局3胜的概率即可； （2）通过定义事件和概率，利用事件之间的关系推导出概率的递推公式，再根据递推公式确定数列的性质，进而求出通项公式，最后代入具体的传球次数求出相应概率.. 【详解】（1）设“甲在三局两胜制比赛中获胜”， 甲获胜的情况分为2局获胜和3局获胜： 甲2局获胜的概率为， 甲3局获胜（即前2局1胜1负且第3局胜）的概率为 ， 所以 . 设“甲5局3胜”，甲5局3胜的情况有： 前3局胜、前三局胜2场第四局胜、前四局胜2场第五局胜， 其概率分别为， ， ， 所以 ； （2）设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则 ， 即， 所以，且， 所以数列是以为首项为公比的等比数列， 所以，即， 可得3次传球后球在甲手中的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休一中2025-2026学年高二下学期4月考试 数学试题 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 2. 将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 3. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 5. 设随机变量，满足：，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知随机变量的取值为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 A. B. C. D. 8. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列表述正确的是（ ） A. 4名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有64种 B. 乒乓球比赛规定团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中前2场出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛，共有30种安排方法 C. 由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数有1420种 D. 从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成1224个没有重复数字的五位数 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含的项的系数是________. 13. 某种号牌的编号采用5位序号编码，编码具体规则为：由0~9共10个阿拉伯数字和26个英文字母组成，且最多只能含有2个不重复的英文字母.按这种方式可产生_______种号牌. 14. 已知随机事件、满足：，，若与互斥，则_________；若，则_________. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求的展开式中的系数和常数项. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求： （1）的值； （2）求的值； （3）求的值 18. 车间有3台车床各自独立工作.设同时发生故障的车床数为，在下列两种情形下分别求的分布列. （1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是30%； （2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为20%，B型车床发生故障的概率为10%. 19. （1）甲、乙参加围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，没有平局，赛制分别为三局两胜制和五局三胜制，求甲在两种赛制中获胜的概率？ （2）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求3次传球后球在甲手中的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $