21.1 四边形及多边形 分层练习 2025--2026学年人教版八年级数学下册

人教版（2024）八年级下册 21.1 四边形及多边形 分层练习 利用四边形内角和与外角和计算 1已知四边形中，，下列说法正确的是（ ） A.      B. C.且      D.，与，都不平行 2四边形的外角和是（ ） A.      B.      C.      D. 3如图，一个顶角为的等腰三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则等于（ ） A.      B.      C.      D. 4如图，在四边形中，，则的度数为        ． 5如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点在上，边分别交于点，若，则      ． 6如图，在四边形中，，． (1)______度；（用含，的代数式表示） (2)若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由． 四边形不稳定性的应用 1在①②③④这四个图形中，没有稳定性的有几个？（　　） A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 22023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（　　） A.三角形的稳定性      B.四边形的不稳定性      C.两点之间线段最短      D.点到直线的距离垂线段最短 3学校大门口的伸缩门，实际上利用了四边形具有      的性质． 4下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有        （填写序号）． 5（1）下列图形中不具有稳定性是　       　；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 6六边形钢架ABCDEF，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．（只需画图，不必写出作法） 多边形概念及分类 1下列是凸多边形的是（　　） A.②④    B.①②③    C.①②④    D.③④ 2下列是正多边形的是（　　） A.六条边都相等的六边形      B.四个角都是直角的四边形      C.四条边都相等的四边形      D.三条边都相等的三角形 3在如图所示的图形中，是多边形的有       ；是凸多边形的有       ． 4如图所示的多边形分别是       、       、        、        和       ． 5画出下列多边形的全部对角线． 6画出下列多边形的全部对角线： 多边形对角线条数与边数问题 1已知，一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的倍，则这个多边形的边数是( ) A.5    B.9    C.8    D.6 2下列多边形中，对角线是5条的多边形是（　　） A.四边形    B.五边形    C.六边形    D.七边形 3过n边形的其中一个顶点有5条对角线，则n为（ ） A.5    B.6    C.7    D.8 4从一个多边形的一个顶点出发一共有条对角线，则这个多边形的边数为     ． 5如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 6某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发            多边形对角线的总条数                应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 多边形对角线条数与分成的三角形个数问题 1过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ） A.十边形    B.九边形    C.八边形    D.七边形 2从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（ ） A.      B.      C.      D. 3从八边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将八边形分成n个三角形，则m、n的值分别为（ ） A.5，5    B.5，6    C.5，4    D.6，5 4从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成          个三角形． 5把一个九边形分割成三角形，至少可以分割成三角形的个数是     ． 6探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 多边形内角和及应用 1（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（　　） A.180°    B.360°    C.n×180°      D.n×360° 2如图所示，为（ ） A.      B.      C.      D. 3近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图所示，若，，，，则的度数为     ． 4杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的内角和为      ． 5如图，在四边形ABCD中，∠B＝50°，∠C＝110°，∠D＝90°，AE⊥BC，AF是∠BAD的平分线，与边BC交于点F． （1）求∠DAE的度数； （2）∠EAF＝　   　度． 6补全下列证明过程． 如图，在四边形ABCD中，AC⊥AD，垂足为点A，点E在边CD上，且EF⊥AD，垂足为点F，∠1＝∠6，求证：∠DAB+∠D＝180°． 多边形外角和及应用 1如图，是五边形的外角，且，则的度数是（ ） A.      B.      C.      D. 2如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A.      B.      C.      D. 3如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若度，则      度． 4如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？ 5如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 多（或少）一个角问题 1一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ） A.      B.      C.      D. 2小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A.1      B.1      C.1      D.1 3晨曦因少算了一个内角得出一多边形的内角和为980°，则该多边形的边数为（　　） A.6    B.8    C.10    D.9 4一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是      度． 5一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝        ． 6已知边形的内角和． （1）甲同学说，能取360°；而乙同学说，也能取640°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数；若不对，请说明理由． （2）若边形变为边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定． 7下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话： 请根据以上对话内容解答下列问题： （1）明明求的是几边形的内角和？ （2）少加的那个内角为多少度？ 多边形截角后内角和问题 1一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 ( ) A.7    B.10    C.14    D.15 2一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（　　） A.5    B.5或6    C.5或7    D.5或6或7 3把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　） A.16    B.17    C.18    D.19 4如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝125°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　    　°． 5把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是         边形. 6从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明． 7如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°． (1)求六边形ABCDEF的内角和； (2)求∠BGD的度数． 多边形内角和与外角和综合 1一个多边形，其内角和是外角和的2倍，那么它是（ ）边形 A.四    B.六    C.八    D.九 2一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　） A.11    B.10    C.9    D.8 3图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ） A.6    B.8    C.10    D.12 4如图，在六边形中，一个外角的度数为，则         ． 5已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°． （1）求这个多边形的边数； （2）如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是 　     　． 正多边形内角和与外角和 1如图，边长相等的正五边形和正n边形（n＞5）拼接在一起，则∠ACB度数可能是（　　） A.54°    B.30°    C.24°    D.18° 2若一个正多边形每一个内角的度数比它的每个外角的度数多，则这个多边形是（ ） A.正八边形    B.正九边形    C.正十边形    D.正十一边形 3如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则        ． 4一个正多边形的一个内角等于一个外角的8倍，则这个正多边形是正 　    　边形． 5比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如： 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等． 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形． 请你再写出它们的两个相同点和不同点： 相同点： ① ； ② ． 不同点： ① ； ② ． 6如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为____________． (2)小明走出的这n边形的周长为____________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数． 平面镶嵌问题 1某同学在学习教材第26页的数学活动时，他任意剪出了一些形状、大小相同的四种纸板，第一种是形状、大小相同的三角形；第二种是形状、大小相同的四边形；第三种是形状、大小相同的正五边形；第四种是形状、大小相同的正六边形，该同学利用其中一种纸板镶嵌，有一种纸板不能镶嵌成一个平面图案，不能镶嵌成一个平面图案的是：（ ） A.形状、大小相同的三角形    B.形状、大小相同的四边形 C.形状、大小相同的正五边形    D.形状、大小相同的正六边形 2如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ） A.4    B.5    C.6    D.7 3某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为        °． 4已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的． （1）试分别确定，是什么正多边形？ （2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 5两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． (1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； (2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 人教版（2024）八年级下册 21.1 四边形及多边形 分层练习（参考答案） 1利用四边形内角和与外角和计算 1已知四边形中，，下列说法正确的是（ ） A.      B. C.且      D.，与，都不平行 【答案】B 【解析】 解：四边形中，， ， 四边形的内角和为，即， ， ，但无法确定与是否平行， 故选：B． 2四边形的外角和是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：由四边形的一条对角线把它分为两个三角形，所以四边形内角和为 ； 故选B 3如图，一个顶角为的等腰三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则等于（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：如图， ∵一个顶角为的等腰三角形纸片， ∴， ∴， 故选C 4如图，在四边形中，，则的度数为        ． 【答案】 【解析】 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 5如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点在上，边分别交于点，若，则      ． 【答案】 【解析】 解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6如图，在四边形中，，． (1)______度；（用含，的代数式表示） (2)若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：． （2），理由如下： ， ． ． 平分，平分， ，． ． ， ． ． 2四边形不稳定性的应用 1在①②③④这四个图形中，没有稳定性的有几个？（　　） A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 【答案】B 【解析】 解：根据四边形的不稳定性可知：图②、图③具有稳定性， 故选：B． 22023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（　　） A.三角形的稳定性      B.四边形的不稳定性      C.两点之间线段最短      D.点到直线的距离垂线段最短 【答案】B 【解析】 解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了四边形的不稳定性， 故选：B． 3学校大门口的伸缩门，实际上利用了四边形具有      的性质． 【答案】 不稳定性 【解析】 解：学校大门口的伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故答案为：不稳定性． 4下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有        （填写序号）． 【答案】 ①②③ 【解析】 解：①用“人”字梁建筑屋顶，存在三角形，是利用三角形具有稳定性； ②用窗钩来固定窗扇，存在三角形，是利用三角形具有稳定性； ③在栅栏门上斜钉着一根木条，存在三角形，是利用三角形具有稳定性； ④商店的推拉防盗铁门，不存在三角形，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形具有稳定性； 综上所述：用到三角形稳定性的是①②③． 故答案为：①②③ 5（1）下列图形中不具有稳定性是　       　；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【答案】 解：（1）不具有稳定性的是2，3，5三个． （2）如图所示： 6六边形钢架ABCDEF，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．（只需画图，不必写出作法） 【答案】 解：如图所示． 3多边形概念及分类 1下列是凸多边形的是（　　） A.②④    B.①②③    C.①②④    D.③④ 【答案】C 【解析】 解：凸多边形是①②④，凹多边形是③． 故选：C． 2下列是正多边形的是（　　） A.六条边都相等的六边形      B.四个角都是直角的四边形      C.四条边都相等的四边形      D.三条边都相等的三角形 【答案】D 【解析】 解：根据正多边形的概念，各条边都相等，各个角都相等的多边形是正多边形，所以选项D是正确的． 选项B只满足了四个角都是直角的四边形，而四条边不一定相等，有可能是矩形，不满足条件． 选项A和C只满足了各条边相等．而角不一定，所以不正确． 故答案选：D． 3在如图所示的图形中，是多边形的有       ；是凸多边形的有       ． 【答案】 ①⑤⑥；①⑥/⑥① 【解析】 解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 4如图所示的多边形分别是       、       、        、        和       ． 【答案】 四边形；五边形；八边形；四边形；五边形 【解析】 解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形； 故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形． 5画出下列多边形的全部对角线． 【答案】 解：如图所示： 6画出下列多边形的全部对角线： 【答案】 解：如图所示： 4多边形对角线条数与边数问题 1已知，一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的倍，则这个多边形的边数是( ) A.5    B.9    C.8    D.6 【答案】D 【解析】 解：设此多边形有条边，由题意，得 ， 解得， 故选：D． 2下列多边形中，对角线是5条的多边形是（　　） A.四边形    B.五边形    C.六边形    D.七边形 【答案】B 【解析】 解：由题意得，＝5， 解得：n＝5，（负值舍去）， 故选：B． 3过n边形的其中一个顶点有5条对角线，则n为（ ） A.5    B.6    C.7    D.8 【答案】D 【解析】 根据题意有：， ∴， 故选：D． 4从一个多边形的一个顶点出发一共有条对角线，则这个多边形的边数为     ． 【答案】 【解析】 解：∵多边形从一个顶点出发可引出条对角线， ∴， 解得， 故答案为：． 5如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】 解：（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 6某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发            多边形对角线的总条数                应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】 解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，． 十二边形有条对角线． 能． 由题意得，23， 解得=1014． 多边形的边数n是正整数， 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 5多边形对角线条数与分成的三角形个数问题 1过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ） A.十边形    B.九边形    C.八边形    D.七边形 【答案】B 【解析】 解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是九边形， 故选：B 2从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：依题意有， 解得：． 故选：D． 3从八边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将八边形分成n个三角形，则m、n的值分别为（ ） A.5，5    B.5，6    C.5，4    D.6，5 【答案】B 【解析】 解：对角线的数量（条）， 分成的三角形的数量为（个）． 故选：B． 4从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成          个三角形． 【答案】 【解析】 解：当时，， 即可以把这个十六边形分成了个三角形， 故答案为：． 5把一个九边形分割成三角形，至少可以分割成三角形的个数是     ． 【答案】 【解析】 解：一个九边形至少可以分割成三角形的个数为：， 故答案为：． 6探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】 解：（1）如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 6多边形内角和及应用 1（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（　　） A.180°    B.360°    C.n×180°      D.n×360° 【答案】A 【解析】 解：（n+1）边形的内角和：180°×（n+1﹣2）＝180°（n﹣1）， n边形的内角和180°×（n﹣2）， （n+1）边形的内角和比n边形的内角和大180°（n﹣1）﹣180°×（n﹣2）＝180°， 故选：A． 2如图所示，为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：如图， ，， ， ， 故选：C． 3近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图所示，若，，，，则的度数为     ． 【答案】 【解析】 解：延长交于点，延长交于点，连接， 由题意得，， ∴八边形 的内角和是：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的内角和为      ． 【答案】 【解析】 解：． 故答案为：． 5如图，在四边形ABCD中，∠B＝50°，∠C＝110°，∠D＝90°，AE⊥BC，AF是∠BAD的平分线，与边BC交于点F． （1）求∠DAE的度数； （2）∠EAF＝　   　度． 【答案】 解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵∠C＝110°，∠D＝90°， ∴∠DAE＝360°﹣∠D﹣∠C﹣∠AEC＝70°． （2）∵∠AEB＝90°，∠B＝50°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝40°， ∵∠C＝110°，∠D＝90°， ∴∠DAB＝360°﹣∠D﹣∠C﹣∠B＝110°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB＝∠DAB＝×110°＝55°， ∴∠EAF＝∠FAB﹣∠BAE＝55°﹣40°＝15°． 故答案为：15． 6补全下列证明过程． 如图，在四边形ABCD中，AC⊥AD，垂足为点A，点E在边CD上，且EF⊥AD，垂足为点F，∠1＝∠6，求证：∠DAB+∠D＝180°． 【答案】 证明：∵CA⊥AD，EF⊥AD， ∴∠2＝∠3＝90°， ∴EF∥AC．（理由：同位角相等，两直线平行） ∴∠4＝∠6．（理由：两直线平行，同位角相等） ∵∠1＝∠6， ∴∠1＝∠4．（理由：等量代换） ∴DC∥AB．（理由：内错角相等，两直线平行） ∴∠DAB+∠D＝180°．（理由：两直线平行，同旁内角互补） 7多边形外角和及应用 1如图，是五边形的外角，且，则的度数是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】A 【解析】 解：由多边形的外角和定理可得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：边形的外角和， 图中阴影部分的面积之和， 故选：B． 3如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若度，则      度． 【答案】 285 【解析】 解：由题意，得：， ∵度， ∴； 故答案为：285 4如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？ 【答案】 解：360°÷72°＝5， ∴某人行走的路线正好是一个正五边形， ∵某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米， ∴一共走了：10×5＝50（米）， ∴最后他在点A处． 5如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】 解：（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 8多（或少）一个角问题 1一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 2小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A.1      B.1      C.1      D.1 【答案】D 【解析】 设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x， 由题意得：， ， 由于n为整数，x为正数且小于， ， 则， 故选：D． 3晨曦因少算了一个内角得出一多边形的内角和为980°，则该多边形的边数为（　　） A.6    B.8    C.10    D.9 【答案】B 【解析】 解：设此多边形的内角和为x, 则有980°＜x＜980°+180°， 即180°×5+80°＜x＜180°×6+80°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x=180°×6=1080°． ∴， ∴这个多边形边数为8， 故选B． 4一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是      度． 【答案】 80 【解析】 解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 5一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝        ． 【答案】 7 【解析】 解：800°÷180°＝4……80°， ∵除去了一个内角， ∴n﹣2＝4+1＝5， ∴n＝5+2＝7， 故答案为：7． 6已知边形的内角和． （1）甲同学说，能取360°；而乙同学说，也能取640°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数；若不对，请说明理由． （2）若边形变为边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定． 【答案】 解：（1）甲对，乙不对． 理由如下： 因为， 所以， 解得； 若，则， 解得． 因为是是正整数，所以不符合题意， 所以不能取640°． （2）依题意得， 解得． 7下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话： 请根据以上对话内容解答下列问题： （1）明明求的是几边形的内角和？ （2）少加的那个内角为多少度？ 【答案】 解：（1）设少加的那个内角为x°，这个多边形的边数为n． 根据题意，得（n﹣2）⋅180＝x+765， 则x＝180n﹣1125． 因为0＜x＜180，所以0＜180n﹣1125＜180． 解得6.25＜n＜7.25． 因为n为整数，所以n＝7． 所以明明求的是七边形的内角和． （2）当n＝7时，x＝180×7﹣1125＝135． 所以少加的那个内角为135°． 9多边形截角后内角和问题 1一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 ( ) A.7    B.10    C.14    D.15 【答案】D 【解析】 解：因为(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度 所以多边形边数n＝2520÷180+1＝15 故选D 2一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（　　） A.5    B.5或6    C.5或7    D.5或6或7 【答案】D 【解析】 解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选：D． 3把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　） A.16    B.17    C.18    D.19 【答案】A 【解析】 解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形， 则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形． 故选：A． 4如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝125°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　    　°． 【答案】 235． 【解析】 解：如图， ∵AD∥BC，∠C＝125°， ∴∠D＝180°﹣125°＝55°， ∴∠3+∠4＝125°， ∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°， ∴∠1+∠2＝2×180°﹣125°＝235°． 故答案为：235． 5把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是         边形. 【答案】 三、四、五 【解析】 解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形， 故答案为三、四、五. 6从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明． 【答案】 解：解分三种情况： ①若新多边形为四边形，则内角和为 ②若新多边形为五边形，则内角和为 ③若新多边形为六边形，则内角和为 7如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°． (1)求六边形ABCDEF的内角和； (2)求∠BGD的度数． 【答案】 解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°． （2）∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°， ∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°-470°＝250°， ∴∠BGD＝360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）＝110°． 10多边形内角和与外角和综合 1一个多边形，其内角和是外角和的2倍，那么它是（ ）边形 A.四    B.六    C.八    D.九 【答案】B 【解析】 解：设这个多边形是边形， 则依题意得：， 解得， 故这个多边形是六边形． 故选：B． 2一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　） A.11    B.10    C.9    D.8 【答案】B 【解析】 解：设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和与外角和的性质，有： 内角和＝（n﹣2）×180°外角和＝360°，由题可知，内角和与外角和的和为1800°， 即：（n﹣2）×180°+360°＝1800°， 解得：n＝10， 因此，这个多边形的边数为10． 故选：B． 3图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ） A.6    B.8    C.10    D.12 【答案】B 【解析】 解：∵， ∴， ∴正多边形的一个外角为， ∴， 故选：B． 4如图，在六边形中，一个外角的度数为，则         ． 【答案】 【解析】 解：∵， ∴， ∵六边形的内角和为， ∴， 故答案为： 5已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°． （1）求这个多边形的边数； （2）如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是 　     　． 【答案】 解：（1）设此多边形的边数为n，则：（n﹣2）⋅180＝1440+360， 解得：n＝12． 答：这个多边形的边数为12． （2）这个正多边形的每一个内角是：． 11正多边形内角和与外角和 1如图，边长相等的正五边形和正n边形（n＞5）拼接在一起，则∠ACB度数可能是（　　） A.54°    B.30°    C.24°    D.18° 【答案】C 【解析】 解：若n＝6， 则∠BAD＝180°﹣＝120°， ∠CAD＝180°﹣＝108°， ∴∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠CAD＝132°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝24°． 故选：C． 2若一个正多边形每一个内角的度数比它的每个外角的度数多，则这个多边形是（ ） A.正八边形    B.正九边形    C.正十边形    D.正十一边形 【答案】B 【解析】 解：设这个正多边形每个内角为x， 根据题意得：， 解得：， ∴这个正多边形每个外角是， 则这个正多边形的边数； 故选：B. 3如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则        ． 【答案】 【解析】 解：∵正六边形的内角和， 每个内角为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4一个正多边形的一个内角等于一个外角的8倍，则这个正多边形是正 　    　边形． 【答案】 十八． 【解析】 解：该正多边形的一个内角等于一个外角的8倍， ∴该正多边形的内角和等于外角和的8倍， 设此多边形的边数为n，则有：（n-2）×180=8×360， 解得：n＝18， 故答案为：十八． 5比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如： 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等． 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形． 请你再写出它们的两个相同点和不同点： 相同点： ① ； ② ． 不同点： ① ； ② ． 【答案】 解：相同点：①正五边形的和正六边形都是轴对称图形． ②正五边形和正六边形的外角和都是． 不同点：①正五边形的对角线都相等；正六边形对角线不全等． ②正五边形的对角线不交于同一点；正六边形对角线过中心的三条交于同一点． 6如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为____________． (2)小明走出的这n边形的周长为____________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数． 【答案】 解：（1）根据题意得：． 故答案为：15 （2）由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：45 （3）根据题意，得， 解得， ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 12平面镶嵌问题 1某同学在学习教材第26页的数学活动时，他任意剪出了一些形状、大小相同的四种纸板，第一种是形状、大小相同的三角形；第二种是形状、大小相同的四边形；第三种是形状、大小相同的正五边形；第四种是形状、大小相同的正六边形，该同学利用其中一种纸板镶嵌，有一种纸板不能镶嵌成一个平面图案，不能镶嵌成一个平面图案的是：（ ） A.形状、大小相同的三角形    B.形状、大小相同的四边形 C.形状、大小相同的正五边形    D.形状、大小相同的正六边形 【答案】C 【解析】 解：A、∵三角形的内角和是，∴形状、大小相同的三角形能镶嵌成一个平面图案； B、∵四边形的内角和是，∴形状、大小相同的四边形能镶嵌成一个平面图案； C、∵正五边形的一个内角的度数是，不能与整除，∴形状、大小相同的正五边形不能镶嵌成一个平面图案； D、∵正六边形的一个内角的度数是，能与整除，∴形状、大小相同的正六边形能镶嵌成一个平面图案． 故选：C 2如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ） A.4    B.5    C.6    D.7 【答案】C 【解析】 解：∵正五边形的每个内角为， ∴组成的正多边形的每个内角为， ∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴形成的正多边形为正n边形，则， 解得：． 故选C． 3某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为        °． 【答案】 【解析】 解：正五边形内角和为， 正五边形每个内角是， ∴． 故答案为． 4已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的． （1）试分别确定，是什么正多边形？ （2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 【答案】 解：（1）设B的内角为x，则A的内角为x， ∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺）， ∴3x+2×x=360°， 解得：x=60°， ∴x=90° ∴可确定A为正四边形，B为正三边形． （2）所画图形如下： 5两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． (1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； (2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 【答案】 解：（1）设多边形B的边数为n，多边形A的边数为， 则， 解得：，． 则多边形A的边数是8，多边形B的边数是4． （2）多边形A的边数是多边形B的边数的2倍， 能够镶嵌的正多边形A和正多边形B只能是正六边形和正三角形组合， 或正八边形和正方形组合． 若是正六边形和正三角形组合，则，或，，则或5； 若是正八边形和正方形组合，则，，则． 所以，的值为3或4或5． 学科网（北京）股份有限公司 $