2026年中考数学二轮复习专题：代数几何综合 课件

该初中数学中考复习课件聚焦代数几何综合这一中考核心考点，严格对接中考要求，按方程与几何、函数与几何等四大类型梳理考点，分析压轴题权重，归纳勾股定理应用、等腰三角形分类讨论等常考题型，突出备考针对性。 课件亮点在于“典例精讲+通性通法+变式训练”模式，如类型一通过Rt△运动问题，示范用方程思想列比例式、分类讨论等腰三角形，培养学生推理能力与模型意识。变式训练强化解题技巧，助力学生冲刺高分，为教师提供系统复习指导。

专题三 代数几何 【中考二轮复习专题】 专题 代数几何综合 01 考前概览 02 方法点拨 03 重点题型 典例精讲.通性通法. 变式训练 目录 图片替换区 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现． 解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程(不等式)的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 考前概览 3 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化． 方法点拨 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．常以图形相似与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角函数等知识，以证明、计算等题型出现． 解几何综合题应注意以下几点： （1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3） 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4） 注意灵活地运用数学的思想和方法． 方法点拨 例1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒． （1）当t为何值时，PQ∥BC？ （2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式； （3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出 此时t的值；若不能，请说明理由； （4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果） B P E A C Q 类型一 方程与几何的综合 重点题型 （1）当t为何值时，PQ∥BC？ 点拨：先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可； 解：(1)Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm， ∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t， ∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC， ∴ ∴ ，解得 ∴当t为时，PQ∥BC. B P E A C Q 类型一 方程与几何的综合 重点题型 （2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式； 点拨：正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式； 解： ∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ= ∴ 即y关于t的函数关系式 B P E A C Q 类型一 方程与几何的综合 重点题型 （3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； 点拨：根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可； 解：四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下： 由题意，得 整理，得t2﹣10t+12=0， 解得，（不合题意舍去）． 故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为. B P E A C Q 类型一 方程与几何的综合 重点题型 （4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果） 点拨：△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ； ②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程， 解方程即可． 解：（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=； ②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×解得 ③如果QA=QE，那么2t×=5-t，解得 故当t为时，△AEQ为等腰三角形． 类型一 方程与几何的综合 重点题型 总结：本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键． 类型一 方程与几何的综合 重点题型 类型一 方程与几何的综合 变式：如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)，将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD)，得到对应线段CF． （1）求证：BE=DF； （2）当t=____秒时，DF的长度 有最小值，最小值等于____； （3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？ 图1 图2 重点题型 解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE， ∴∠DCF=∠BCE， ∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC， 在△DCF和△BCE中， （1）求证：BE=DF； ∴△DCF≌△BCE（SAS）， ∴DF=BE. 类型一 方程与几何的综合 重点题型 （2）当t=____秒时，DF的长度有最小值，最小值等于____； 解：如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小， 在Rt△ABE′中，AB=， tan∠ABC=tan∠BAE′=2， ∴设AE′=x，则BE′=2x， ∴AB=x= 则AE′=6 ∴DE′=即t=有最小值DF=BE′=12. 类型一 方程与几何的综合 E′ 重点题型 （3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？ 解：∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°， ①当∠EQP=90°时，如图2①， ∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC， ∴∠CBD=∠CEF， ∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°， ∵AB=CD=，tan∠ABC=tan∠ADC=2， ∴DE=6，∴t=6秒； 类型一 方程与几何的综合 图2 ① 重点题型 解：当∠EPQ=90°时，如图2②， ∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD， ∴EC与AC重合， ∴DE=， ∴t=秒. 类型一 方程与几何的综合 （3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？ B F D A(E) 图2 ② 重点题型 类型二 函数与几何的综合 例2 如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)、B(1，－5)、D(4，0)． (1)求c、b（可以用含t的代数式表示）； (2)当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的 运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？ 若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值. (3)在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 重点题型 解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c， 得c=0， 再把x=t，y=0代入y=x2+bx， 得t2+bt=0， ∵t＞0， ∴b=-t； (1)求c、b（可以用含t的代数式表示）； 点拨：由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b； 类型二 函数与几何的综合 重点题型 (2)当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； 解：（2）不变． ∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1， ∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t）， ∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，∴AP=t-1， ∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°. 点拨：当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数； 类型二 函数与几何的综合 重点题型 (3)在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 解：①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1， 即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，解得； ③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t的取值范围是： 类型二 函数与几何的综合 重点题型 总结：考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用． 类型二 函数与几何的综合 重点题型 例3 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点．   （1）求抛物线的函数表达式；   （2）若点M是抛物线对称轴上一点， 试求AM+OM的最小值；   （3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三 动态几何中的函数问题 重点题型 （1）求抛物线的函数表达式； 点拨：（1）把A、B、O的坐标代入到y=ax2+bx+c得到方程组，求出方程组的解即可； 解：（1）由OB=2，可知B（2，0）， 将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得 解得： ∴抛物线的函数表达式为 类型三 动态几何中的函数问题 重点题型 (2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值； 点拨：根据对称求出点O关于对称轴的对称点B，连接AB，根据勾股定理求出AB的长，就可得到AM+OM的最小值. 抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的 垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求． ∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB, 作AC⊥x轴，垂足为C，则|AC|=4，|BC|=4， ∴AB=，即MO+MA的最小值为. 解： 可得， 类型三 动态几何中的函数问题 重点题型 (3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 点拨：①若OB∥AP，根据点A与点P关于直线x=1对称，由A(-2，-4)，得出P的坐标； 解：①如图1，若OB∥AP， 此时点A与点P关于直线x=1对称， 由A（-2，-4），得P（4，-4）， 则得梯形OAPB．        类型三 动态几何中的函数问题 重点题型 点拨：②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）求出直线BP的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可； 解：②如图2，若OA∥BP， 设直线OA的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x． 设直线BP的表达式为y=2x+m， 由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4， ∴直线BP的表达式为y=2x-4. 类型三 动态几何中的函数问题 (3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 重点题型 解：②由 解得x1=-4，x2=2（不合题意，舍去）, 当x=-4时，y=-12， ∴点P（-4，-12），则得梯形OAPB． 类型三 动态几何中的函数问题 (3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 点拨：②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）求出直线BP的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可； 重点题型 点拨：③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可. 解：③如图3，若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m， 则 解得 ∴AB的表达式为y=x-2． ∵AB∥OP， ∴直线OP的表达式为y=x． 类型三 动态几何中的函数问题 (3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 重点题型 解： 由，解得x=0，(不合题意，舍去) 此时点P不存在. 综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12），使得 以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形. 点拨：③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可. 类型三 动态几何中的函数问题 (3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 重点题型 总结：本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键． 类型三 动态几何中的函数问题 重点题型 变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 的图象与y轴交于C(0,3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3,0). （1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标； （2）点P是第二象限内抛物线上的一动点， 问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大 面积是多少？并求出此时点P的坐标. 类型三 动态几何中的函数问题 重点题型 （1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标； 解：（1）由题意，得： 解得： 所以，二次函数的解析式为： ， 顶点D的坐标为（-1，4）. 类型三 动态几何中的函数问题 重点题型 （2）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标. ∴ 解：如图，连接OP，设P点的坐标为（m,n) ∵点P在抛物线上，∴ ∵ ，∴当 ， 的面积有最大值 ∴当点P的坐标为 ， △CPB的面积有最大值，且最大值为 类型三 动态几何中的函数问题 重点题型 例4 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P， 且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形， 求该抛物线的解析式； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 类型四 直角坐标系中的几何问题 重点题型 （1）直接写出点E、F的坐标； 点拨：（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标； 解：(1)由轴对称的性质，∠FBD=∠ABD，FB=AB， 所以四边形ABFD是正方形， 由OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点 所以DF=AB=2，AE=1 所以E(3,1)；F(1,2). 类型四 直角坐标系中的几何问题 重点题型 (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； 点拨：已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点； 解：连接EF，在Rt△EBF中,∠B=90°， ∴EF= 设点P的坐标为(0,n)，n＞0， ∵顶点F(1,2)， ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0)． 类型四 直角坐标系中的几何问题 重点题型 解：①如图1，当EF=PF时，EF2=PF2， ∴12+(n-2)2=5， 解得n1=0(舍去)，n2=4. ∴P(0，4)， ∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2． 类型四 直角坐标系中的几何问题 (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； y 重点题型 解：②如图2，当EP=FP时，EP2=FP2， ∴(2-n)2+1=(1-n)2+9， 解得(舍去) ③当EP=FP时，EP=＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2． 类型四 直角坐标系中的几何问题 (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； 重点题型 例4 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 点拨：求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 类型四 直角坐标系中的几何问题 重点题型 解：(3)存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小． 如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连接NF、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=. 又∵EF=， ∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+. 类型四 直角坐标系中的几何问题 重点题型 总结：本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 类型四 直角坐标系中的几何问题 重点题型 $