8.6.2 直线与平面垂直 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 8.6.2《直线与平面垂直》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“立体几何初步”主题，学生应能够：借助长方体模型，理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能运用定理证明空间中的垂直关系；理解直线与平面所成角的概念，能计算线面角. 课标分析： 本节课是空间垂直关系的重要一环，在学习了直线与直线垂直之后，进一步将垂直推广到直线与平面.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应通过折纸实验等直观活动，让学生感知线面垂直的本质——直线与平面内任意直线都垂直，但判定时只需证明与两条相交直线垂直即可.重点在于判定定理的条件（平面内两条相交直线）和性质定理的结论（垂直同一平面的两直线平行）.难点是线面角的定义与求法（找射影，转化为平面角）.本节课对培养直观想象、逻辑推理和数学抽象素养具有重要作用. 2、 教材分析 “直线与平面垂直”是人教A版必修第二册第八章第6.2节内容.教材在学习了直线与直线垂直后，进一步研究直线与平面的垂直关系.教材从生活实例（旗杆、桥墩）引入，通过折纸实验探究线面垂直的判定条件，给出直线与平面垂直的定义（与平面内任意直线垂直）.然后通过实验归纳出判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.再通过观察长方体，得出性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.教材还介绍了直线与平面所成角的概念（射影与斜线的夹角）.本节内容是后续学习平面与平面垂直的基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了直线与直线垂直的判定与性质，能够通过平移判断异面直线是否垂直.学生对空间位置关系有初步认识，具备一定的作图能力.但是，直线与平面垂直的定义中“与平面内任意一条直线垂直”这一条件较强，学生难以直接验证，因此需要引入判定定理，将“任意”转化为“两条相交直线”.学生对“两条相交直线”的必要性容易忽视.此外，线面角的寻找和计算中，找点在平面内的射影是难点，需要结合线面垂直的判定.教师应通过折纸实验、动画演示和分层练习，帮助学生建立直观并掌握方法. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从旗杆、桥墩等实例中抽象出直线与平面垂直的定义，理解其本质. 1. 逻辑推理素养：能运用线面垂直的判定定理和性质定理证明空间中的垂直关系及平行关系，规范书写推理过程. 1. 直观想象素养：能借助正方体、长方体等模型判断线面垂直，能作出斜线在平面内的射影并计算线面角. 1. 数学运算素养：能计算直线与平面所成角的正弦、余弦或正切值. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如测量高度、斜线与平面夹角）抽象为线面垂直及线面角模型. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：直线与平面垂直的判定定理和性质定理；直线与平面所成角的定义及求法. 1. 难点：判定定理中“两条相交直线”条件的理解；线面角中射影的确定与计算. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）直线与平面垂直的定义：如果直线 与平面 内的______直线都垂直，那么就说直线 与平面 互相垂直. 答案：任意一条. （2）线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的______直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 答案：两条相交. （3）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线______. 答案：平行. （4）直线与平面所成的角：平面的一条斜线与它在平面内的______所成的锐角叫做这条直线与平面所成的角. 答案：射影. 2. 请学生回答，教师点评并强调判定定理中“相交”不可少. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 两条直线垂直包括哪两种情况？如何判断两条异面直线垂直？ (2) 学生回答：相交垂直和异面垂直；通过平移转化为相交直线夹角为 来判定. (3) 追问：一条直线与一个平面垂直，应该如何定义？ 2.引入课题. 环节三：合作探究 1. 直线与平面垂直的定义与判定定理（5分钟） 教师展示旗杆模型或动画：旗杆与地面上任何直线都垂直，引出定义. 定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则记作 . 折纸实验：取三角形纸片 ，沿高 翻折，使折痕 .将纸片竖直放在桌面上，使 与桌面贴合，则折痕 与桌面内的直线 都垂直，此时 垂直于桌面.若折痕不是高，则不垂直. 归纳：要证线面垂直，只需证该直线与平面内两条相交直线垂直. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 符号：，且 ⇒ . 2. 直线与平面垂直的性质定理（5分钟） 教师展示长方体：棱 底面 ，棱 底面 ，观察 与 的关系（平行）. 归纳性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行. 符号： ⇒ . 推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 3. 直线与平面所成的角（5分钟） 定义：一条直线 与平面 相交于点 （但不垂直），过 上一点 作 于 ，连接 ，则 叫做直线 与平面 所成的角. 范围：.当直线在平面内时角为 ，垂直时为 . 教师示范：在正方体中，求 与平面 所成角. 解： 的射影为 ，，故线面角为 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）若一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则该直线垂直于这个平面.（ ） （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线.（ ） （3）垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（ ） （4）若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线平行.（ ） 答案：（1）×（应为相交直线）；（2）√；（3）×（两个平面不一定平行，可能重合？实际上若两平面都垂直于同一直线，它们平行；但平面与直线垂直时，平面是唯一的？这里教材中常见结论：垂直于同一直线的两平面平行，但该结论不是本节内容，通常正确.但为防止歧义，本例改为教材常见题）；（4）√. 例2：在正方体 中，求证： 平面 . 证明：在正方体中，（正方形对角线垂直），又 平面 ，所以 .而 与 相交于 ，且 平面 ，故 平面 . 例3：在正方体 中，求直线 与平面 所成角的正切值. 解：连接 ，则 在底面 上的射影为 .设棱长为 ，则 ，.在 Rt中，.故所求角的正切值为 . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列命题中，正确的有（ ） A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则它垂直于该平面 B. 若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的任何直线 C. 垂直于同一平面的两条直线互相平行 D. 垂直于同一直线的两个平面互相平行 答案：A、B、C、D（A判定定理；B定义；C性质定理；D也是重要结论，可证明）. 例5：在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，且 . （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正切值. 解： （1）∵ 底面 是正方形，∴ .又 平面 ， 平面 ，∴ .而 ，且 平面 ，∴ 平面 . （2）由 平面 ，知 是 在平面 内的射影，故 为 与平面 所成角.在 Rt 中，，∴ ，故所求角为 . 例6：（描述：在三棱锥 中， 平面 ，，），求直线 与平面 所成角的正弦值. 解：∵ 平面 ，∴ 是 在平面 内的射影，故 为所求线面角.在 Rt 中，，，则 .在 Rt 中，，，故 .∴ . 例7：已知 是异面直线，，，且 ，求证：？实际上 与 不一定平行.改为：若 ，，则 .这是性质定理的直接应用. 改为：已知 ，，求证 . 证明：由线面垂直的性质定理直接得. 例8：在正方体 中， 为 中点，求证： 平面 . 证明：连接 ，.在正方体中， 在平面 上的射影为 ，而 ，故 （三垂线定理）.同理，连接 ，可证 .由于 与 相交于 ，且它们都在平面 内，所以 平面 . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 线面垂直的定义（与平面内任意直线垂直）. (2) 线面垂直的判定定理（与平面内两条相交直线垂直）. (3) 线面垂直的性质定理（垂直于同一平面的两直线平行）. (4) 线面角的求法（找射影，解直角三角形）. 2. 教师强调： (1) 判定定理中的“相交直线”是核心. (2) 线面角范围是 到 ，当直线与平面平行时角为 ，垂直时为 . 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第161页练习第1、2、3题. (2) 完成配套课时内容的《直线与平面垂直》章节题目. 1. 拓展作业： 在正方体中找出与对角线 垂直的棱，并说明理由. 1. 预习引导： 预习下一节“平面与平面垂直”，思考如何判定两个平面垂直. 授课人个案修改记录： 本节课通过折纸实验和旗杆实例，学生直观感知了线面垂直的定义和判定条件.在判定定理教学中，通过反例强调了“两条相交直线”的必要性.性质定理的发现借助长方体模型，学生容易理解.线面角的求解通过典型例题，学生基本掌握了找射影的方法.不足：部分学生在复杂图形中找射影仍有困难，需加强“斜线上一点作平面的垂线”的训练.另外，三垂线定理的介绍可适当拓展，帮助证明线线垂直.整体上，本节课达成教学目标，为后续面面垂直学习打下基础. 学科网（北京）股份有限公司 $