第66讲 动量观点在电磁感应中的应用 讲义-2027届高三物理一轮复习

第66讲　动量观点在电磁感应中的应用 考点1　动量定理在电磁感应中的应用 1．此类问题中常用到的几个公式 (1)安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq。 (2)通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n。 (3)磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。 (4)导体棒在磁场中所受安培力是变力时，可用动量定理分析棒的速度变化，表达式为I其他＋lBΔt＝mv－mv0或I其他－lBΔt＝mv－mv0。 2．选用技巧：当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解更方便。 ►考向1　“导体棒＋电阻”模型 模 型 一 示意图 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来 求电荷 量q 对金属棒应用动量定理－BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝ 求位 移x 对金属棒应用动量定理－Δt＝0－mv0，x＝Δt＝ 模 型 二 示意图 间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v 求运动 时间 －BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt，－Δt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，x＝Δt ►考向2　导线框模型 模 型 一 示意图 在安培力作用下穿越磁场 位移 速度 电荷 量的 计算 动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量： (1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt； (2)求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0 模 型 二 示意图 在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场 时间的 计算 求时间：①－BLΔt＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间； ②－＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他·Δt＝mv2－mv1 若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间 (多选)如图所示，在光滑的水平面上有一方向竖直向下的有界匀强磁场。磁场区域的左侧，一正方形线框由位置Ⅰ以4.5 m/s的初速度垂直于磁场边界水平向右运动，线框经过位置Ⅱ，当运动到位置Ⅲ时速度恰为零，此时线框刚好有一半离开磁场区域。线框的边长小于磁场区域的宽度。若线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量分别为q1、q2，线框经过位置Ⅱ时的速度为v。则下列说法正确的是(　　) A．q1＝q2 B．q1＝2q2 C．v＝1.0 m/s D．v＝1.5 m/s [答案]　BD [解析]　根据q＝＝可知，线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量q1＝2q2，故A错误，B正确；线圈从开始进入到位置Ⅱ，由动量定理－B1LΔt1＝mv－mv0，即－BLq1＝mv－mv0，同理线圈从位置Ⅱ到位置Ⅲ，由动量定理－B2LΔt2＝0－mv，即－BLq2＝0－mv，联立解得v＝v0＝1.5 m/s，故C错误，D正确。 ►考向3　双棒在外力作用下模型 光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨 示意 图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 摩擦力Ffb＝Ffa 运动 分析 开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变加速后匀速运动；b杆静止。若F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同 运动 图像 能量 观点 F做的功转化为两杆的动能和内能：WF＝ΔEk＋Q F做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩擦热)：WF＝ΔEk＋Q电＋Qf 动量 观点 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 (2025·广东深圳高三月考)某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： (1)此时金属棒PQ的加速度； (2)此时两金属棒MN和PQ的速度； (3)金属棒MN和PQ的最大速度差。 [答案]　(1)0.4 m/s2　(2)18 m/s　2 m/s　(3)40 m/s [解析]　(1)恒力作用于MN杆，使其在导轨上向右加速运动，切割磁感线产生感应电流，根据右手定则知电流方向为M→N，电流流经PQ，根据左手定则MN受安培力水平向左，PQ受到的安培力水平向右，它们都做加速运动，对MN由牛顿第二定律得F－ILB＝ma 对PQ由牛顿第二定律得ILB＝ma′ 联立解得a′＝0.4 m/s2。 (2)设某时刻MN速度为v1，PQ速度为v2，根据法拉第电磁感应定律有I＝ 在t＝10 s时，对MN，由牛顿第二定律得F－ILB＝ma 整理得F－＝ma 代入数据得v1－v2＝16 m/s 由于作用于两根杆的安培力等大反向，所以作用于两杆系统的合力为水平恒力F，对系统由动量定理得Ft＝(mv1＋mv2)－0 代入数据得v1＋v2＝20 m/s 联立解得v1＝18 m/s，v2＝2 m/s。 (3)MN杆做加速度减小的加速运动，PQ杆做加速度增大的加速运动，最终共加速度，设两金属棒的共同加速度为a共，对系统有F＝2ma共 对PQ杆有ImLB＝ma共 其中Im＝＝ 联立解得Δvm＝＝40 m/s。 ►考向4　不等间距上的双棒模型 光滑不等距导轨 示意 图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La 运动情况分析 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 动量 关系 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 (多选)如图所示，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD以及直宽轨EF、GH组合而成，窄轨和宽轨均处于同一水平面内，AB、CD等长且与EF、GH均相互平行，BE、GD等长、共线，且均与AB垂直，窄轨间距为，宽轨间距为L。窄轨和宽轨之间均有竖直向上的磁感强度为B的匀强磁场。由同种材料制成的相同金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，棒长为L、质量为m、电阻为R。初始时b棒静止于导轨EF段某位置，a棒从AB段某位置以初速度v0向右运动，且a棒距窄轨右端足够远，宽轨EF、GH足够长。下列判断正确的是(　　) A．a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为 B．经过足够长的时间，a棒的速度为v0 C．整个过程中通过回路的电荷量为 D．整个过程中b棒产生的焦耳热为mv [答案]　ABD [解析]　a棒刚开始运动时，感应电动势为E＝，电路中电流为I＝＝，b棒受的安培力为F＝BIL＝，根据牛顿第二定律得a＝，故选项A正确；经过足够长时间，电路中无电流，有＝BLvb，对a导体棒，根据动量定理得－BiΔt＝mva－mv0，对b导体棒，根据动量定理得BiLΔt＝mvb，联立解得va＝v0，vb＝v0，故选项B正确；对b导体棒，根据动量定理得BiLΔt＝BLq＝mvb，解得q＝，选项C错误；根据能量守恒得mv＝mv＋mv＋Qa＋Qb，由Q＝I2Rt可知两导体棒发热量关系为2Qa＝Qb，解得Qb＝mv，故D正确。 ►考向5　“导体棒＋电容器”模型 模 型 一 示意图 (无外 力充 电式) 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计 运动 情况 分析 导体杆速度为v时，感应电流I＝，导体杆受安培力F安＝BIL，做减速运动，v，电容器充电，UC，F安，a，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，杆匀速运动 最终 速度 计算 模 型 二 示意图 (无外 力放 电式) 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻为R 运动 情况 分析 电容器充满电后，S合向2，导体杆受安培力运动，产生电动势E＝BLv，感应电流I＝，导体杆受安培力F安＝BIL，做加速运动，v，电容器放电UC减小，F安，a，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，杆匀速运动 最终 速度 计算 如图甲所示，两平行长直光滑金属导轨水平放置，间距为L，左端连接一个电容为C的电容器，导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m的金属棒垂直导轨放置，某时刻金属棒获得一个水平向右的初速度v0，之后金属棒运动的v－t图像如图乙所示，不考虑导轨的电阻。 (1)求金属棒匀速运动时的速度大小v1； (2)求金属棒匀速运动时电容器的电荷量q； (3)已知金属棒从开始到匀速运动的过程中，产生的焦耳热为Q，求电容器充电稳定后储存的电能E。 [答案]　(1)　(2) (3)mv－－Q [解析]　(1)金属棒匀速运动切割磁感线产生的电动势U＝BLv1 电容器的电荷量q＝CU 金属棒从开始到匀速运动的过程中，由动量定理有－BLt0＝mv1－mv0 电容器的电荷量q＝t0 联立解得v1＝。 (2)由(1)可知q＝CU＝CBLv1＝。 (3)在0～t0时间内，金属棒的速度由v0到v1，由能量守恒定律可得E＋Q＝mv－mv 解得E＝mv－－Q。 (多选)如图所示是某同学模拟电磁炮的工作原理和发射过程，水平台面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ置于塑料圆筒内，质量为m的金属炮弹置于圆筒内的轨道上，轨道间距为L，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨左端连着平行板电容器和电动势为E的电源。先让单刀双掷开关接1接线柱对电容器充电，充电结束后，将开关接2接线柱。金属炮弹在安培力作用下开始运动，达到最大速度后离开导轨，整个过程通过炮弹的电荷量为q。已知在圆筒中金属炮弹始终与导轨接触良好，不计导轨电阻和电源内阻，炮弹电阻为R。在这个过程中，以下说法正确的是(　　) A．炮弹离开导轨时的速度为 B．电容器的电容C＝ C．炮弹在导轨上的位移x＝ D．在其他条件不变时，炮弹的最大速度与电容器电容大小成正比 [答案]　AB [解析]　对炮弹，根据动量定理t＝mv，其中，平均安培力＝BL，可得v＝＝，故A正确；刚充电结束时，电容器电荷量为Q＝CE，炮弹达到最大速度时，电容器电荷量Q′＝Q－q，此时电容器电压U＝，则此时炮弹产生的感应电动势等于U，故BLv＝U，联立可得＝BLv，解得C＝，故B正确；炮弹在导轨上运动过程，电容器有电压存在，通过炮弹的平均电流并不是，则t≠q，x≠，故C错误；根据B项分析可知E＝v，故炮弹的最大速度与电容器电容大小并不成正比，故D错误。 考点2　动量守恒定律在电磁感应中的应用 (能力考点·深度研析) 光滑的平行导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 运动图像 能量观点 系统动能的减少转化为内能 动量观点 两杆组成的系统动量守恒 (2024·湖北卷)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求： (1)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小； (2)金属环刚开始运动时的加速度大小； (3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。 [答案]　(1)BL　(2) (3)L＋ [解析]　(1)设ab滑到MP处时速度为v0，由动能定理可知mgL＝mv－0 ab刚越过MP时产生的感应电动势为E＝BLv0 联立解得v0＝，E＝BL。 (2)如图所示，根据几何关系，金属环接入电路的弧度θ1＝θ2＝，结合题中条件根据闭合电路的欧姆定律和并联电路规律，金属环接入电路的电阻为，根据闭合电路的欧姆定律可知 E＝I 金属环因受安培力而向右做变加速运动，由牛顿第二定律可知FA＝ILB＝2ma 联立解得a＝。 (3)金属环可以看作质量为2m、长度为L、电阻为0.5R的导体棒，装置可以等效为等间距的双杆模型，金属环受安培力加速，金属棒ab受安培力减速，当二者共速时，回路磁通量不再变化，电流为零，安培力为零，二者保持共速做匀速直线运动，此时二者间距最近， 金属棒ab和金属环组成的系统合外力为零，由动量守恒定律有mv0＝(m＋2m)v 对金属环受力分析，由动量定理有∑ILBΔt＝BLq＝2mv 其中q＝＝ 联立解得Δx＝ 则金属环圆心初始位置到MP的最小距离应为L＋。 提能训练　练案[66] 基础巩固练 题组一　动量定理在电磁感应中的应用 1．如图甲、乙中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图甲中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面(即纸面)向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在图甲、乙两种情形下，关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是(　　) A．图甲中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动 B．图乙中，ab棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止 C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大 D．两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动 [答案]　B [解析]　题图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，由于充电电流不断减小，安培力减小，则导体棒做变减速运动，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒不受安培力，向右做匀速运动，故A错误；题图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，导体棒受向左的安培力而做减速运动，随速度的减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，最终ab棒静止，故B正确，D错误；根据安＝BL，有安t＝BLt＝qBL＝mΔv，得q＝，电荷量跟导体棒ab的动量变化量成正比，因为题图甲中导体棒的动量变化量小于题图乙，所以题图甲中通过R的电荷量小于题图乙中通过R的电荷量，故C错误。 2.如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场。现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以垂直于磁场边界的初速度v0向右滑动，穿过磁场后速度刚好减为0，那么当线圈完全进入磁场时，其速度大小(　　) A．大于 B．等于 C．小于 D．以上均有可能 [答案]　B [解析]　通过线圈横截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝，由于线圈进入和穿出磁场过程，线圈磁通量的变化量相等，则进入和穿出磁场的两个过程通过线圈横截面的电荷量q相等，由动量定理得，线圈进入磁场过程－B1at1＝mv－mv0，线圈离开磁场过程－B2at2＝0－mv，由于q＝t，则－Baq＝mv－mv0，Baq＝mv，解得v＝，故B正确。 3.(2023·福建卷)如图，M、N是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻可忽略不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界OO′垂直于导轨；阻值恒定的两均匀金属棒a、b均垂直于导轨放置，b始终固定。a以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与b不相碰。以O为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴坐标；在运动过程中，a的速度记为v，a克服安培力做功的功率记为P。下列v或P随x变化的图像中，可能正确的是(　　) [答案]　A [解析]　设导轨间磁场磁感应强度为B，导轨间距为L，金属棒总电阻为R，由题意导体棒a进入磁场后受到水平向左的安培力作用，做减速运动，根据动量定理有F·Δt＝mv0－mv，根据F＝BL，I＝，＝＝，联立可得x＝mv0－mv，根据表达式可知v与x成一次函数关系，故A正确，B错误；a克服安培力做功的功率为P＝Fv＝·v2＝·2，故P－x图像为开口向上的抛物线，故C、D错误。故选A。 题组二　动量守恒定律在电磁感应中的应用 4．(多选)如图所示，在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，有两根位于同一水平面内且间距为L的平行金属导轨(导轨足够长，电阻不计)；两根质量均为m、电阻均为r的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上(导体棒与金属导轨接触良好)，t＝0时，ab棒以初速度3v0向右滑动，cd棒以初速度v0向左滑动，关于两棒的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．当其中某根棒的速度为零时，另一根棒的速度大小为v0 B．当其中某根棒的速度为零时，另一根棒的加速度大小为 C．从初始时刻到其中某根棒的速度为零过程中，导体棒ab产生的焦耳热为mv D．cd棒的收尾速度大小为v0 [答案]　CD [解析]　由于两棒组成的系统动量守恒，取向右方向为正方向，由动量守恒定律可得m·3v0－mv0＝mv1＋mv2，所以当其中某根棒的速度为零时，另一根棒的速度大小为2v0，故A错误；当其中某根棒的速度为零时，另一根棒的速度大小为2v0，则有E＝BL·2v0，I＝，F＝ILB，联立解得F＝，由牛顿第二定律可得，另一根棒的加速度大小为a＝＝，故B错误；从初始时刻到其中某根棒的速度为零过程中，两根导体棒上产生的焦耳热为Q总＝mv＋m(3v0)2－m(2v0)2＝3mv，则导体棒ab产生的焦耳热为Q＝Q总＝mv，故C正确；cd棒的收尾速度为两根导体棒具有的共同速度，则有m·3v0－mv0＝2mv共，解得v共＝v0，故D正确。 5．如图所示，倾角为θ＝37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上，两导体棒ab、cd垂直于导轨放置，空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给导体棒ab一沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动，已知两导体棒质量均为m，电阻阻值均为R，两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.75，导轨电阻忽略不计。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中，两导体棒始终与导轨保持良好的接触，下列说法正确的是(　　) A．整个运动过程中，导体棒cd中产生的焦耳热为mv B．整个运动过程中，导体棒cd中产生的焦耳热为mv C．当导体棒cd的速度为v0时，导体棒ab的速度为v0 D．当导体棒ab的速度为v0时，导体棒cd的速度为v0 [答案]　B [解析]　由题意知μ＝tan 37°＝0.75，则mgsin 37°＝μmgcos 37°，所以两棒组成的系统沿轨道方向的动量守恒，当最终稳定时有mv0＝2mv，解得v＝0.5v0，则整个运动过程中回路中产生的焦耳热为Q＝mv－×2mv2＝mv，则导体棒cd中产生的焦耳热为Qcd＝Qab＝Q＝mv，故A错误，B正确；当导体棒cd的速度为v0时，由动量守恒定律有mv0＝m·v0＋mvab，解得vab＝v0，且导体棒cd速度不能大于导体棒ab的速度，故C、D错误。 能力提升练 6.(多选)(2025·江西南昌联考)如图，间距为L的平行导轨竖直固定放置，导轨上端接有阻值为R的定值电阻，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的宽度均为d，磁场Ⅰ的下边界和磁场Ⅱ的上边界间距为d，磁场的磁感应强度大小均为B。一根质量为m、电阻为R的金属棒由静止释放，释放的位置离磁场Ⅰ的上边界距离为2d，金属棒进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，金属棒运动过程中始终保持水平且与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．金属棒刚进入磁场Ⅰ时的速度大小为2 B．金属棒刚出磁场Ⅰ时的速度大小为 C．金属棒穿过两个磁场过程中电阻R中产生的焦耳热为2mgd D．金属棒穿过磁场Ⅰ所用的时间为 [答案]　ABC [解析]　根据动能定理有mg·2d＝mv，金属棒刚进磁场Ⅰ时的速度大小为v1＝2，故A正确；由于金属棒进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，在金属棒从磁场Ⅰ的下边界到磁场Ⅱ的上边界这一过程中，机械能守恒，设金属棒出磁场Ⅰ的速度为v1′，进磁场Ⅱ的速度为v2，则有mv1′2＋mgd＝mv，又v2＝v1，解得金属棒刚出磁场Ⅰ时的速度大小为v1′＝，故B正确；由能量守恒定律得2Q＝5mgd－mv1′2，解得金属棒穿过两个磁场过程中电阻R中产生的焦耳热为Q＝2mgd，故C正确；设金属棒穿过磁场Ⅰ所用的时间为t，根据动量定理得BqL－mgt＝(－mv1′)－(－mv1)，该过程的电荷量为q＝＝，解得金属棒穿过磁场Ⅰ所用的时间为t＝，故D错误。 7．(多选)如图甲所示，两根间距为L＝1.0 m、电阻不计且足够长的光滑平行金属导轨与水平面夹角θ＝30°，导轨底端接入一阻值为R＝2.0 Ω的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂直于导轨放置一质量为m＝0.2 kg、电阻为r＝1.0 Ω的金属杆，开始时使金属杆保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上F＝2.0 N的恒力，金属杆由静止开始运动，图乙为运动过程的v－t图像，重力加速度g取10 m/s2。则在金属杆向上运动的过程中，下列说法中正确的是(　　) A．匀强磁场的磁感应强度B＝ T B．前2 s内通过电阻R的电荷量为1.4 C C．前2 s内金属杆通过的位移为4 m D．前4 s内电阻R产生的热量为6.2 J [答案]　BD [解析]　由题图乙可知金属杆先做加速度减小的加速运动，2 s后做匀速直线运动。当t＝2 s时，速度为v＝3 m/s，此时感应电动势为E＝BLv，感应电流为I＝，安培力为F安＝BIL＝，根据受力平衡可得F＝F安＋mgsin θ，联立解得B＝1 T，故A错误；前2 s内，根据动量定理有(F－mgsin θ)Δt－BLΔt＝mv－0，又q＝Δt，联立解得q＝1.4 C，故B正确；设前2 s内金属杆通过的位移为x，由q＝Δt＝Δt＝Δt＝，联立解得x＝4.2 m，故C错误；前2 s内金属杆通过的位移为x＝4.2 m,2～4 s内金属杆通过的位移为x′＝vt＝6 m，前4 s内由能量守恒定律可得F(x＋x′)＝mv2＋mg(x＋x′)sin θ＋Q，解得总热量Q＝9.3 J，则前4 s内电阻R产生的热量为QR＝Q＝6.2 J，故D正确。 8．(2024·江西卷，改编)如图所示，绝缘水平面上固定一光滑平行金属导轨，导轨左、右两端分别与两粗糙的倾斜平行金属导轨平滑连接，两侧导轨倾角分别为θ1、θ2，导轨间距均为l＝2 m，水平导轨所在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5 T。现有两均匀金属细棒甲和乙，质量分别为m1＝6 kg和m2＝2 kg，接入导轨的电阻均为R＝1 Ω。左、右两侧倾斜导轨与两棒的动摩擦因数分别为μ1＝、μ2＝。初始时刻，乙静止在水平导轨上，与水平导轨左端P1P2的距离为d，甲从左侧倾斜导轨高度h＝4 m的位置静止滑下。水平导轨足够长，两棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直。不计空气阻力和导轨的电阻。(g取10 m/s2，sin θ1＝0.6，sin θ2＝0.8) (1)求甲刚进入磁场时乙的加速度大小和方向。 (2)为使乙第一次到达水平导轨右端Q1Q2之前甲和乙不相碰，求d的最小值。 [答案]　 (1)2 m/s2，方向水平向右　(2)24 m [解析]　(1)对甲从静止到运动至P1P2处的过程，根据动能定理有 m1gh－μ1m1gcos θ1·＝m1v－0 甲刚进入磁场时，由法拉第电磁感应定律有 E0＝Blv0 根据欧姆定律有I0＝ 对乙由牛顿第二定律有BI0l＝m2a乙0 联立并代入数据解得a乙0＝2 m/s2 根据楞次定律可知，回路中的感应电流沿逆时针方向(俯视)，结合左手定则可知，乙所受安培力方向水平向右，则加速度方向水平向右。 (2)甲和乙在磁场中运动的过程中，系统不受外力作用，则系统动量守恒，若两者共速时恰不相碰，则有 m1v0＝(m1＋m2)v共 对乙根据动量定理有Blt＝m2v共－0 又t＝q＝＝ dmin＝Δx，联立解得dmin＝24 m。 9．(2023·湖南卷)如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。 (1)先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0； (2)在(1)问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0； (3)在(2)问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。 [答案]　(1)　(2)2gsin θ (3)gt0sin θ＋　 [解析]　(1)a导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a棒的安培力相等时做匀速运动，由法拉第电磁感应定律可得E＝BLv0 由闭合电路的欧姆定律及安培力公式I＝，F＝BIL a棒受力平衡可得mgsin θ＝BIL 联立解得v0＝。 (2)由右手定则可知导体棒b中电流向右，b棒受到沿斜面向下的安培力，此时电路中电流不变，对b棒根据牛顿第二定律可得mgsin θ＋BIL＝ma 解得a＝2gsin θ。 (3)释放b棒后a棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时，对a棒应用动量定理mgt0sin θ－BLt0＝mv－mv0 b棒受到向下的安培力，对b棒根据动量定理 mgt0sin θ＋BLt0＝mv 联立解得v＝gt0sin θ＋＝gt0sin θ＋ 此过程流过b棒的电荷量为q，则有q＝t0 由法拉第电磁感应定律可得 ＝＝ 联立可得 Δx＝＝。 10．如图所示，两根质量均为m＝2 kg的金属棒垂直放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1∶2，导轨间有大小相等但左、右两部分方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻。现用250 N的水平拉力F向右拉CD棒，CD棒运动s＝0.5 m时产生的焦耳热为Q2＝30 J，此时两棒速率之比为vA∶vC＝1∶2，现立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，求： (1)在CD棒运动0.5 m的过程中，AB棒上产生的焦耳热； (2)撤去拉力F瞬间，两棒的速度大小vA和vC； (3)撤去拉力F后，两棒最终匀速运动的速度大小vA′和vC′。 [答案]　(1)15 J　(2)4 m/s　8 m/s (3)6.4 m/s　3.2 m/s [解析]　(1)设两棒的长度分别为l和2l，所以电阻分别为R和2R，由于电路中任何时刻电流都相等，根据焦耳定律Q＝I2Rt可知Q1∶Q2＝1∶2，则AB棒上产生的焦耳热Q1＝15 J。 (2)根据能量守恒定律有Fs＝mv＋mv＋Q1＋Q2，又vA∶vC＝1∶2，联立两式并代入数据得vA＝4 m/s，vC＝8 m/s。 (3)撤去拉力F后，AB棒继续向左做加速运动，而CD棒向右做减速运动，当两棒切割磁感线产生的电动势大小相等时电路中电流为零，两棒开始做匀速运动，则有BlvA′＝B·2lvC′ 即vA′＝2vC′ 规定水平向左为正方向，对AB、CD两棒分别应用动量定理有 Blt＝mvA′－mvA －B·2lt＝mvC′－mvC 联立解得vA′＝6.4 m/s，vC′＝3.2 m/s。 11．如图所示，有两根光滑平行导轨，左侧为位于竖直平面的金属圆弧，右侧为水平直导轨，圆弧底部和直导轨相切，两条导轨水平部分在同一水平面内，其中BC、NP段用绝缘材料制成，其余部分为金属。两导轨的间距为d＝0.5 m，导轨的左侧接着一个阻值为R＝2 Ω的定值电阻，右侧接C＝2×1011pF的电容器，电容器尚未充电。水平导轨的ADQM区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，虚线AM和DQ垂直于导轨，AB和MN的长度均为x＝1.2 m，两根金属棒a、b垂直放置在导轨上，质量均为m＝0.2 kg，接入电路的电阻均为r＝2 Ω，金属棒a从圆弧轨道距水平轨道高h＝0.8 m处由静止滑下，与静止在圆弧底部的金属棒b发生弹性碰撞，碰撞后金属棒b进入磁场区域，最终在CDQP区域稳定运动。不计金属导轨的电阻，求： (1)金属棒b刚进入磁场区域时的速度大小； (2)整个运动过程中金属杆a上产生的焦耳热。 [答案]　(1)4 m/s　(2)0.2 J [解析]　(1)金属棒a由高h＝0.8 m处从静止沿轨道滑下，由机械能守恒定律得mgh＝mv 解得v0＝4 m/s 此后a与b发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律可知 mv0＝mv1＋mv2 mv＝mv＋mv 解得v1＝0，v2＝v0＝4 m/s 即金属棒b刚进入磁场区域的速度大小是4 m/s。 (2)金属棒b从A到B做减速运动，由动量定理得－BdΔt＝mv－mv2 又Δt＝q＝Δt ＝ R总＝r＋＝3 Ω 联立解得v＝2 m/s 由能量守恒定律得Q总＝mv－mv2 解得Q总＝1.2 J 在金属棒a上产生的焦耳热 Qa＝Q总＝0.2 J。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第66讲　动量观点在电磁感应中的应用 考点1　动量定理在电磁感应中的应用 1．此类问题中常用到的几个公式 (1)安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq。 (2)通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n。 (3)磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。 (4)导体棒在磁场中所受安培力是变力时，可用动量定理分析棒的速度变化，表达式为I其他＋lBΔt＝mv－mv0或I其他－lBΔt＝mv－mv0。 2．选用技巧：当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解更方便。 ►考向1　“导体棒＋电阻”模型 模 型 一 示意图 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来 求电荷 量q 对金属棒应用动量定理－BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝ 求位 移x 对金属棒应用动量定理－Δt＝0－mv0，x＝Δt＝ 模 型 二 示意图 间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v 求运动 时间 －BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt，－Δt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，x＝Δt ►考向2　导线框模型 模 型 一 示意图 在安培力作用下穿越磁场 位移 速度 电荷 量的 计算 动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量： (1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt； (2)求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0 模 型 二 示意图 在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场 时间的 计算 求时间：①－BLΔt＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间； ②－＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F其他·Δt＝mv2－mv1 若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间 (多选)如图所示，在光滑的水平面上有一方向竖直向下的有界匀强磁场。磁场区域的左侧，一正方形线框由位置Ⅰ以4.5 m/s的初速度垂直于磁场边界水平向右运动，线框经过位置Ⅱ，当运动到位置Ⅲ时速度恰为零，此时线框刚好有一半离开磁场区域。线框的边长小于磁场区域的宽度。若线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量分别为q1、q2，线框经过位置Ⅱ时的速度为v。则下列说法正确的是(　　) A．q1＝q2 B．q1＝2q2 C．v＝1.0 m/s D．v＝1.5 m/s ►考向3　双棒在外力作用下模型 光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨 示意 图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 摩擦力Ffb＝Ffa 运动 分析 开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变加速后匀速运动；b杆静止。若F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同 运动 图像 能量 观点 F做的功转化为两杆的动能和内能：WF＝ΔEk＋Q F做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩擦热)：WF＝ΔEk＋Q电＋Qf 动量 观点 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 (2025·广东深圳高三月考)某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： (1)此时金属棒PQ的加速度； (2)此时两金属棒MN和PQ的速度； (3)金属棒MN和PQ的最大速度差。 ►考向4　不等间距上的双棒模型 光滑不等距导轨 示意 图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La 运动情况分析 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 动量 关系 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 (多选)如图所示，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD以及直宽轨EF、GH组合而成，窄轨和宽轨均处于同一水平面内，AB、CD等长且与EF、GH均相互平行，BE、GD等长、共线，且均与AB垂直，窄轨间距为，宽轨间距为L。窄轨和宽轨之间均有竖直向上的磁感强度为B的匀强磁场。由同种材料制成的相同金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，棒长为L、质量为m、电阻为R。初始时b棒静止于导轨EF段某位置，a棒从AB段某位置以初速度v0向右运动，且a棒距窄轨右端足够远，宽轨EF、GH足够长。下列判断正确的是(　　) A．a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为 B．经过足够长的时间，a棒的速度为v0 C．整个过程中通过回路的电荷量为 D．整个过程中b棒产生的焦耳热为mv ►考向5　“导体棒＋电容器”模型 模 型 一 示意图 (无外 力充 电式) 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计 运动 情况 分析 导体杆速度为v时，感应电流I＝，导体杆受安培力F安＝BIL，做减速运动，v，电容器充电，UC，F安，a，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，杆匀速运动 最终 速度 计算 模 型 二 示意图 (无外 力放 电式) 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻为R 运动 情况 分析 电容器充满电后，S合向2，导体杆受安培力运动，产生电动势E＝BLv，感应电流I＝，导体杆受安培力F安＝BIL，做加速运动，v，电容器放电UC减小，F安，a，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，杆匀速运动 最终 速度 计算 如图甲所示，两平行长直光滑金属导轨水平放置，间距为L，左端连接一个电容为C的电容器，导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m的金属棒垂直导轨放置，某时刻金属棒获得一个水平向右的初速度v0，之后金属棒运动的v－t图像如图乙所示，不考虑导轨的电阻。 (1)求金属棒匀速运动时的速度大小v1； (2)求金属棒匀速运动时电容器的电荷量q； (3)已知金属棒从开始到匀速运动的过程中，产生的焦耳热为Q，求电容器充电稳定后储存的电能E。 (多选)如图所示是某同学模拟电磁炮的工作原理和发射过程，水平台面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ置于塑料圆筒内，质量为m的金属炮弹置于圆筒内的轨道上，轨道间距为L，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨左端连着平行板电容器和电动势为E的电源。先让单刀双掷开关接1接线柱对电容器充电，充电结束后，将开关接2接线柱。金属炮弹在安培力作用下开始运动，达到最大速度后离开导轨，整个过程通过炮弹的电荷量为q。已知在圆筒中金属炮弹始终与导轨接触良好，不计导轨电阻和电源内阻，炮弹电阻为R。在这个过程中，以下说法正确的是(　　) A．炮弹离开导轨时的速度为 B．电容器的电容C＝ C．炮弹在导轨上的位移x＝ D．在其他条件不变时，炮弹的最大速度与电容器电容大小成正比 考点2　动量守恒定律在电磁感应中的应用 (能力考点·深度研析) 光滑的平行导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 运动图像 能量观点 系统动能的减少转化为内能 动量观点 两杆组成的系统动量守恒 (2024·湖北卷)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求： (1)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小； (2)金属环刚开始运动时的加速度大小； (3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。 提能训练　练案[66] 基础巩固练 题组一　动量定理在电磁感应中的应用 1．如图甲、乙中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图甲中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面(即纸面)向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在图甲、乙两种情形下，关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是(　　) A．图甲中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动 B．图乙中，ab棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止 C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大 D．两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动 2.如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场。现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以垂直于磁场边界的初速度v0向右滑动，穿过磁场后速度刚好减为0，那么当线圈完全进入磁场时，其速度大小(　　) A．大于 B．等于 C．小于 D．以上均有可能 3.(2023·福建卷)如图，M、N是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻可忽略不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界OO′垂直于导轨；阻值恒定的两均匀金属棒a、b均垂直于导轨放置，b始终固定。a以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与b不相碰。以O为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴坐标；在运动过程中，a的速度记为v，a克服安培力做功的功率记为P。下列v或P随x变化的图像中，可能正确的是(　　) 题组二　动量守恒定律在电磁感应中的应用 4．(多选)如图所示，在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，有两根位于同一水平面内且间距为L的平行金属导轨(导轨足够长，电阻不计)；两根质量均为m、电阻均为r的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上(导体棒与金属导轨接触良好)，t＝0时，ab棒以初速度3v0向右滑动，cd棒以初速度v0向左滑动，关于两棒的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．当其中某根棒的速度为零时，另一根棒的速度大小为v0 B．当其中某根棒的速度为零时，另一根棒的加速度大小为 C．从初始时刻到其中某根棒的速度为零过程中，导体棒ab产生的焦耳热为mv D．cd棒的收尾速度大小为v0 5．如图所示，倾角为θ＝37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上，两导体棒ab、cd垂直于导轨放置，空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给导体棒ab一沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动，已知两导体棒质量均为m，电阻阻值均为R，两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.75，导轨电阻忽略不计。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中，两导体棒始终与导轨保持良好的接触，下列说法正确的是(　　) A．整个运动过程中，导体棒cd中产生的焦耳热为mv B．整个运动过程中，导体棒cd中产生的焦耳热为mv C．当导体棒cd的速度为v0时，导体棒ab的速度为v0 D．当导体棒ab的速度为v0时，导体棒cd的速度为v0 能力提升练 6.(多选)(2025·江西南昌联考)如图，间距为L的平行导轨竖直固定放置，导轨上端接有阻值为R的定值电阻，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的宽度均为d，磁场Ⅰ的下边界和磁场Ⅱ的上边界间距为d，磁场的磁感应强度大小均为B。一根质量为m、电阻为R的金属棒由静止释放，释放的位置离磁场Ⅰ的上边界距离为2d，金属棒进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，金属棒运动过程中始终保持水平且与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．金属棒刚进入磁场Ⅰ时的速度大小为2 B．金属棒刚出磁场Ⅰ时的速度大小为 C．金属棒穿过两个磁场过程中电阻R中产生的焦耳热为2mgd D．金属棒穿过磁场Ⅰ所用的时间为 7．(多选)如图甲所示，两根间距为L＝1.0 m、电阻不计且足够长的光滑平行金属导轨与水平面夹角θ＝30°，导轨底端接入一阻值为R＝2.0 Ω的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂直于导轨放置一质量为m＝0.2 kg、电阻为r＝1.0 Ω的金属杆，开始时使金属杆保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上F＝2.0 N的恒力，金属杆由静止开始运动，图乙为运动过程的v－t图像，重力加速度g取10 m/s2。则在金属杆向上运动的过程中，下列说法中正确的是(　　) A．匀强磁场的磁感应强度B＝ T B．前2 s内通过电阻R的电荷量为1.4 C C．前2 s内金属杆通过的位移为4 m D．前4 s内电阻R产生的热量为6.2 J 8．(2024·江西卷，改编)如图所示，绝缘水平面上固定一光滑平行金属导轨，导轨左、右两端分别与两粗糙的倾斜平行金属导轨平滑连接，两侧导轨倾角分别为θ1、θ2，导轨间距均为l＝2 m，水平导轨所在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5 T。现有两均匀金属细棒甲和乙，质量分别为m1＝6 kg和m2＝2 kg，接入导轨的电阻均为R＝1 Ω。左、右两侧倾斜导轨与两棒的动摩擦因数分别为μ1＝、μ2＝。初始时刻，乙静止在水平导轨上，与水平导轨左端P1P2的距离为d，甲从左侧倾斜导轨高度h＝4 m的位置静止滑下。水平导轨足够长，两棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直。不计空气阻力和导轨的电阻。(g取10 m/s2，sin θ1＝0.6，sin θ2＝0.8) (1)求甲刚进入磁场时乙的加速度大小和方向。 (2)为使乙第一次到达水平导轨右端Q1Q2之前甲和乙不相碰，求d的最小值。 9．(2023·湖南卷)如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。 (1)先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0； (2)在(1)问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0； (3)在(2)问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。 10．如图所示，两根质量均为m＝2 kg的金属棒垂直放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1∶2，导轨间有大小相等但左、右两部分方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻。现用250 N的水平拉力F向右拉CD棒，CD棒运动s＝0.5 m时产生的焦耳热为Q2＝30 J，此时两棒速率之比为vA∶vC＝1∶2，现立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，求： (1)在CD棒运动0.5 m的过程中，AB棒上产生的焦耳热； (2)撤去拉力F瞬间，两棒的速度大小vA和vC； (3)撤去拉力F后，两棒最终匀速运动的速度大小vA′和vC′。 11．如图所示，有两根光滑平行导轨，左侧为位于竖直平面的金属圆弧，右侧为水平直导轨，圆弧底部和直导轨相切，两条导轨水平部分在同一水平面内，其中BC、NP段用绝缘材料制成，其余部分为金属。两导轨的间距为d＝0.5 m，导轨的左侧接着一个阻值为R＝2 Ω的定值电阻，右侧接C＝2×1011pF的电容器，电容器尚未充电。水平导轨的ADQM区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，虚线AM和DQ垂直于导轨，AB和MN的长度均为x＝1.2 m，两根金属棒a、b垂直放置在导轨上，质量均为m＝0.2 kg，接入电路的电阻均为r＝2 Ω，金属棒a从圆弧轨道距水平轨道高h＝0.8 m处由静止滑下，与静止在圆弧底部的金属棒b发生弹性碰撞，碰撞后金属棒b进入磁场区域，最终在CDQP区域稳定运动。不计金属导轨的电阻，求： (1)金属棒b刚进入磁场区域时的速度大小； (2)整个运动过程中金属杆a上产生的焦耳热。 学科网（北京）股份有限公司 $