17.2.1 直接开平方法 课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 17.2.1 直接开平方法 第17章 一元二次方程及其应用 17.2.1 配方法练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题15分，共30分） 1. 用配方法解方程：$$x^2 - 6x + 5 = 0$$ 解析：配方法的核心是将一元二次方程化为$$(x+n)^2 = p$$（$$p \geq 0$$）的形式，再用直接开平方法求解。步骤如下： 第一步，移项：将常数项移到方程右边，得$$x^2 - 6x = -5$$； 第二步，配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-6，一半为-3，平方为9），得$$x^2 - 6x + 9 = -5 + 9$$； 第三步，化为完全平方式：左边化为$$(x-3)^2$$，右边计算得4，即$$(x-3)^2 = 4$$； 第四步，开方求解：开平方得$$x-3 = \pm 2$$，解得$$x_1 = 5$$，$$x_2 = 1$$。 2. 用配方法解方程：$$x^2 + 4x - 1 = 0$$ 解析：遵循配方法基本步骤，注意移项变号和配方时的常数项补充。 移项：$$x^2 + 4x = 1$$；配方：$$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$$，即$$(x+2)^2 = 5$$； 开方：$$x+2 = \pm \sqrt{5}$$，解得$$x_1 = -2 + \sqrt{5}$$，$$x_2 = -2 - \sqrt{5}$$。 二、中档题（每题20分，共40分） 3. 用配方法解方程：$$2x^2 - 8x + 3 = 0$$ 解析：当二次项系数不为1时，需先将二次项系数化为1，再进行配方。 第一步，化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得$$x^2 - 4x + \frac{3}{2} = 0$$； 第二步，移项：$$x^2 - 4x = -\frac{3}{2}$$； 第三步，配方：加一次项系数一半的平方（-4的一半为-2，平方为4），得$$x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$$； 第四步，求解：$$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$$，开方得$$x-2 = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$，解得$$x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$$，$$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$$。 4. 用配方法说明：不论x取何实数，代数式$$x^2 - 2x + 3$$的值恒为正数。 解析：通过配方将代数式化为$$a(x+m)^2 + n$$的形式，利用平方的非负性判断取值范围。 配方：$$x^2 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 + 2 = (x-1)^2 + 2$$； 因为$$(x-1)^2 \geq 0$$，所以$$(x-1)^2 + 2 \geq 2$$，即代数式的值恒大于等于2，故恒为正数。 三、拓展题（30分） 5. 用配方法求代数式$$-2x^2 + 4x - 1$$的最大值，并求出此时x的值。 解析：对于二次项系数为负数的代数式，配方后可利用平方的非负性求最大值。 第一步，提取二次项系数（注意符号）：$$-2(x^2 - 2x) - 1$$； 第二步，配方：括号内加一次项系数一半的平方（-2的一半为-1，平方为1），同时减去1以保持代数式值不变，得$$-2[(x^2 - 2x + 1) - 1] - 1$$； 第三步，化简：$$-2[(x-1)^2 - 1] - 1 = -2(x-1)^2 + 2 - 1 = -2(x-1)^2 + 1$$； 因为$$-2(x-1)^2 \leq 0$$，所以当$$(x-1)^2 = 0$$，即x=1时，代数式取得最大值1。 总结：配方法的关键是“补项”，二次项系数为1时直接补一次项系数一半的平方；不为1时，先化系数为1再补项，同时注意移项变号和平方的非负性应用。 回顾导入 1. 如果 x2 = a，则 x 叫作 a 的 . 2. 如果 x2 = a (a  0)，则 x = . 3. 如果 x2 = 16，则 x = . 4. 任何数都有平方根吗？ 平方根 ±4 负数没有平方根. 推进新课 知识点 用直接开平方法解一元二次方程 试一试 求 x2 = 9 中 x 的值. 开平方，得 x = ±3 所以开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根： x1 = 3，x2 = –3. 像这样的求一元二次方程的根的方法，叫作直接开平方法. 练一练 用直接开平方法解下列方程： （1）x2 = 36；（2）x2 – 0.81 = 0. 解：（1）开平方，得 x = ±6 所以原方程的根是 x1 = 6，x2 = – 6. （2）原方程可化为 x2 = 0.81 x = ±0.9 所以原方程的根是 x1 = 0.9，x2 = – 0.9. 开平方，得 对于一元二次方程 x2 = p： 归 纳 （1）当 p ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 ； （2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； （3）当 p ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有x2  0，所以方程无实数根. 例 1 用直接开平方法解下列方程： （1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5. 解：（1）两边同除以 3，得 x2 = 4. 开平方，得 x = ±2. 所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = – 2. 例 1 用直接开平方法解下列方程： （1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5. 可以怎 样解这个方程？ 由方程 x2 = 25 得 x = ±5. 依此类推：由 (x + 3)2 = 5 可得 例 1 用直接开平方法解下列方程： （1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5. 解：（2）开平方，得 所以原方程的根是 解方程 (x + 3)2 = 5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程，即得原方程的解. 练一练 用直接开平方法解下列方程： （1）3(x + 1)2 = 48；（2）2(x – 2)2 – 4 = 0. 解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 = 16 开平方，得 x + 1 = ±4 所以原方程的根是 x1 = 3，x2 = – 5. （2）原方程可化为 (x – 2)2 = 2 所以原方程的根是 开平方，得 对于一元二次方程 (x + n) 2 = p： 归 纳 （1）当 p ＞ 0 时，方程有两个不等的实数根 （2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n； （3）当 p ＜ 0 时，方程无实数根. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式. 1 3 2 开平方，将方程化为两个一元一次方程. 方法 解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 随堂练习 1. 一元二次方程 (x + 6)2 = 16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x + 6 = 4，则另一个一元一次方程是（ ） A. x – 6 = – 4 B. x – 6 = 4 C. x + 6 = 4 D. x + 6 = – 4 D 2. 方程 3x2 + 9 = 0 的根为（ ） A. 3 B. – 3 C. ±3 D. 无实数根 D 3. 若 8x2 – 16 = 0，则 x 的值是 . 返回 A 中考考法 14 返回 2．已知代数式2x2＋3与代数式2x2－4的值互为相反数，则x的值为________． 中考考法 15 返回 D 3．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　) A．m＞3　 B．m≥3 C．m＞－4　 D．m≥－4 中考考法 16 4．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是(　　)   A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 A 返回 中考考法 17 返回 5. 解方程： (1)(x－5)2＝16； 【解】(x－5)2＝16，x－5＝±4，x1＝1，x2＝9. 中考考法 18 【解】∵(x－4)2＝(5－2x)2，∴x－4＝±(5－2x)， 解得x1＝1，x2＝3. 6．解方程：(x－4)2＝(5－2x)2. 中考考法 19 返回 【点易错】用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(m≠0)的方程，当p≥0时，方程有两个实数根；当p＜0时，方程没有实数根． 中考考法 返回 16 7. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程(x－5)2－4＝0的一个根，则三角形的周长为________． 【点拨】由方程(x－5)2－4＝0，得x＝3或x＝7. 根据三角形的三边关系可知，三角形的三边长为3，6，7.故三角形的周长为3＋6＋7＝16. 中考考法 21 1或0 中考考法 22 课堂小结 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式. 开平方，将方程化为两个一元一次方程. 解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 1．若2是关于x的方程x2－c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是(　　) A．x＝－2 B．x＝ C．x＝2 D．x＝4 ± (y＋2)2－6＝0，(y＋2)2＝12，y＋2＝±2，y1＝2－2，y2＝－2－2. (2)(y＋2)2－6＝0. 8．[2025宿州月考]对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max＝1，则x＝________． $