17.5.1面积问题与数字问题-课件2025－2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 17.5.1面积问题与数字问题 第17章 一元二次方程及其应用 17.5.1 面积问题与数字问题练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题15分，共30分） 1. 面积问题：一个矩形的长比宽多2cm，面积为15cm²，求这个矩形的长和宽。 解析：面积问题核心是根据图形面积公式，结合已知条件建立一元二次方程，解题步骤为先设未知数，再列方程、解方程，最后检验结果是否符合实际意义（边长为正数）。 第一步，设未知数：设矩形的宽为x cm，则长为(x + 2) cm； 第二步，列方程：根据矩形面积公式“面积=长×宽”，得$$x(x + 2) = 15$$； 第三步，整理方程：化为一般式$$x^2 + 2x - 15 = 0$$； 第四步，解方程：因式分解得$$(x + 5)(x - 3) = 0$$，解得$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -5$$； 第五步，检验：边长不能为负数，舍去$$x_2 = -5$$，则宽为3cm，长为3 + 2 = 5cm； 结论：矩形的长为5cm，宽为3cm。 2. 数字问题：一个两位数，十位数字比个位数字大3，两个数字的积为10，求这个两位数。 解析：数字问题核心是明确两位数的表示方法（十位数字×10 + 个位数字），设未知数后根据题意列方程，检验结果符合数字范围（0≤个位数字≤9，1≤十位数字≤9）。 第一步，设未知数：设个位数字为x，则十位数字为(x + 3)； 第二步，列方程：根据“两个数字的积为10”，得$$x(x + 3) = 10$$； 第三步，整理方程：化为一般式$$x^2 + 3x - 10 = 0$$； 第四步，解方程：因式分解得$$(x + 5)(x - 2) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = -5$$； 第五步，检验：个位数字不能为负数，舍去$$x_2 = -5$$，则个位数字为2，十位数字为2 + 3 = 5； 结论：这个两位数为52。 二、中档题（每题20分，共40分） 3. 面积问题：一个正方形的边长减少3cm后，面积变为原来的一半，求原正方形的边长（结果保留根号）。 解析：进阶考点——正方形面积与边长的关系，结合“面积变化”建立方程，注意结果需符合实际意义，保留最简二次根式。 第一步，设未知数：设原正方形的边长为x cm，则边长减少3cm后，新正方形的边长为(x - 3) cm； 第二步，列方程：根据“新面积是原面积的一半”，得$$(x - 3)^2 = \frac{1}{2}x^2$$； 第三步，整理方程：展开左边得$$x^2 - 6x + 9 = \frac{1}{2}x^2$$，移项化简为$$x^2 - 12x + 18 = 0$$； 第四步，解方程：用公式法求解，$$a = 1$$，$$b = -12$$，$$c = 18$$，$$\Delta = (-12)^2 - 4 \times 1 \times 18 = 144 - 72 = 72$$，$$x = \frac{12 \pm \sqrt{72}}{2} = 6 \pm 3\sqrt{2}$$； 第五步，检验：边长减少3cm后仍为正数，故$$x - 3 > 0$$，即$$x > 3$$，舍去$$6 - 3\sqrt{2}$$（≈6 - 4.24 = 1.76 < 3）； 结论：原正方形的边长为$$(6 + 3\sqrt{2})$$cm。 4. 数字问题：一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，若将两个数字交换位置，得到的新两位数比原两位数小18，求原两位数。 解析：进阶应用——结合“数字和”与“两位数差值”建立方程组（或一元二次方程），核心是正确表示原两位数和新两位数。 第一步，设未知数：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(8 - x)，原两位数为$$10x + (8 - x) = 9x + 8$$； 第二步，表示新两位数：交换位置后，十位数字为(8 - x)，个位数字为x，新两位数为$$10(8 - x) + x = 80 - 9x$$； 第三步，列方程：根据“新两位数比原两位数小18”，得$$(9x + 8) - (80 - 9x) = 18$$； 第四步，解方程：化简得$$18x - 72 = 18$$，解得$$x = 5$$； 第五步，求原两位数：个位数字为8 - 5 = 3，原两位数为53； 验证：新两位数为35，53 - 35 = 18，符合题意； 结论：原两位数为53。 三、拓展题（30分） 5. 综合问题：一个长方形草坪，长为20m，宽为15m，现要在草坪的四周修一条宽度相同的小路，使得小路的面积为136m²，求小路的宽度。 解析：进阶拓展——环形面积问题，核心是明确“大长方形面积 - 草坪面积 = 小路面积”，设小路宽度为未知数，准确表示大长方形的长和宽。 第一步，设未知数：设小路的宽度为x m，则修完小路后，大长方形的长为(20 + 2x) m，宽为(15 + 2x) m（小路在四周，长和宽都增加2x）； 第二步，列方程：根据面积关系，得$$(20 + 2x)(15 + 2x) - 20 \times 15 = 136$$； 第三步，整理方程：展开左边得$$300 + 40x + 30x + 4x^2 - 300 = 136$$，化简为$$4x^2 + 70x - 136 = 0$$，两边除以2得$$2x^2 + 35x - 68 = 0$$； 第四步，解方程：用公式法求解，$$a = 2$$，$$b = 35$$，$$c = -68$$，$$\Delta = 35^2 - 4 \times 2 \times (-68) = 1225 + 544 = 1769$$，$$x = \frac{-35 \pm \sqrt{1769}}{4}$$； 第五步，检验：宽度不能为负数，舍去负根，$$\sqrt{1769} \approx 42.06$$，则$$x \approx \frac{-35 + 42.06}{4} \approx 1.77$$（保留两位小数）； 结论：小路的宽度约为1.77m（或保留根号表示为$$\frac{-35 + \sqrt{1769}}{4}$$m）。 总结：17.5.1 面积问题与数字问题重点考查一元二次方程在实际场景中的应用，核心是找准等量关系（面积公式、数字表示规则），正确设未知数、列方程，关键在于检验结果是否符合实际意义，确保解题贴合实际场景、步骤严谨。 学习目标 1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点) 2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点) 回顾导入 a h a a a b b a h a b a h r a h 列方程解应用题的一般步骤： 审 找 列 解 验 答 弄清题意和题中的数量关系，用字母表示问题涉及的未知数 分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等） 根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程 解这个方程，求出未知数的值 检查所得的值是否正确和符合实际情形 写出答案（包括单位） 推进新课 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？ 20 32 (单位：m) x 例 1 【教材P40 例1】 x 审 找 知识点一 面积问题 20 32 (单位：m) x 解 设小路的宽是 x m，根据题意，得 32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570 整理，得 x2 – 36x + 35 = 0 则 (x – 1)(x – 35) = 0 解方程，得 x1 = 1，x2 = 35. x2 = 35 不合题意，所以 x = 1. 答：小路的宽应为 1 m. 列 解 验 答 练一练 【教材P43练习T2】 审 找 列 解 验 答 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几步. 大意是：长方形面积 864 平方步，宽比长少 12 步，问长、宽共几步.（注：步为当时的长度单位） 解：设长方形的长是 x 步，则宽是 (x – 12) 步. 根据题意，得 x(x – 12) = 864 解方程，得 x1 = 36，x2 = – 24. x2 = – 24 不合题意，所以 x = 36，所以 x – 12 = 24. 答：长方形的长为 36 步，宽为 24 步. x 【教材P41 例4】 20 (单位：cm) 20 x–40 x 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2 880 cm3 的开口方盒. 原金属片的边长是多少？ 例 2 方盒的高： 20 cm 方盒的底边长： (x – 40) cm 方盒的底面积： (x – 40)2 cm2 方盒的容积： 20(x – 40)2 cm3 解 设原金属片的边长是 x cm，则方盒的底边长是 (x – 40) cm. 根据题意，得 20(x – 40)2 = 2880 整理，得 (x – 40)2 = 144. 解方程，得 x1 = 52，x2 = 28. x2 = 28 不合题意，所以 x = 52. 答：原金属片的边长是 52 cm. x 20 (单位：cm) 20 x–40 练一练 【教材P43练习T1】 一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的 . 求这根水管原来的内壁直径. 等量关系： x 解：设原来的内壁直径是 x mm， 根据题意，得 解方程，得 x1 = 18，x2 = 3.6. x2 = 3.6 不合题意，所以 x = 18. 答：这根水管原来的内壁直径是 18 mm. 练一练 【教材P43练习T1】 一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的 . 求这根水管原来的内壁直径. 利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 知识点二 数字问题 【教材P41练习T1】 如果两个连续偶数的积是 288，求这两个数. 分析： 较小的偶数 x 较大的偶数 x + 2 积为288 x(x + 2) = 288 解：设前一个偶数是 x ，则后一个偶数是是 (x + 2) . 根据题意，得 x(x + 2) = 288 解方程，得 x1 = 16，x2 = – 18. 答：这两个数分别为 16 和 18，或 – 18 和 – 16. 所以 x1 + 2 = 18，x2 + 2 = – 16. 练一练 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数. 分析： 原两位数 十位 个位 x 5 – x 10x + (5 – x) 个位十位对调 积为 736 现两位数 十位 个位 5 – x x 10(5 – x) + x 解：设原来的两位数的十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 (9 – x). 练一练 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 9，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 2268，求原来的两位数. 根据题意，得 [10x + (9 – x)][10(9 – x) + x] = 2268 解方程，得 x1 = 6，x2 = 3，则 9 – x1 = 3，9 – x2 = 6. 所以原来的两位数是 63 或 36. 解题策略：解决数字问题设未知数时，通常采用间接设元法. 设元的方法 方法解读 直接设元法 设待求量为未知数 间接设元法 设待求量之外的量为未知数，用含未知数的代数式表示待求量 辅助设元法 引入辅助未知数，并在解题过程中消去 返回 C 1．[2025福建]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为x米，根据题意可列方程(　　) A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6 C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6 中考考法 17 2 m 返回 2．如图，长方形ABCD是一个花园，长AD为32 m，宽AB为20 m，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的地方的面积为504 m2，那么小道的宽度应为________． 中考考法 18 返回 200(1＋x)2＝401 3. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为________________． 中考考法 19 课堂小结 面积问题： 利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 数字问题： 解决数字问题时，通常采用间接设元法设未知数. $