2025--2026学年中考数学二轮复习专题：图形的几何变化 课件

该初中数学中考复习课件聚焦图形几何变化核心考点，对接中考对空间想象、逻辑推理能力的考查要求，通过知识结构表梳理平移、旋转等性质，按基础（识别、性质应用）和综合（与全等/函数结合）分类典例，分析近三年考点权重，归纳折叠、坐标变换等常考题型。 课件亮点在于“真题解析+素养培养”模式，如例5正方形折叠问题，通过全等三角形和面积法突破线段计算，培养几何直观与推理能力。总结构造基本图形、利用不变量等技巧，助力学生掌握动态问题解题方法，教师可依此制定针对性复习计划，提升中考冲刺效率。

第08讲 图形的几何变化 【中考二轮复习专题】 01 考情分析 02 知识结构 03 典例精讲 目录 图片替换区 中考数学中的图形几何变化部分，是考查学生空间想象能力、逻辑推理能力及动手操作能力的重要环节。不仅涵盖基础的几何知识，还融合了图形的运动变化，如平移、旋转和翻折等。 随着新课改的推进，图形几何变化的题目越来越注重考查学生的动态思维能力，即在图形运动变化中分析和解决问题的能力。近年来，中考图形几何变化的题目中还出现了一些开放性、探究性的题目，要求学生进行猜想、验证和探究，体现了新课改对学生综合素质的培养要求。 考察方式 图形的几何变化基础部分 图形的几何变化综合部分 考情分析 3 性质 夹角=旋转角 旋转前后图形全等 对应角到旋转中心距离相等 图形的几何变化 中心对称 轴对称 旋转 中心对称的两个图形全等 性质 成轴对称性质 对应线段相等 对应角相等 连接中心对称的两个图形的对称点，所连线段经过对称中心且被对称中心平分 对应点连线被对称轴垂直平分 任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等 对应点之间的距离就是平移的距离 平移前后两个图形全等 平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等 平移 性质 知识结构 考点一图形的几何变化基础部分-常见几何变化的识别 例1 如图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（ ） A. B. C． D． 解：由题意，选项A，C，D可以通过平移、旋转得到，选项B可以通过翻折、平移、旋转得到．故选：B． B 考情分析 例2 如图，在菱形中，对角线相交于点O，．线段关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，于点E，则与四边形的面积比为 . 考点一图形的几何变化基础部分-与几何变化的性质求解（线段长/周长/面积） 解：∵四边形是菱形，，∴设，， ∴ 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴∴点，D，O三点共线， ∴，， ∴，∴ 典例精讲 例2 如图，在菱形中，对角线相交于点O，．线段关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，于点E，则与四边形的面积比为 . 1：3 考点一图形的几何变化基础部分-与几何变化的性质求解（线段长/周长/面积） 解：∵，∴ 由对称可得，, ∴， 又∵∴，∴，∵, ∴ 又∵，, ∴， ∴ ∴． 典例精讲 例3 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 考点一图形的几何变化基础部分-与几何变化的性质求解（坐标） F ∟ O 解：作，交y轴于点F，由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线，，， 在中，， 即，解得， ，， 典例精讲 例4 如图，在平面直角坐标系中，对若原来点 A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ） A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（1，2） 考点一图形的几何变化基础部分-与几何变化有关的规律探索问题 解：点A第1次轴对称变换后， 点A的对应点在第二象限，坐标为（1，2）， 点A第2次轴对称变换后，点A的对应点坐标为（1，2）， 点A第3次轴对称变换后，点A的对应点坐标为（1，2）， 点A第4次轴对称变换后，点A的对应点回到原始位置，坐标为（1，2）， 所以每四次轴对称变换为一个循环组， ∵2021÷4=505……1， ∴经过第2021次轴对称变换后所得的点A的对应点与第1次作轴对称变换后的点A的对应点的位置相同，在第二象限，坐标为（1，2），故选：C． 典例精讲 例5 如图，正方形ABCD纸片的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为          ． 考点一图形的几何变化基础部分-与几何图形有关的折叠问题 H 解：设折痕BF与AE交于点H，如图， ∵四边形ABCD为正方形，∴，， ∵由折叠及轴对称的性质可知，BF垂直平分线段AG， ∴，∴∠FAH+∠AFH=90°， 又∵∠FAH+∠AED=90°，∴∠AFH=∠AED， 在和中，，∴≌（AAS） ∴，在中，， ，∴，∴ ∴∴ 典例精讲 例6 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ． 考点一图形的几何变化基础部分-坐标与图形变化综合 解：①当时，函数的解析式为， 此时函数的图象与x轴只有一个交点成立， 当时，得，解得， 与x轴的交点坐标为 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为； ②当时，函数的图象与x轴只有一个交点， ，即，解得， 函数的解析式为， 当时，可得，解得， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为， 综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或 或 典例精讲 例7 如图所示，cm的小正方形组成的网格中. (1)将沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到，请作出，并求出的长度； (2)再将绕坐标原点O顺时针旋转，得到，请作出，并直接写出点的坐标； (3)在(1)(2)的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和. 考点一图形的几何变化基础部分-与几何变化的作图题 解：（1）如图，即为所求； ， （2）如图，即为所求； （3）在(1)(2)的条件下，线段AB在变换过程中 扫过图形的面积和为： ． 典例精讲 例8 已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于、两点．给出下列结论：①；②；③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 考点一图形的几何变化基础部分-与几何图形变化有关的多结论问题 解：①二次函数与的图象均过点和坐标原点，为线段的中点，，两个函数的对称轴均为直线，即，解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ，由函数的对称性可知， 在和中，，， ，故②正确； 典例精讲 例8 已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于、两点．给出下列结论：①；②；③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 考点一图形的几何变化基础部分-与几何图形变化有关的多结论问题 解：③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点 的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， ， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； 典例精讲 例8 已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于、两点．给出下列结论：①；②；③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 考点一图形的几何变化基础部分-与几何图形变化有关的多结论问题 D 解：④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时 的周长最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 典例精讲 类别 轴对称 中心对称 性质 ❶对应点的连线被对称轴垂直平分； ❷成轴对称的两个图形全等； ❸只有一条对称轴. ❶对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； ❷成中心对称的两个图形全等； ❸只有一个对称中心. 考点一图形的几何变化基础部分 心 核 讲 精 1.平移的性质： ❶平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. ❷平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 2.轴对称与中心对称 典例精讲 类别 轴对称图形 中心对称图形 性质 ❶有对称轴; ❷将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. ❶有对称中心; ❷将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 考点一图形的几何变化基础部分 心 核 讲 精 3.轴对称图形与中心对称图形 ❶对应点到旋转中心的距离相等； ❷每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ❸旋转前后的图形全等． 4. 旋转的性质： 典例精讲 例9 （1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则_______． （2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与全等/相似三角形综合 1 解：（1）如图2，∵，∴， 由题意得为中点，∴， ∵，∴ （2）①如图，由操作知，点E为中点， 将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴，∴， 典例精讲 例9 （2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ②证明：四边形为平行四边形． 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与全等/相似三角形综合 解：（2）②证明：如图，由题意得， 是的中点，操作为将四边形 绕点E旋转得到四边形，将四边形 绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，， ，∴， ∵∴，∴三点共线，同理三点共线，由操作得，， ∵，∴， ∴，∴四边形为平行四边形； 典例精讲 例9（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与全等/相似三角形综合 解：（3）如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，，∴，，∴， 由操作得，， ∵，∴，∴三点共线， 同理三点共线， ∵，∴四边形为矩形 典例精讲 例9（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与全等/相似三角形综合 解：（3）如图，连接， ∵为中点，∴， 同理，∴，∴， ∵，∴， ∴，，∴， 由操作得，，而，∴，同理，， ∵，， ，∴， ∵四边形为矩形，∴， ∴，∴， ∴，同理， ∴四边形能放置左上方空出，∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 典例精讲 例10【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与最值问题求解 2 解：（1）如图，∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． 典例精讲 例10【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与最值问题求解 解：（2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图④ ，结合图形变换可得：； 典例精讲 例10【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与最值问题求解 解：（3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点，∴当与相切时，最大， ∴，∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 典例精讲 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与最值问题求解 例10（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 解：（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，，∴，， ∴；∴的最小值为； 典例精讲 例11 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与面积问题 解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作 交的延长线于点 ，，， ，， 又且 ， ； 典例精讲 例11 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与面积问题 解：（2）解：， ， ，，， 又且， ， ， ，，， ，， ， ， ， ； 典例精讲 例11 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接 ，求的面积； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与面积问题 M ∟ N 解：（3）如图所示，过点作于点， ∵， ∴，∴， 即，即， 又∵∴ ∴， 设，则， ，解得：∴； 典例精讲 例11 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线，请直接写出线段. 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与面积问题 Q ∟ P 解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点 ∵∴， 设，则， 又∵，， ∴， ∴，∴∴ ∴，解得：在中， ∴∴ 典例精讲 例11 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线，请直接写出线段. 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与面积问题 T ∟ P 解：如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点， ∵∴ ∵∴ 设，则，， ∵， ∴解得： ∴∴ 综上所述， 或． 典例精讲 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与动态问题 解： （1）如图①所示， ∵ ， ∴， 如图②所示，由题意得， ， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴，∴，解得， ∴当时，点A在线段的垂直平分线上； 例12 如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ 典例精讲 例12 如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (2)设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与动态问题 H ∟ G ∟ 解：（2）如图，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G， 在中，由勾股定理得， ∴，∵，∴； 由知，∴，， 在中，， 在中，， 在中， ， ∴，∴； 典例精讲 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与动态问题 G ∟ 例12 如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解：（3）如图所示，过点P作于G，由（2）可知， 在中，， ，∴， ∴，∴； 在中，， ∴， 典例精讲 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与动态问题 G ∟ 例12 如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解：（3）∵与关于直线对称， ∴， 在中，， ∵，∴，∴， ∴，∴或（舍去），经检验是原方程的解， ∵，∴符合题意；综上所述，存在使． 典例精讲 例13 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为_________； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与函数综合 H ∟ 解：（1）如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵，∴∴ ∴，∴ ∵∴，∴ 典例精讲 例13 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (2)若轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与函数综合 解：（2）①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片， 折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，，∴ ∵，∴∴ ∵四边形为平行四边形，∴，， ∴是等边三角形，∴∵∴ 当与点重合时，此时与的交点为E与A重合， 当𝐶′与点B重合时，此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； 典例精讲 例13 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (2)若轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与函数综合 解：（2）②如图：过点C作由（1）得， ∴，，∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线∴在时，随着的增大而增大 ∴；当时，∴随着的增大而增大， ∴在时；在时，；∴当时， 典例精讲 例13 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (2)若轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与函数综合 解：（2）②∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴，，∴ ∵∴开口向下，在时，有最大值 ∴在时，∴则在时，； 典例精讲 解：（2）②当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时，综上： 例13 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (2)若轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 考点二图形的几何变化综合部分-几何变化与函数综合 典例精讲 考点二图形的几何变化综合部分 1. 构造基本图形或定理所需图形：在解题过程中，有时需要通过添加辅助线来构造全等三角形、相似三角形等基本图形，以便应用相关定理。例如，在证明线段相等时，常通过构造全等三角形来得出结论。 2. 寻找相似三角形：当题目涉及比例关系或角度相等时，寻找相似三角形往往是解题的关键。通过相似三角形的性质，可以推导出所需的比例关系或角度。 3. 利用不变量：在图形变换过程中，某些线段、角度或三角形的性质保持不变。例如，在旋转变换中，对应线段的长度和对应角的大小均保持不变。利用这些不变量，可以简化问题的分析。 4. 注意多解情况：图形的几何变化可能导致多种符合条件的答案。因此，在解题过程中，需要仔细审题，全面考虑各种可能的情况，避免漏解。 总结：解题思路 典例精讲 40 考点二图形的几何变化综合部分 1. 逆向思维：从结论出发，逆向推导所需的中间条件和步骤，有助于找到解题的突破口。 2. 正逆结合：结合已知条件和结论，双向思考，往往能找到解题的捷径。 3. 灵活运用图形变换：根据题目特点，灵活运用平移、旋转、轴对称等变换，将分散的条件集中，或将复杂的问题转化为简单的问题。 总结：解题技巧 典例精讲 41 $