17.2.3公式法 课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 17.2.3公式法 第17章 一元二次方程及其应用 17.2.3 公式法练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题15分，共30分） 1. 用公式法解方程：$$x^2 - 8x + 12 = 0$$ 解析：公式法核心是利用一元二次方程求根公式$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$，步骤为先化为一般式，确定a、b、c的值，计算判别式$$\Delta = b^2 - 4ac$$，再代入公式求解。 第一步，化为一般式：方程已为一般式$$x^2 - 8x + 12 = 0$$，其中$$a = 1$$，$$b = -8$$，$$c = 12$$； 第二步，计算判别式：$$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16$$，因为$$\Delta > 0$$，方程有两个不相等的实数根； 第三步，代入公式求解：$$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{8 \pm 4}{2}$$，解得$$x_1 = 6$$，$$x_2 = 2$$。 2. 用公式法解方程：$$x^2 + 6x + 5 = 0$$ 解析：巩固公式法基础步骤，重点关注a、b、c的符号判断和判别式计算。 一般式：$$x^2 + 6x + 5 = 0$$，$$a = 1$$，$$b = 6$$，$$c = 5$$； 判别式：$$\Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times 5 = 36 - 20 = 16 > 0$$； 代入公式：$$x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{-6 \pm 4}{2}$$，解得$$x_1 = -1$$，$$x_2 = -5$$。 二、中档题（每题20分，共40分） 3. 用公式法解方程：$$3x^2 - 6x - 9 = 0$$ 解析：进阶考点——先化简方程，再确定a、b、c，同时强化判别式的应用。 第一步，化简方程：两边同时除以3，得$$x^2 - 2x - 3 = 0$$，此时$$a = 1$$，$$b = -2$$，$$c = -3$$； 第二步，计算判别式：$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$$； 第三步，代入公式：$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$$，解得$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -1$$。 4. 用公式法说明：不论x取何实数，代数式$$2x^2 - 4x + 5$$的值恒为正数。 解析：进阶应用——将代数式看作一元二次方程，利用判别式判断方程根的情况，进而确定代数式取值范围。 令$$y = 2x^2 - 4x + 5$$，即$$2x^2 - 4x + (5 - y) = 0$$； 因为x为实数，所以该一元二次方程有实数根的条件是判别式$$\Delta \geq 0$$，计算判别式：$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (5 - y) = 16 - 8(5 - y)$$； 若代数式恒为正数，则方程$$2x^2 - 4x + (5 - y) = 0$$无实数根，即$$\Delta < 0$$，解得$$16 - 8(5 - y) < 0$$，$$y > 3$$，故代数式恒为正数。 三、拓展题（30分） 5. 已知关于x的一元二次方程$$x^2 - 2x + k = 0$$有两个相等的实数根，求k的值及此时方程的根。 解析：进阶拓展——利用判别式判断根的情况求参数值，再代入公式求解方程。 第一步，确定a、b、c：$$a = 1$$，$$b = -2$$，$$c = k$$； 第二步，根据根的情况求k：方程有两个相等的实数根，故$$\Delta = 0$$，即$$(-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 0$$； 解得$$4 - 4k = 0$$，$$k = 1$$； 第三步，代入k的值求解方程：将$$k = 1$$代入原方程，得$$x^2 - 2x + 1 = 0$$，代入求根公式，$$x = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} = 1$$，故方程的两个相等实数根为$$x_1 = x_2 = 1$$。 总结：17.2.3公式法重点考查一元二次方程一般式、判别式（判断根的情况）、求根公式的应用，核心是准确确定a、b、c的值，熟练计算判别式，注意符号规范和公式代入的准确性。 学习目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点) 2. 会利用求根公式解简单系数的一元二次方程； (重点) 3. 经历探索求根公式的过程，培养逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯； 4. 通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高运算能力 . 回顾导入 用配方法解一元二次方程的步骤： 化二次项系数为 1. 1 2 移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边. 3 配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方. 4 开方，利用平方根的意义开平方. 5 解两个一元一次方程. 最关键的步骤 推进新课 知识点一 一元二次方程的求根公式 思 考 如何解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ？ 我们能否用配方法得出它的解呢？ 因为 a ≠ 0，所以把方程两边都除以 a，得 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 移项，得 配方，得 则 两边能直接开方吗？ 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 式子 b2 – 4ac 的值有以下三种情况： ① 当 b2 – 4ac < 0 时， x 取任何实数都不能使式子左边< 0，因此方程无实数根 ② 当 b2 – 4ac = 0 时， ③ 当 b2 – 4ac > 0 时， 可直接开平方，方程有实数根 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当 b2 – 4ac  0 时， ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 将方程①两边开平方，得 化简、整理，得 因此， 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac  0) 的求根公式： 知识点二 用公式法解一元二次方程 要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定 a，b，c 的值，然后，把 a，b，c 的值代入求根公式，就可以得出方程的实数根. 这种解法叫作公式法. 例 3 用公式法解下列方程： （1）2x2 + 7x – 4 = 0；（2） 分析：(1) 先确定二次项系数、一次项系数、常数项的值，并比较 b2 – 4ac 与 0 的大小. 解：（1）∵ a = 2，b = 7，c = – 4， ∴ b2 – 4ac = 72 – 4×2×(– 4) = 81 > 0. 代入求根公式，得 所以原方程的根是 （2） 分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入公式运算. 解：（2）将原方程化为一般形式，得 ∵ a = 1，b = ，c = 3， ∴ b2 – 4ac = – 4×1×3 = 0. 代入求根公式，得 所以原方程的根是 方程有两个相等的实数根(如 p)，应写为 x1 = x2 = p，而不是 x = p. 练一练 解关于 x 的方程： 2x2 – mx – n2 = 0. 【教材P28练习 T2】 解：∵ a = 2，b = – m，c = – n2， ∴ b2 – 4ac = (– m)2 – 4×2×(– n2) = m2 + 8n2  0. 代入求根公式，得 所以原方程的根是 例 4 解方程：x2 + x – 1 = 0.（精确到 0.001） 解：由题意，得 a = 1，b = 1，c = – 1， 代入求根公式，得 用计算器求得 所以原方程的根是 用配方法解一元二次方程的步骤： 将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 1 2 确定 a，b，c 的值. 3 求出 b2 – 4ac 的值，比较其与 0 的大小. 4 若 b2 – 4ac  0，则利用求根公式求解；若 b2 – 4ac < 0，则方程无实数根. 归 纳 练一练 用公式法解下列方程： 【教材P28练习 T1】 （1）3x2 + 5x – 2 = 0；（2）2x2 + 5x – 12 = 0； （3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）. 解：（1）∵ a = 3，b = 5，c = – 2， ∴ b2 – 4ac = 52 – 4×3×(– 2) = 49 > 0. 代入求根公式，得 所以原方程的根是 用公式法解下列方程： （1）3x2 + 5x – 2 = 0；（2）2x2 + 5x – 12 = 0； （2）∵ a = 2，b = 5，c = – 12， ∴ b2 – 4ac = 52 – 4×2×(– 12) = 121 > 0. 代入求根公式，得 所以原方程的根是 练一练 【教材P28练习 T1】 （3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）. 练一练 【教材P28练习 T1】 （3）∵ a = 1，b = ，c = 2， ∴ b2 – 4ac = – 4×1×2 = 0. 代入求根公式，得 所以原方程的根是 （3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）. 练一练 【教材P28练习 T1】 （4）∵ a = 1，b = – 3，c = – 1， ∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×1×(– 1) = 13 > 0. 代入求根公式，得 用计算器求得 所以原方程的根是 随堂练习 1. 利用求根公式求 5x2 + = 6x 的根时，a，b，c 的值分别是（ ） C A. 5， ，6 B. 5，6， C. 5，– 6， D. 5，– 6， 2. 用公式法解下列方程： （1）4x2 – 12x = 3；（2）3x2 – 6x – 2 = 0. ∵ a = 4，b = – 12，c = – 3， ∴ b2 – 4ac = (– 12)2 – 4×4×(– 3) = 192 > 0. 代入求根公式，得 所以原方程的根是 解：（1）将方程化为一般形式，得 4x2 – 12x – 3 = 0 返回 D 中考考法 21 C 返回 2．当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　　) A．2 B．－3 C．17 D．－1 中考考法 22 返回 D 中考考法 23 4．若一元二次方程ax2－6x＝1能用公式法求解，则a的取值范围为______________． a≥－9且a≠0 返回 中考考法 24 返回 D 中考考法 25 6. 解方程： (1)2x2－7x＋3＝0； 中考考法 26 (2)3x2－4x－1＝0； 中考考法 27 中考考法 课堂小结 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac  0) 的求根公式： 1．一元二次方程3x－1－2x2＝0在用求根公式x＝求解时，a，b，c的值分别是(　　) A．3，－1，－2 B．－2，－1，3 C．－2，3，1 D．－2，3，－1 3．若x＝是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则a＋b＋c＝(　　) A．－2 B．4 C．2 D．0 5．用公式法解方程4x2－12x＝3时，所得到的解正确的是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【解】∵2x2－7x＋3＝0，a＝2，b＝－7，c＝3， ∴b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25>0. ∴x＝＝＝.∴x1＝3，x2＝. 【解】∵3x2－4x－1＝0，a＝3，b＝－4，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28>0. ∴x＝＝＝＝.∴x1＝，x2＝. (3)2x2＋x＝3； 【解】将原方程化为一般形式，得2x2＋x－3＝0， 其中a＝2，b＝，c＝－3， ∴b2－4ac＝()2－4×2×(－3)＝27>0. ∴x＝＝＝. ∴x1＝，x2＝－. $