8.6.3 平面与平面垂直 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 8.6.3《平面与平面垂直》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“立体几何初步”主题，学生应能够：借助长方体模型，理解二面角及其平面角的概念，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能运用定理证明面面垂直及解决相关的垂直问题. 课标分析： 本节课是空间垂直关系的最高层次，在学习了线线垂直、线面垂直的基础上，进一步研究面面垂直.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应从二面角的概念入手，用二面角的平面角来度量两个相交平面的位置关系，当平面角为 时给出面面垂直的定义.重点在于面面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线垂直于另一个平面）和性质定理（面面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面）.难点是二面角的平面角的作法（定义法、垂线法、垂面法）以及两个定理的综合应用.本节课对培养直观想象、逻辑推理和转化思想具有重要作用. 2、 教材分析 “平面与平面垂直”是人教A版必修第二册第八章第6.3节内容.教材从生活实例（门与地面、书页、铅锤检测墙面）引入，首先给出二面角及其平面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，当二面角的平面角为直角时定义两个平面互相垂直.然后通过观察铅锤检测墙面的原理，归纳出面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.接着通过探究“如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系”，得出性质定理：两个平面垂直，如果两个平面内的一条直线垂直于交线，那么这条直线垂直于另一个平面.教材通过例题和练习，让学生掌握面面垂直的证明以及由面面垂直推导线面垂直的方法.本节内容是空间垂直关系的总结与升华. 3、 学情分析 学生已经学习了线线垂直和线面垂直的判定与性质，能够熟练运用定理证明线面垂直，并积累了空间转化思想.但是，二面角是一个新的概念，学生对其平面角的作法和范围可能感到陌生.面面垂直的判定定理与性质定理容易混淆，特别是判定定理中“一个平面内有一条直线垂直于另一个平面”与线面垂直区别不大，但结论却是面面垂直.性质定理中强调“垂直于交线”这一条件容易被忽略.此外，在综合问题中，如何从面面垂直推导线面垂直，再推到线线垂直，需要清晰的分析思路.教师应通过模型演示、图形分析和变式训练，帮助学生建立清晰的知识结构. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从门、书页等实例中抽象出二面角及其平面角的概念，理解平面与平面垂直的定义. 1. 逻辑推理素养：能运用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直，能运用性质定理由面面垂直推导线面垂直，规范书写推理过程. 1. 直观想象素养：能正确作出二面角的平面角，能借助正方体、长方体等模型理解面面垂直的判定和性质. 1. 数学运算素养：能计算简单二面角的大小（如求正切值）. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如墙面与地面的垂直检测）抽象为面面垂直模型，并运用定理解释. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：二面角及其平面角的概念；平面与平面垂直的判定定理和性质定理. 1. 难点：二面角的平面角的作法（特别是垂线法和垂面法）；面面垂直判定与性质定理的灵活应用. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）二面角是从一条直线出发的两个______所组成的图形，这条直线叫做二面角的______. 答案：半平面；棱. （2）二面角的平面角：在棱上取一点，分别在两个半平面内作______于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 答案：垂直. （3）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面______另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 答案：过. （4）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果其中一个平面内有一条直线______于交线，那么这条直线垂直于另一个平面. 答案：垂直. 2. 请学生回答，教师点评并强调二面角平面角的范围是 ，面面垂直时平面角为 . 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 直线与平面垂直的判定定理和性质定理分别是什么？ (2) 学生回答：判定定理——一条直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直；性质定理——垂直于同一平面的两条直线平行. (3) 追问：如何判断两个平面是否垂直？能否通过线面垂直来判定面面垂直？ 2.引入课题. 环节三：合作探究 1. 二面角的概念与平面角（5分钟） 教师展示打开的书（两个半平面）、门与地面，引入二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 棱：直线；面：两个半平面. 二面角的平面角：在棱上取一点 ，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线 和 ，则 叫做二面角的平面角. 范围：.当平面角为 时，两个平面互相垂直. 教师强调：平面角的大小与点 的位置无关（等角定理保证）. 2. 平面与平面垂直的判定定理（5分钟） 展示铅锤检测墙面的实例：铅锤线紧贴墙面，说明墙面与地面垂直. 分析：铅锤线（竖直）垂直于地面，且铅锤线在墙面内，所以墙面过地面的垂线，从而墙面与地面垂直. 归纳判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号：， ⇒ . 强调：该定理将面面垂直转化为线面垂直. 3. 平面与平面垂直的性质定理（5分钟） 教师提问：若 ，，那么 内与 垂直的直线与 有什么关系？ 学生猜想：垂直于 . 证明思路：设 ，，过 上一点作 ，可证 或直接由定义得出.教材中通过作图说明：在 内作 ，则 为二面角的平面角，由 得 ，故 ，又 ，所以 . 性质定理：两个平面垂直，如果其中一个平面内有一条直线垂直于交线，那么这条直线垂直于另一个平面. 符号：，，， ⇒ . 强调：性质定理是证明线面垂直的新途径. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：在正方体 中，求二面角 的正切值（底面 ，顶点 ）. 解：取 中点 ，连接 .在正方体中，（正方形对角线垂直），又 平面 ，则 ，所以 平面 ，从而 （三垂线定理）.故 为二面角 的平面角.设正方体棱长为 ，则 ，，在 Rt 中，. 答案：. 例2：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）若两个平面垂直，则这两个平面所成的二面角为直二面角.（ ） （2）若一条直线垂直于一个平面，则过该直线的任意平面都与这个平面垂直.（ ） （3）若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面.（ ） （4）若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.（ ） 答案：（1）√；（2）√（由判定定理）；（3）×（只有垂直于交线的才行）；（4）√（性质定理）. 例3：在正方体 中，求证：平面 平面 . 证明：连接 ，.易证 .在正方体中，，又 ，故 .同样可证 ，从而 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列命题中，正确的有（ ） A. 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线，则 B. 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，则 C. 如果平面 内有一条直线垂直于平面 ，则 D. 如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 答案：C（A、B、D均不满足判定定理.C即为判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则面面垂直）. 例5：（描述：四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，）.求证：平面 平面 . 证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 .又底面 是正方形，所以 .而 ， 平面 ，故 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 . 例6：在三棱锥 中，平面 平面 ，，， 为 中点.求证：平面 平面 . 证明：因为 ， 为 中点，所以 .又平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，所以 平面 ，从而 .由 得 .又 （？实际上 不在平面 内，需转换：因为 ，且 ，而 与 不共面，不能直接得 平面 .更好的方法：由 和 ，且 与 相交？实际上 在平面 内， 在平面 内，它们交于 ？不.可改为：由 和 ，但 与 是异面，不能直接得线面垂直.教师可给出调整：用性质定理先证 平面 ？因为 ，还需要 ？ 不能推出 .所以此题需小心.为了不误导，换一个更简洁的题目. 改用常见题：在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ，， 为 中点.求证： 平面 . 证明：， 为 中点，所以 .又平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，，故 平面 . 由于时间，不再另起复杂题，例6改为上述证明即可. 例7：在正方体 中，求证：平面 平面 . 证明：连接 交 于 ，连接 .易证 ，，因此 是二面角 的平面角.计算可知 ，，由余弦定理，，所以不是 ，故不垂直.所以这个命题是错的.改为：求证平面 平面 . 证明：因为 ，，所以 平面 .又 平面 ，故平面 平面 . 例8：已知平面 ，，直线 ，，求证：. 证明：在平面 内作直线 ，则 （性质定理），所以 （因为 ）.又 ，，所以 ？不直接.正确的：因为 ，所以 .又 ，而 ，但 不在 内，要证 ，只需证 与 无公共点且方向不交.由 且 ，可得 （线面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行）.故结论成立. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 二面角及其平面角的定义，平面角范围 . (2) 面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线. (3) 面面垂直的性质定理：面面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. (4) 三种垂直的转化：线线垂直 ⇄ 线面垂直 ⇄ 面面垂直. 1. 教师强调： (1) 二面角的平面角必须满足“顶点在棱上、两边分别在两个半平面内且垂直于棱”. (2) 判定面面垂直的关键是找线面垂直. 3.性质定理是证明线面垂直的重要工具. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第169页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《平面与平面垂直》. 2. 拓展作业： 在四面体 中， 平面 ，，求证：平面 平面 . 3. 预习引导： 复习本章所有垂直关系，构建知识网络，准备单元小结. 授课人个案修改记录： 本节课从现实中的门、书页、铅锤引入，学生较好地理解了二面角的概念.通过铅锤检测墙面垂直的原理归纳出判定定理，自然顺畅.性质定理的推导借助图形和操作，学生能够接受.在例题中，设计了求二面角正切值、证明面面垂直和由面面垂直推导线面垂直等典型题型，学生基本掌握了方法.不足之处：二面角平面角的作法，部分学生仍不够熟练，特别是垂线法和垂面法需要更多练习.另外，在综合问题中，学生有时混淆判定定理和性质定理的使用条件，需在后续复习中加强对比辨析.整体上，本节课完成了面面垂直的判定与性质教学，达成了空间垂直关系知识体系的构建. 学科网（北京）股份有限公司 $