17.5.4可化为一元二次方程的分式方程 课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 17.5.4可化为一元二次方程的 分式方程 第17章 一元二次方程及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题15分，共30分） 1. 解分式方程：$$\frac{2}{x} + \frac{x}{x-1} = 2$$ 解析：可化为一元二次方程的分式方程核心解法是“去分母”，将分式方程转化为整式方程（一元二次方程）求解，关键步骤是：去分母→解整式方程→检验（检验分母不为0，排除增根）。 第一步，确定最简公分母：分母为x和x-1，最简公分母为$$x(x-1)$$； 第二步，去分母：方程两边同时乘以$$x(x-1)$$，得$$2(x-1) + x^2 = 2x(x-1)$$； 第三步，整理为一元二次方程：展开左边得$$2x - 2 + x^2 = 2x^2 - 2x$$，移项化简得$$x^2 - 4x + 2 = 0$$； 第四步，解一元二次方程：用公式法求解，$$a=1$$，$$b=-4$$，$$c=2$$，$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 16 - 8 = 8$$，解得$$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$； 第五步，检验：将$$x = 2 + \sqrt{2}$$和$$x = 2 - \sqrt{2}$$代入最简公分母$$x(x-1)$$，分母均不为0，均为原方程的根； 结论：原分式方程的根为$$x_1 = 2 + \sqrt{2}$$，$$x_2 = 2 - \sqrt{2}$$。 2. 解分式方程：$$\frac{3}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{6}{x^2 - 1}$$ 解析：巩固分式方程去分母解法，重点考查最简公分母的确定（平方差公式因式分解）和增根检验。 第一步，因式分解分母：$$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$$，最简公分母为$$(x+1)(x-1)$$； 第二步，去分母：方程两边同乘$$(x+1)(x-1)$$，得$$3(x-1) + (x+1) = 6$$； 第三步，整理求解：展开左边得$$3x - 3 + x + 1 = 6$$，化简得$$4x = 8$$，解得$$x = 2$$； 第四步，检验：将$$x=2$$代入最简公分母$$(x+1)(x-1) = 3 \times 1 = 3 eq 0$$，是原方程的根； 结论：原分式方程的根为$$x = 2$$。 二、中档题（每题20分，共40分） 3. 解分式方程：$$\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x^2 - 4} = 1$$ 解析：进阶考点——分母因式分解、去分母后化为一元二次方程，重点关注增根的产生（使分母为0的根需舍去）。 第一步，因式分解分母：$$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$$，最简公分母为$$(x+2)(x-2)$$； 第二步，去分母：方程两边同乘$$(x+2)(x-2)$$，得$$x(x+2) - 1 = (x+2)(x-2)$$； 第三步，整理为一元二次方程：展开左边得$$x^2 + 2x - 1$$，右边得$$x^2 - 4$$，移项化简得$$2x + 3 = 0$$（此处虽为一元一次方程，属于可化为一元二次方程的分式方程的常见变式，重点练检验）； 第四步，求解：解得$$x = -\frac{3}{2}$$； 第五步，检验：将$$x = -\frac{3}{2}$$代入最简公分母，分母不为0，是原方程的根； 结论：原分式方程的根为$$x = -\frac{3}{2}$$。 4. 若分式方程$$\frac{ax}{x-1} + 1 = \frac{2}{x-1}$$有增根，求a的值。 解析：进阶应用——结合增根求参数值，核心是明确“增根是使分母为0的根，且增根满足去分母后的整式方程”。 第一步， 学习目标 1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点) 2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点) 回顾导入 解分式方程： 解：(x – 2) + 4x – 2(x + 2) = x2 – 4 x2 – 3x + 2 = 0 (x – 2)(x – 1) = 0 x = 1 或 x = 2 (舍去) 分式方程解完后一定要检验 经检验：x = 1 是原方程的根， x = 2 是增根. 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？ 例 【教材P42 例5】 知识点 可化为一元二次方程的分式方程 推进新课 x 总费用/元 人数 每人费用/元 原来 现在 1200 1200 x x + 2 等量关系： 原来这组学生每人分摊的费用 – 增加人数后该组学生每人分摊的费用 = 30 元 解 设原来这组学生有 x 人，那么每人分摊的费用是 元，增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是 元. 根据题意，得 方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得 x2 + 2x – 80 = 0 解方程，得 x1 = – 10，x2 = 8. 经检验，x1 = – 10，x2 = 8 都是原方程的根， 但 x1 = – 10 不合题意，所以 x = 8. 答：原来这组学生是 8 人. 解分式方程应用题时，所得的根，不仅要检验其是否为增根，还要考虑它是否符合题意. 练一练 某条高速铁路全长 720 千米，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快 60 千米，因此全程少用 2 小时，求高铁列车全程运行的平均速度． 解：设高铁列车全程运行的平均速度为 x 千米/小时， 根据题意，得 方程两边同乘以 x(x – 60)，整理，得 x2 – 60x – 21600 = 0 方程两边同乘以 x(x – 60)，整理，得 x2 – 60x – 21600 = 0 解方程，得 x1 = – 120，x2 = 180. 经检验，x1 = – 120，x2 = 180 都是原方程的根， 答：高铁列车全程运行的平均速度为 180 千米/小时. 但 x1 = – 120 不合题意，所以 x = 180. 随堂练习 1. 将分式方程 化为整式方程是（ ） 7x – 1 = 0 7x – 3 = 0 2x2 – 3x + 1 = 0 2x2 – 3x – 1 = 0 D 2. 端午节期间，某商家将每袋粽子降价 2 元销售. 元元发现，降价后用 240 元可以比降价前多购买 10 袋. 求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是 x 元，下面所列方程正确的是（ ） C x = 8 3. 2025 年 4 月 19 日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛. 这次机器人马拉松比赛里程约为 21 km，其中机器人甲每小时比机器人乙多跑 2 km，用时比机器人乙少 ，求机器人甲、乙的平均速度分别是多少？ 解：设机器人甲的平均速度为 x km/h，则机器人乙的平均速度为 (x – 2) km/h. 根据题意，得 方程两边同乘以 x(x – 2)，整理，得 x2 – 2x – 48 = 0 解方程，得 x1 = – 6，x2 = 8. 经检验，x1 = – 6，x2 = 8 都是原方程的根， 答：机器人甲的平均速度为 8 km/h，机器人乙的平均速度为 6 km/h. 但 x1 = – 6 不合题意，所以 x = 8，所以 x – 2 = 6. 根据题意，得 10．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双，经过一段时间销售发现，平均每天 售出的运动鞋数量y(双)与降低价格 x(元)之间存在如图所示的函数关系． 中考考法 12 (1)求出y与x的函数关系式． 中考考法 13 (2)公司希望平均每天获得的利润达到8 910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ 【解】由题意得(10x＋200)(100－x－60)＝8 910， 解得x1＝7, x2＝13. ∵优惠力度最大，∴x＝13. 当x＝13时，售价为100－13＝87(元)． 答：每双运动鞋的售价应该定为87元． 中考考法 14 (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9 000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 中考考法 15 【解】公司每天能获得9 000元的利润． ∵要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%， ∴100－60－x ≥ 60×50%，解得x≤10. 依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9 000， 解得x1＝x2＝10. ∴降价10元时，公司每天能获得9 000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 返回 中考考法 一元二次方程的应用 增长率 a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 降低率 a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量。 注意 1 与 x 位置不可调换 平均变化率问题 几何图形 其他类型问题 常见几何图形面积是等量关系 【解】设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)， 由图可知其函数图象经过点(0 , 200)和(10 , 300)， 将其代入y＝kx＋b，得 解得 ∴ y与x的函数关系式为y＝10x＋200. $