3.1 圆 课时练习 2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖圆的概念、位置关系及综合应用，梯度合理，助力知识从单一到综合的巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的基本概念（弦、半径）、点与圆位置关系|以选择、填空为主，直接考查定义与简单计算，如判断弦的条数、半径求解| |能力提升|圆与几何计算、坐标初步结合|结合动态问题（如点在圆内的条件）、面积计算，需简单推理，如填空题14的最值问题| |综合拓展|动态几何、新定义与代数综合|涉及“亲情点”新定义、路径最值，需跨知识点整合，如解答题21的综合应用|

【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.1 圆 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 3．（本题3分）已知的半径为，则点到圆心的距离为 （     ）时，点在外 A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（本题3分）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（本题3分）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 7．（本题3分）如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，，两点的坐标分别为，，的圆心为，半径为，是上一个动点，则面积的最大值为(   ) ．    A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（本题3分）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若的半径为5，，且点在外，则的取值范围为 ． 12．（本题3分）已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在 ． 13．（本题3分）线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为 ． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，则的最大值为 ． 15．（本题3分）如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 17．（本题7分）如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（本题8分）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 19．（本题8分）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 20．（本题8分）如图，是的直径，是的中点， (1)判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的值． 21．（本题9分）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 22．（本题9分）阅读下列材料： 平面上两点，之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设是圆心坐标为、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：，我们称其为圆心为，半径为r的圆的标准方程．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． (1)圆的标准方程，则它的圆心是________，半径是________． (2)圆心为，半径为2的圆的标准方程为：____________； (3)若已知的标准方程为：，圆心为C，请判断点与的位置关系并说明理由． 【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.1 圆 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 2．（本题3分）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 3．（本题3分）已知的半径为，则点到圆心的距离为 （     ）时，点在外 A． B． C． D． 解：∵的半径，点在外， ∴点到圆心的距离，即， 只有选项D（）满足条件， 故选D． 4．（本题3分）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵，，，， ∴，， ∵点中只有2个点在圆内，， ∴， 故选：C． 5．（本题3分）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 6．（本题3分）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为，故选：D． 7．（本题3分）如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 解：，故选：C ． 8．（本题3分）如图，，两点的坐标分别为，，的圆心为，半径为，是上一个动点，则面积的最大值为(   ) ．    A． B． C． D． 解：如图，过点作，延长交于，此时的面积为最大值(是定值，只要圆上一点到直线的距离最大，而过圆心时，和圆相交于两个点，一个是最大的，一个是最小的)， ∵、两点的坐标分别为，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵在中，根据勾股定理得，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵的半径为1， ∴，． ∵、两点的坐标分别为，， ∴． ∵在中，根据勾股定理得，， ∴，，，， ∴． ∴．    故选：A． 9．（本题3分）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 10．（本题3分）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若的半径为5，，且点在外，则的取值范围为 ． 解：∵的半径为5，，且点在外， ∴，即， 故答案为：． 12．（本题3分）已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在 ． 解：，的半径为， 且，，， ，即， 点在内． 故答案为：内． 13．（本题3分）线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为 ． 解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，则的最大值为 ． 解：设过原点的直线方程为， 由题意得：即，解得，即，最大值为1， 故答案为． 15．（本题3分）如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 解的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6， 则 　① BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， 则 　② ②－①得： 把代入①得：（舍） ∴BC＝2a＝3． 17．（本题7分）如图，点，，均在正方形网格图的格点上，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点为点的对应点）． (1)画出线段； (2)以为直径作．（保留作图痕迹，不写作法） （1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，即为所求． 18．（本题8分）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ （1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 19．（本题8分）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． （1）解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 20．（本题8分）如图，是的直径，是的中点， (1)判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的值． （1）解：，理由如下： ∵D是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（本题9分）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． （1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； （2）解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 22．（本题9分）阅读下列材料： 平面上两点，之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设是圆心坐标为、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：，我们称其为圆心为，半径为r的圆的标准方程．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． (1)圆的标准方程，则它的圆心是________，半径是________． (2)圆心为，半径为2的圆的标准方程为：____________； (3)若已知的标准方程为：，圆心为C，请判断点与的位置关系并说明理由． 解（1）∵圆的标准方程，其中为圆心，为半径。 ∴，圆心为，半径。 故答案为：，5 （2）解：设圆上任意一点的坐标为， ∵，半径为2 ∴， 故答案为； （3）∵的标准方程为：， ∴圆心坐标为，， ∵点，AC= ∴点A在的内部． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $