专题1.2 30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 本同步练习通过“基础达标-能力提升-拓展培优”三层设计，实现三角函数值记忆、综合运算到跨知识应用的递进，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|30°/45°/60°三角函数值记忆、直接计算|选择填空聚焦单一知识点，解答题强化基本运算，夯实概念理解| |能力提升|三角函数与矩形、函数图像综合应用|结合尺规作图（如矩形中角平分线）、动点问题，提升推理能力与空间观念| |拓展培优|动态几何、跨知识整合（如折纸实践、托勒密定理证明）|通过折叠探究、函数关系图像分析，发展创新意识与模型意识|

30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．的值等于（    ） A．0 B．1 C． D． 2．的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 3．的值等于（   ） A． B． C． D． 4．的值等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接；②分别以点B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线，交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知、均为锐角，且满足，则等于（   ） A．75° B．60° C．45° D．105° 7．若规定，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 二、填空题 9．计算：______．（结果保留根号） 10．计算：_______． 11．计算： ________________． 12．计算：_____． 三、解答题 13．计算：． 14．计算：． 15．计算：． 能力提升 1、 选择题 1．如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交，于点E，F，连接和，若，，以下4个结论正确的个数是（   ） ①，        ②四边形是菱形， ③，    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，以为边作等边，当点在第一象限内时，下列图象中可以表示与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，，，定长线段的端点，分别是边，上的动点，是的中点，连接．设，，与之间的函数关系的部分图象如图2所示，已知，则图象最低点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD=，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2．则下列结论：①BD=8；②点P在运动过程中，PE+PF的值始终保持不变，为；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，则DM：AG=5：6．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2、 填空题 6．如图，是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为______． 7．如图，把一个长方形卡片放在每行宽度为的横线纸中，恰好四个顶点都在横线上，已知，则的长约为________（参考数据：）． 3、 解答题 8．先化简，再求值：，其中． 9．先化简，再求值：，其中x满足． 10．先化简再求值： ，其中 拓展培优 一、选择题 1．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．当时， D．当时， 2．如图，以矩形的顶点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，连接，交于点．若，，则的长为（ ） A．1 B． C． D． 3．在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且CE＝CF，连接AE，EF，AF．有以下结论： ①ABE≌ADF； ②若AE⊥BC，，则∠B＝60°； ③若连接BF和AC，则； ④若BE：EC＝a：1，则． 其中正确的结论为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为_____． 5．在菱形中，E，F 分别是，边上的中点，G 为上一点，若， ，则的长为_____ 三、解答题 6．综合与实践 折纸是一种常见的游戏，综合实践小组以“正方形的折叠”为主题开展活动． 操作判断 操作一：如图，将正方形纸片折叠，使得折痕，把纸片展平． 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，连接，把纸片展平． 操作三：连接并延长交于点，连接交于点，若． 根据以上操作，回答下列问题： (1)下列结论正确的是______． ①平分； ②； ③是等腰三角形． (2)如图1，当时，的度数为______，与的数量关系为______． (3)如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 (4)如图3，在矩形中，点在边上，把沿翻折得，点在边上，平分，若，请直接写出的值． 7．（1）假设你先学了相似三角形再学习的一次函数的理论．你已经确信相似三角形的各种判定定理是正确的．由此证明任何一次函数的图像都是直线． （2）托勒密定理：如图所示，，证明． 提示：在上合理地取一点E，连接，将拆分为两个三角形，这两个三角形分别和，相似． （3）构造几何图形证明：若α，β，都是锐角，则． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．的值等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 2．的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】将特殊角度的三角函数值，代入原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ，， ∴． 3．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式，化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 4．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入特殊角的三角函数值，再计算即可得到结果． 【详解】解：． 5．如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接；②分别以点B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线，交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由作图方法可得，垂直平分，则；由矩形的性质和勾股定理得到，则可推出，进而得到，证明，得到，再由直角三角形两锐角互余可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可得，， ∴垂直平分， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 6．已知、均为锐角，且满足，则等于（   ） A．75° B．60° C．45° D．105° 【答案】A 【分析】先求出与的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，计算两角和即可. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，， ∴． 7．若规定，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规定，，利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 8．在中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值与三角形内角和定理，先由平方的非负性求出的度数，再利用三角形内角和算出的度数，最后根据特殊角余弦值得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵，内角和为， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 二、填空题 9．计算：______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】解： ． 10．计算：_______． 【答案】0 【详解】解：． 11．计算： ________________． 【答案】 【分析】根据，的特殊锐角三角函数值，再代入原式，按照二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 12．计算：_____． 【答案】 【分析】先计算特殊角的三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 三、解答题 13．计算：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 14．计算：． 【答案】2 【分析】原式分别计算，，，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 15．计算：． 【答案】 【分析】先计算二次根式的乘法、特殊角的三角函数值、绝对值，再化简二次根式，然后进行加减运算即可求解． 【详解】解：原式． 能力提升 1、 选择题 1．如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交，于点E，F，连接和，若，，以下4个结论正确的个数是（   ） ①，        ②四边形是菱形， ③，    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设交于点，根据矩形的性质得到，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，即可判断②；在中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求出进而判断①；解直角三角形得到，即可判断③；然后菱形面积求出，即可判断④． 【详解】解：设交于点 四边形是矩形， ，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ，，，， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确； 在中，， ∴，故①错误； ∴， ∴ ∴，故③正确； ∴， 是的垂直平分线， ∵ ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的个数是3． 2．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．由题意知，，解得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，以为边作等边，当点在第一象限内时，下列图象中可以表示与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，在y轴上截取，作轴于点F，连接，，，作于P，由勾股定理求出，解直角三角形得则，进而推出是等边三角形，则，再证明得，进而可得，则，即，结合一次函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在y轴上截取，作轴于点F，连接，，，作于P， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又， 则下列图象中，可以表示与的函数关系的是选项A． 故选：A． 4．如图所示，在中，，，定长线段的端点，分别是边，上的动点，是的中点，连接．设，，与之间的函数关系的部分图象如图2所示，已知，则图象最低点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据特殊角的三角函数值判断出的度数，从而得到三边2的数量关系，再根据图象得到函数取最大值时即的最大值，求出、、，最后根据点的运动轨迹得出最小时的图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题中图可知，当点与点重合时，最大， 即最大，为． 如图所示， ，， ， ， ． 设，， 是的中点， ， ， 解得， ，． 当点与点重合时，如图所示， 此时最小，即最小，为， 是中点， ， 即． 故选：． 5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD=，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2．则下列结论：①BD=8；②点P在运动过程中，PE+PF的值始终保持不变，为；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，则DM：AG=5：6．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由特殊角的三角函数值可得出∠COD=60°，再结合矩形的性质可证△AOB和△COD是等边三角形，即得出BD=2OA=2AB=8，可判断①正确；连接OP，由勾股定理可求出BC=，再根据矩形的性质可求出S△AOD=S矩形ABCD=，最后由 S△AOD=S△AOP+S△DOP结合三角形面积公式即可求出PE+PF的长，可判断②正确；由，即得出PE2+PF2≥2PE•PF，从而由S1+S2=PE2+PF2≥(PE+PF)2=6，得出当且仅当PE=PF=时，等号成立，可判断③正确；由题意易证△APE∽△DPF，即得出．再由，得出 ，可判断④错误． 【详解】解：①∵sin∠COD=， ∴∠COD=60°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=OD=OB， ∴△AOB和△COD是等边三角形， ∴BD=2OA=2AB=8，故①正确； ②如图，连接OP， 由①知BD=8， ∴矩形ABCD的两边AB=4，BC=， ∴S矩形ABCD=AB•BC=， ∴S△AOD=S矩形ABCD=，OA=OD=4， ∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=OA(PE+PF)=×4×(PE+PF)=， ∴PE+PF=，故②正确； ③∵， ∴PE2+PF2≥2PE•PF， ∴S1+S2=PE2+PF2=( PE2+PF2+PE2+PF2)≥(PE2+PF2+2PE•PF)=(PE+PF)2=6， 当且仅当PE=PF=时，等号成立，故③正确； ④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF， ∴△APE∽△DPF， ∴． ∵， ∴，故④错误． 综上所述，其中正确的结论有①②③． 故选B． 2、 填空题 6．如图，是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为______． 【答案】 【分析】延长三角形玻璃破损的两条边，交于点，过点作于点，先在直角中，求出的长度，再在直角中，求出的长度即可． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点，过点作于点， ， ， 在直角中， ，，， ， ， ， ， ， 在直角中， ，，， ． 7．如图，把一个长方形卡片放在每行宽度为的横线纸中，恰好四个顶点都在横线上，已知，则的长约为________（参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，关键是熟练应用知识点解题；通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形． 【详解】解：如图分别过作于，于， ∴， ∵每行宽度为的横线纸， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 9．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】先根据整式乘法、分式混合运算规则化简原式，再通过三角函数值和零指数幂的运算求出的值，最后结合分式有意义的条件确定的取值并代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ∵， ， 由分式有意义得，，，， ∴， ， 当时，原式． 10．先化简再求值： ，其中 【答案】化简为，值为1 【分析】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值及负指数幂的计算，先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 拓展培优 一、选择题 1．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据图像可以得到时，，从而可以判断A；根据图像可以得到和的长度，从而可以判断B；根据函数图像可以求得在时，求得底边上的高，从而可以得到的面积，从而可以判断C；根据题意可以求得在时，点Q与点C重合，点P运动到边上，与D点相距，在中利用三角函数定义求解，从而判断D． 【详解】解：A、由图2可知，当时，，故A正确； B、由图像可知，，故B正确； C、作于点F，作于点M，如下图所示， 由图像可知，三角形的最大面积为40， ∴， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴的面积， 即，故C正确； D、当时，点Q与点C重合， 由图像可知，， 所以点P运动到边上，且，如下图所示， 在中，， ∴， ∴， ∴，故D错误； 故选D． 2．如图，以矩形的顶点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，连接，交于点．若，，则的长为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得AE为的角平分线，以BC为x轴，以BA为y轴建立平面直角坐标系，根据正切的概念及特殊角的三角函数值即可得出，进一步可得出点E的坐标，再根据矩形的性质即可得出点D、A、C的坐标，然后利用待定系数法求得直线DE和直线AC的解析式，将两解析式联立即可得出点F的坐标，过点F作交CD于点K，即可得出KF和DK的值，最后利用勾股定理即可求得DF的值． 【详解】解：由题意得AE为的角平分线 以BC为x轴，以BA为y轴建立平面直角坐标系 点E的坐标为 四边形ABCD为矩形 点D的坐标为，点A的坐标为，点C坐标为 设直线ED的解析式为，直线AC解析式为 将E、D、C、A坐标分别代入解析式，得 ， 解得：， 直线ED的解析式为，直线AC解析式为 将两解析式联立，得 解得： 点F的坐标为 过点F作交CD于点K ， 在中， （负值已舍去） 故选C． 3．在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且CE＝CF，连接AE，EF，AF．有以下结论： ①ABE≌ADF； ②若AE⊥BC，，则∠B＝60°； ③若连接BF和AC，则； ④若BE：EC＝a：1，则． 其中正确的结论为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据菱形的性质得AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，再证明BE＝DF，由全等三角形的判定定理得解； ②由条件可求出∠ACE＝60°，则∠B＝60°，可判断结论正确； ③根据S△BEF＝S△BCF﹣S△CEF，S△ACF＝S△BCF可判断结论； ④连接AC、BD，两线相交于点O，AC与EF相交于点P，由△CEF∽△CBD，得，可证得，则可判断④正确． 【详解】解：①∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA， ∵CE＝CF， ∴BC﹣EC＝DC﹣FC， ∴BE＝DF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）； 故①正确； ②如图1， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∵，CF＝CE， ∴， ∴∠ACE＝60°， ∴∠BCD＝2∠ACE＝120°， ∴∠B＝60°， 故②正确； ③如图2，连接BF和AC， ∵S△BEF＝S△BCF﹣S△CEF，S△ACF＝S△BCF， ∴S△BEF＝S△ACF﹣S△CEF， ∵S△ACF＝S△ACE， 故③不正确； ④如图3，连接AC、BD，AC与BD相交于点O，AC与EF相交于点P， ∵EC＝FC，CB＝CD， ∴， ∵∠ECF＝∠BCD， ∴△CEF∽△CBD， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 综上所述：①②④正确，③错误； 故选：C． 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、解直角三角形．通过，求得，再求得，，，依此类推，，代入求出的长，再根据坐标系得出点落在y轴的正半轴，即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理，∴， 同理，∴， ⋯， ∴依此类推，， ∴当时，， 由坐标系可得，点落在轴的正半轴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 5．在菱形中，E，F 分别是，边上的中点，G 为上一点，若， ，则的长为_____ 【答案】/ 【分析】连接，，，，，判定是等边三角形，是等边三角形，是等边三角形，过点F作于点H，利用勾股定理，面积的性质，正切函数解答即可． 【详解】解：连接，，，，， ∵菱形，，， ∴，，， ∵E，F 分别是，边上的中点， ∴， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ ； 过点F作于点H， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 6．综合与实践 折纸是一种常见的游戏，综合实践小组以“正方形的折叠”为主题开展活动． 操作判断 操作一：如图，将正方形纸片折叠，使得折痕，把纸片展平． 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，连接，把纸片展平． 操作三：连接并延长交于点，连接交于点，若． 根据以上操作，回答下列问题： (1)下列结论正确的是______． ①平分； ②； ③是等腰三角形． (2)如图1，当时，的度数为______，与的数量关系为______． (3)如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 (4)如图3，在矩形中，点在边上，把沿翻折得，点在边上，平分，若，请直接写出的值． 【答案】(1)①②③ (2)30； (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）由正方形与折叠性质得，，用证，得平分、，结合折叠得；由推等角得，进而即可判断①②③； （2）当时，，在中，，得；由得，结合，即可得解； （3）由（2）得，故；由折叠得，结合得，再根据，即可求解． （4）过点作于点，由折叠得，由得，设、；由角平分线性质与相似得，结合勾股定理得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形； 在中，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、， ∴，即； ∵， ∴； （3）解：猜想为，理由如下： 由（2）得，， ∴， ∵、， ∴，即； ∵， ∴； （4）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴， ∵，且， ∴， 设，则， 设， 过点作于点，如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、、， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴ ； ∵x、y为线段长度，均为正数， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 7．（1）假设你先学了相似三角形再学习的一次函数的理论．你已经确信相似三角形的各种判定定理是正确的．由此证明任何一次函数的图像都是直线． （2）托勒密定理：如图所示，，证明． 提示：在上合理地取一点E，连接，将拆分为两个三角形，这两个三角形分别和，相似． （3）构造几何图形证明：若α，β，都是锐角，则． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、解三角形、同弧对的圆周角相等，一次函数图象的性质，解题关键是构造特殊的三角形，证明三角形相似． （1）需结合相似三角形判定与一次函数定义，通过构造坐标系下相似三角形及任意点满足函数关系来证明一次函数的图像上任意三点间都在一条直线上， （2）在上取一点，使，容易证明， ，可得，，由两式相加即可得出结论； （3）构造钝角， ，，利用三角形外角的性质可得，利用通过面积法和三角函数的几何意义求解即可． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为，其中，在图象上依次取、、三点， 当时，设它们坐标分别为，、，， 则，，，， 连接、，过点作轴，，垂足为，，垂足为， ∴，，， ， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴、、三点在同一直线上， 当时，同理可证、、三点在同一直线上， ∴任何一次函数的图像都是直线． （2）在上取一点，使， ∴， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）如图，构造钝角， ，，、是的高， 设，则，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $