09 专题九 几何探究综合题 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦几何探究综合题核心考点，覆盖旋转探究、折叠探究、类比拓展三大类型。依据济南命题研究，旋转和折叠6年5考，类比拓展6年1考，精准对接中考说明，分析考点权重，归纳判断线段关系、求角度等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧点拨”模式，精选2023 - 2025济南中考及模考题，如旋转问题用倍长中线法构造全等，折叠问题结合勾股定理列方程，培养学生几何直观和推理能力。助力学生掌握解题技巧提升得分率，为教师提供系统复习框架，有效指导中考冲刺教学。

1 2 3 目 录 济南命题研究 专题分类突破 4 类型 考频 命题趋势 旋转探究 6年5考 1.考什么 几何图形的探究常以解答题的形式出现,设问角度为判断线段之间的关系、求角的度数等,与全等三角形、相似三角形、特殊三角形、四边形的性质相结合考查. 2.怎么考 几何图形探究题多以三角形、四边形为主,结合平移、折叠、旋转等变化.解决四边形问题时通常转化为三角形问题进行解答 折叠探究 6年0考 类比、拓展探究 6年1考 5 类型1　旋转探究 1.★★(2025·济南章丘二模)在初中数学的学习过程当中,我们掌握了许多关于中点的基础知识,比如特殊三角形的中线的性质、利用倍长中线法构造全等、中位线定理等,也积累了很多解决中点问题的活动经验,灵活运用这些经验和技能,可以帮助我们解决很多问题. 如图1,E是正方形ABCD的边CD上的点,以CE为边,在正方形ABCD右侧作正方形CEFG,连接AF,点M为线段AF的中点,连接BM,GM. 6 7 (1)猜想:图1中线段BM和线段GM的位置关系为____________,数量关系为____________.(直接写出结论,无须证明)  (2)以点C为旋转中心,将正方形CEFG顺时针旋转,旋转角为α(0<α<360°),则(1)中结论是否仍然成立?若成立,以图2中情形为例证明你的结论;若不成立,请说明理由. (3)若正方形ABCD的边长为2,正方形CEFG的边长为1,则在正方形CEFG旋转一周的过程中,当G,F,A三点共线时,直接写出BM的长度. 8 解:(1)BM⊥GM　BM=GM 提示:如图,连接CA,CM,CF. ∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形, ∴∠ACD=∠FCD=45°,AB=CB,CG=GF, ∠ABC=∠CGF=90°, ∴∠ACF=90°. ∵点M为线段AF的中点,∴AM=CM=FM. ∵BM=BM,∴△ABM≌△CBM(SSS), ∴∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°. 9 ∵GM=GM,CM=FM,CG=FG, ∴△CGM≌△FGM(SSS), ∴∠CGM=∠FGM=∠CGF=45°, ∴∠CBM=∠CGM=45°,∴∠BMG=90°, ∴BM⊥GM,BM=GM. 10 (2)(1)中的结论仍然成立. 证明:如图,作FI∥CD,与BM的延长线交于点I,连接CF,BG,GI, ∴∠ABM=∠FIM, ∠DCF+∠IFC=180°. ∵∠AMB=∠FMI, ∠ABM=∠FIM,AM=FM, ∴△ABM≌△FIM(AAS), ∴AB=FI,BM=IM=BI. 11 ∵AB=BC,∴BC=FI. ∵四边形CEFG是正方形,∴∠GCF=∠CFG=45°, ∴∠IFG=∠IFC+45°. ∵∠BCG=360°-∠BCD-∠DCF-∠GCF=360°-90°-(180°-∠IFC)-45°=∠IFC+45°, ∴∠BCG=∠IFG. ∵CG=FG,∠BCG=∠IFG,BC=IF, 12 ∴△BCG≌△IFG(SAS),∴BG=IG,∠BGC=∠IGF, ∴∠BGC+∠CGI=∠IGF+∠CGI=90°, ∴∠BGI=90°,∴△BGI为等腰直角三角形, ∴BM⊥GM,GM=BI=BM. 13 (3)BM的长度为或. 提示:①如图,当点G在线段AF上时,连接AC. ∵正方形ABCD的边长为2,∠D=90°, ∴AC2=AD2+DC2=8. ∵CG=1, ∴在Rt△ACG中,AG==, ∴GM=FM-FG=AF-FG=(AG+FG)-FG=. 由(1)(2)知BM=GM,∴BM=. 14 ②如图,当点G在线段AF的延长线上时,连接AC. ∵正方形ABCD的边长为2,∠D=90°, ∴AC2=AD2+DC2=8. ∵CG=1, ∴在Rt△ACG中,AG==, ∴GM=FM+FG=AF+FG=(AG-FG)+FG=. 由(1)(2)知BM=GM,∴BM=. 综上所述,当G,F,A三点共线时,BM的长度为或. 15 2.★★★(2025·济南)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,点O为AC的中点.在Rt△DBE中,∠DBE=90°,DB=3,BE=4,连接EO并延长到点F,使OF=EO,连接AF. 16 初步感知: (1)如图1,当点D,E分别在AB,BC上时,请完成填空: ∠DAF=_________°;=_________.  深入探究: (2)如图2,若将图1中的△DBE绕点B按逆时针 方向旋转一定的角度α(0°<α<90°),连接 AD,CE,AE,CF. ①(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由. ②当四边形AECF的面积最小时,求线段AD的长. 17 解:(1)90　 (2)①成立.证明如下: ∵=,==,∴=. 由旋转可得∠ABD=∠CBE=α, ∴△ABD∽△CBE,∴=,∠BAD=∠BCE. ∵点O为AC的中点,∴OA=CO. 18 又∵OF=OE,∠AOF=∠COE, ∴△AOF≌△COE(SAS), ∴AF=CE,∠OAF=∠OCE,∴=, ∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=∠BCE+∠BAC+∠OCE=90°. 19 ②如图,过点E作EH⊥AC于点H. ∵∠OAF=∠OCE,∴AF∥CE. ∵AF=CE, ∴四边形AECF是平行四边形, ∴▱AECF的面积是△ACE的面积的2倍, ∴当△ACE的面积最小时,▱AECF的面积最小. ∵AB=6,BC=8,∴AC==10. 20 当B,E,H三点共线时,EH最小,即▱AECF的面积最小. 此时,BH==, ∴EH=-4=,HC==, ∴AF=CE==, ∴AD=AF=×=. 21 3.★★★(2023·济南)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E在边BC上,将射线AE绕点A逆时针旋转 90°,交CD的延长线于点G,以线段AE, AG为邻边作矩形AEFG. (1)如图1,连接BD,求∠BDC的度数和 的值; (2)如图2,当点F在射线BD上时,求线段BE的长; (3)如图3,当EA=EC时,在平面内有一动点P, 满足PE=EF,连接PA,PC,求PA+PC的最小值. 22 解:(1)∵矩形ABCD中,AB=2,AD=2, ∴∠C=90°,CD=AB=2,BC=AD=2, ∴tan∠BDC==,∴∠BDC=60°. 由矩形ABCD和矩形AEFG可得∠ABE=∠BAD=∠EAG=∠ADG=90°, ∴∠EAG-∠EAD=∠BAD-∠EAD,即∠DAG=∠BAE, ∴△ADG∽△ABE,∴==. 23 (2)如图1,过点F作FM⊥CG于点M. 由矩形ABCD和矩形AEFG可得 ∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°,AE=GF, ∴∠BAE=∠DAG=∠CGF, ∠ABE=∠GMF=90°, ∴△ABE≌△GMF(AAS), ∴BE=MF,GM=AB=2. ∵∠MDF=∠BDC=60°,FM⊥CG, 图1 24 ∴tan∠MDF=tan 60°==, ∴MF=MD. 设DM=x,则BE=MF=x,∴DG=GM+MD=2+x. ∵=,∴=,解得x=1,∴BE=x=. 25 (3)如图2,连接AC. ∵矩形ABCD中,AD=BC=2, AB=2, ∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4. ∵EA=EC,∴∠EAC=∠ACE=30°, ∴∠AEC=120°, ∴∠ACG=∠GAC=90°-30°=60°, ∴△AGC是等边三角形,AG=AC=4, ∴PE=EF=AG=4. 图2 26 将△AEP绕点E顺时针旋转120°,EA与EC重合,得到△CEP', ∴PA=P'C,∠PEP'=120°,EP'=EP=4, ∴PP'=PE=4, ∴当P,C,P'三点共线时,PA+PC的值最小,此时PA+PC= PP'=4. 27 4.★★★(2024·济南历下二模)在△ABC中,点D是线段AB上一动点,连接CD.将线段CD绕点C按逆时针方向旋转至CE,记旋转角为α,连接AE.取AE的中点为G,连接CG. 【特例感知】 (1)如图1,已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC,∠ACB=90°,α=90°,延长AC至点F,使AC=CF,连接EF.请直接写出EF与BD的数量关系__________,CG与BD的数量关系__________.  28 【类比迁移】 (2)如图2,已知△ABC是等腰三角形,AC=BC,∠ACB=120°,α=60°. 探究线段CG与BD的数量关系,并证明你的结论. 【拓展应用】 (3)如图3,已知在△ABC中,BC=13,AC=7,∠ABC=30°,∠ACB=180°-α, 在点D的运动过程中,求线段CG长度的最小值. 29 解:(1)EF=BD　CG=BD 提示:∵AC=BC,AC=CF,∴BC=CF. ∵∠BCF=∠ACB=∠DCE=90°,∴∠FCE=∠BCD. ∵CD=CE,∴△FCE≌△BCD(SAS),∴EF=BD. ∵点G是AE的中点,AC=CF, ∴CG=EF,∴CG=BD. 30 (2)CG=BD. 证明:如图,延长AC至点F, 使得 CF=AC,连接EF. ∵∠ACB=120°,∴∠BCF=60°. ∵AC=BC,CF=AC,∴BC=CF.. 31 由旋转得CD=CE,∠DCE=60°, ∴∠BCF=∠DCE, ∴∠BCF-∠BCE=∠DCE-∠BCE, ∴∠DCB=∠ECF, ∴△DCB≌△ECF(SAS),∴BD=EF. ∵点G是AE的中点,∴AG=GE. 又∵AC=CF,∴CG=EF,∴CG=BD 32 (3)如图,在线段CB上截取CA'=CA,连接DA',延长AC至点F,使得CF=AC,连接EF, ∴CA'=CF,∠A'CF=180°- ∠ACB=180°-(180°-α)=α. ∴∠A'CF=∠DCE, ∴∠A'CF-∠A'CE=∠DCE-∠A'CE,∴∠DCA'=∠ECF. ∵CD=CE,CA'=CF, ∴△DCA'≌△ECF(SAS), ∴DA'=EF. 33 ∵AG=GE,AC=CF, ∴CG=EF=A'D. ∵点D在线段AB上运动, ∴当A'D⊥AB时,A'D最短, 此时CG取得最小值. 如图.∵BC=13, AC=7, ∠ABC=30°,∴A'B=6, ∴A'D=A'B=3, ∴CG=A'D=. 34 类型2　折叠探究 5.★★(2024·济宁)综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,矩形ABCD 中,AB>AD 且AB 足够长)进行探究活动. 35 【动手操作】 如图2,第一步,沿点 A 所在直线折叠,使点 D 落在AB上的点E 处,折痕为AF,连接EF,把纸片展平. 第二步,把四边形 AEFD 折叠,使点 A 与点 E 重合,点D与点F 重合,折痕为GH,再把纸片展平. 第三步,连接GF. 36 【探究发现】 根据以上操作,甲、乙两位同学分别写出了一个结论. 甲同学的结论:四边形AEFD 是正方形. 乙同学的结论:tan∠AFG=. (1)请分别判断甲、乙两位同学的结论是否正确.若正确,写出证明过程;若不正确,请说明理由. 37 【继续探究】 在上面操作的基础上,丙同学继续操作. 如图3,第四步,沿点G所在直线折叠,使点 F 落在AB 上的点M处,折痕为GP,连接PM,把纸片展平. 第五步,连接FM交GP 于点 N. 根据以上操作,丁同学写出了一个正确结论: FN·AM=GN·AD. (2)请证明这个结论. 38 (1)解:甲、乙两位同学的结论都正确. 证明:甲同学:由折叠可知△ADF≌△AEF,AD=AE, DF=EF. ∵AD=EF,∴AD=AE=EF=DF, ∴四边形AEFD是菱形. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°, ∴菱形AEFD是正方形. 39 乙同学:如图,过点G作GQ⊥AF于点Q. 由折叠知点H,G分别是DF,AE的中点,∠EAF=45°, 设QG=AQ=x. 在Rt△AGQ中,AG=x.在Rt△AEF中,AE=2x, ∴AF=4x,∴QF=AF-AQ=3x,∴tan∠AFG==. 40 (2)证明:如图,连接DM. 由折叠可知△GFP≌△GMP, FG=MG,∠FGP=∠MGP. ∵GN=GN, ∴△FGN≌△MGN(SAS), ∴∠FNG=∠MNG=90°. 由(1)知FE=2x,GE=x, ∴GM=FG==x, 41 ∴tan∠DMA==. ∵FP∥GM,∴∠FPG=∠PGM,∴∠FPG=∠FGP, ∴FP=FG=x,∴HP=x+x, ∴tan∠FGP==tan∠FPG==, ∴=,∴FN·AM=GN·AD. 42 6.★★★综合与探究 【问题情境】 如图1,小美将矩形纸片ABCD折叠,使点B落 在射线BD上,点B的对应点记为B',折痕与边 AD,BC分别交于点E,F. 【活动猜想】 (1)如图2,当点B'与点D重合时,请判断四边形 BEDF的形状并证明. 【问题解决】 (2)如图3,在矩形纸片ABCD中,若边AB=8,BC=8,AC与BD交于点O. ①请判断A'B'与对角线AC的位置关系,并说明理由; ②当B'D=4时,请求出此时AE的长. 43 解:(1)四边形BEDF是菱形.证明: ∵将矩形纸片ABCD折叠,点B'与点D重合, ∴BE=DE,BF=DF,∠BEF=∠DEF. ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∴∠BFE=∠DEF,∴∠BFE=∠BEF, ∴BE=BF,∴BE=DE=BF=DF,∴四边形BEDF是菱形. 44 (2)①A'B'∥AC.理由如下: ∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OC=OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°. ∵AB=8,BC=8, ∴在Rt△ABC中,由勾股定理得 AC===16, ∴AB=AC,∴∠ACB=30°,∴∠CAB=60°, ∴△AOB是等边三角形,∴∠OBA=∠AOB=60°, ∴∠CBO=90°-∠OBA=30°. 45 由折叠的性质得∠A'B'F=∠ABF=90°,FB=FB', ∴∠FB'B=∠CBO=30°, ∴∠A'B'B=90°-30°=60°, ∴∠AOB=∠A'B'B=60°,∴A'B'∥AC. 46 ②如图,点B'在线段BD上时,设A'B'与AD交于点G. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=90°. 由①知∠ACB=30°,四边形ABCD是矩形,∴∠DAO=30°. ∵A'B'∥AC, ∴∠A'GE=∠DAO=30°. 又∵∠A'=∠BAE=90°, ∴GE=2A'E. 47 ∵BD=AC=16,∴OD=BD=8. 当B'D=4时,DB'=OB'. ∵A'B'∥AC,∴AG=DG=AD=4, ∴AE+GE=4,∴3AE=3A'E=4,解得A'E=AE=. 如图,点B'在线段BD的延长线上时,设直线A'B'与直线AD交于点H. ∵A'B'∥AC, ∴△B'DH∽△ODA, 48 ∴=, 即=, ∴HD=4, ∴AH=HD+AD=12. 同理可得HE=2A'E,3AE=3A'E=12,解得A'E=AE=4. 综上所述,AE=或4. 49 类型3　类比、拓展探究 7.★★★(2024·济南)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后,对三角形的相似进行了深入研究. 拓展探究 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D. 50 (1)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB.理由如下: ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°. ∵CD⊥AB, ∴∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°, ∴∠B=________.  ∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ACD, ∴=________,  ∴AC2=AD·AB. 请完成填空:①_________;②_________.  51 (2)如图2,F为线段CD上一点,连接AF并延长至点E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时,请判断△AEB的形状,并说明理由. 学以致用 (3)如图3,△ABC是直角三角形, ∠ACB=90°,AC=2,BC=2,平面 内一点D,满足AD=AC,连接CD并 延长至点E,且∠CEB=∠CBD,当线 段BE的长度取得最小值时,求线段 CE的长. 52 解:(1)①∠ACD　② (2)△AEB是直角三角形. 理由如下:∵∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC, ∴△ACF∽△AEC,∴=,∴AC2=AF·AE. 由(1)得 AC2=AD·AB, ∴AF·AE=AD·AB,∴=. ∵∠FAD=∠BAE,∴△AFD∽△ABE, ∴∠AEB=∠ADF=90°,∴△AEB是直角三角形. 53 (3)∵∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD,∴△CEB∽△CBD, ∴=,∴CD·CE=CB2=(2)2=24. 如图,以点A为圆心,2为半径作☉A,则点C,D都在☉A上,延长CA至点E0, 使CE0=6,交☉A于点D0,则CD0=4,∠CDD0=90°, ∴CD0·CE0=24=CD·CE,则= . ∵∠ECE0=∠D0CD,∴△ECE0∽△D0CD, ∴∠CE0E=∠CDD0=90°, ∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动. 54 过点B作BE'⊥E0E,垂足为E',BE'即为最短的BE,连接CE'. 易知四边形CE0E'B是矩形, ∴E0E'=BC=2. ∵在Rt△CE0E'中, CE'==2, ∴当线段BE取得最小值时,线段CE的长为2. 55 8.★★★(2025·济南天桥二模)“联想”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关“联想”就有很多…… 【问题提出】 (1)如图1,PC是△PAB的角平分线,求证:=. 请写出完整的证明过程,以下解决问题的思路仅供参考. 思路1:联想“平行线、等腰三角形”,过点B作BD∥PA,交PC的延长线于点D,利用“三角形相似”. 思路2:联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”,过点C分别作CD⊥PA交PA于点D,作CE⊥PB交PB于点E,利用“等面积法”. 56 【理解应用】 (2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3, AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,求BD 的长. 【深度思考】 (3)如图3,在△ABC中,AB=6,AC=4,AD为 ∠BAC的平分线.AD的垂直平分线EF交 BC的延长线于点F,连接AF,当BD=3时,求AF的长. 【拓展升华】 (4)如图4,AD是△ABC的角平分线.若BC=4,BD=2CD,请直接写出△ABC的面积最大值. 57 解:(1)证明:选择思路1. 如图,过点B作BD∥AP交PC的延长线于点D. ∵BD∥AP,∴∠APC=∠D. 又∵∠ACP=∠BCD, ∴△ACP∽△BCD, ∴=. ∵PC是△PAB的角平分线, ∴∠APC=∠BPC, ∴∠BPC=∠D, ∴PB=BD,∴=. 58 (选择思路2. 如图,过点C分别作CD⊥PA交PA于点D,作CE⊥PB交PB于点E,过点P作PF⊥AB于点F. ∵PC是△PAB的角平分线, ∴CD=CE, ∴S△PAC=PA·CD, S△PBC=PB·CE, 59 S△PAC=AC·PF,S△PBC=BC·PF, ∴BC·PF=PB·CE,PA·CD=AC·PF, ∴CD=CE=,∴PA·=AC·PF, ∴=.) 60 (2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4, ∴BC===5. 由AD平分∠BAC交BC于点D, 根据(1)中的结论可得 =,∴=, 解得BD=. 经检验,BD=是方程的解,∴BD=. 61 (3)∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC. 根据(1)中结论可得 =. ∵在△ABC中,AB=6,AC=4,BD=3,∴=,∴CD=2. ∵AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F,∴AF=DF, ∴∠FAD=∠FDA. ∵∠FAD=∠FAC+∠DAC,∠FDA=∠B+∠BAD, 62 ∴∠B=∠FAC. ∵∠AFB=∠CFA,∴△FBA∽△FAC, ∴=,∴=,∴AF=6. 经检验,AF=6是方程的解,∴AF=6. (4). 63 64 $