13.3 空间图形的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第十三章 立体几何初步 13.3 空间图形的表面积和体积 情境：某森林公园计划在园中修建一条游览步道，修建过程中需要使用某压路机，假设路面宽度与压路机滚筒宽度一致，修路过程中，该压路机滚筒向前滚动了 1000圈，请问该步道的长度与面积分别为多少？ （已知该压路机滚筒宽度为 2 m，滚筒直径为 1 m ） 分析：将滚筒侧面展开，得到下图； = 2 m，r = 0.5m 问题1：该压路机滚筒向前滚动了 1000 圈，请问该步道的长度与面积分别为多少？ 滚筒底面周长：C底 = 2πr = π (m)；滚筒的侧面积：S侧 = 2πrl = 2π (m2)； 已知修路过程中，滚筒向前滚动 1000 圈，所以： 滚过的长度：1000×C底 = 1000 π (m)；滚过的面积：1000×S侧 = 2000π (m2)； 所以该游览步道的长度为 1000 π (m)，面积为 2000π (m2). 问题2：结合圆柱的侧面展开图，说说圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 思考：结合圆锥、圆台的侧面展开图，分别推导它们的侧面的面积公式？ 矩形 扇形 扇环 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 例1：一个圆柱形的锅炉，底面直径 d = 1 m，高 h = 2.3 m. 求锅炉的表面积 (精确到 0.1 m2 ). 因此锅炉的表面积约为 8.8 m2. 解：S表 = S侧 + 2S底 = πdh + 2π = π×1×2.3 + 2π×0.25 = 2.8π ≈ 8.8 (m2)， 注意：计算锅炉表面积时不能忘记两个底面的面积. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式： 圆柱的表面积公式：S圆柱表 = 2πr2 + 2πrl； 圆锥的表面积公式：S圆锥表 = πr2 + πrl = πr(r + l); 圆台的表面积公式：S圆台表 = πr12 + πr22 + π(r1 + r2)l = π(r12 + r22 + r1l + r2l). 例2：圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留 π) 解：如图，设圆台上底面周长为 c cm. ∵圆环的圆心角是 180°，∴ c = π·SA. 又∵ c = 2π×10 = 20π (cm)，∴ SA = 20 cm. 同理 SB = 40 cm，∴ AB = SB - SA = 20 (cm)， S圆台侧 = π·(r1＋r2)·AB = π(10＋20)×20 = 600π (cm2)， 因此，圆台的侧面积为 600π cm2. 问题3：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面沿着一条侧棱展开，得到什么图形？如何计算其侧面积？ 棱柱、棱锥、棱台的侧面积 连接 A1O1 并延长交 B1C1 于点 D1，连接 AO 并延长交 BC 于点 D， 过点 D1 作 AD 的垂线，垂直为点 E，连接 D1D. 例3：一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3 cm 和 6 cm，高是 cm. 求这个正三棱台的侧面积. 解：如图，点O1，O分别是上、下底面的中心，则O1O = cm. ∴ S正三棱台侧 = 因此，三棱台的侧面积为 cm2. 在Rt△D1ED中，D1E = O1O = cm， 根据今天所学，回顾：柱体、锥体、台体的侧面积公式. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积： 祖暅定理 V柱体 = S h 柱体体积公式 问题 1：试着运用祖暅定理推导圆锥体的体积公式. V椎体 = S h 锥体体积公式 问题2：类比锥体的体积的推导过程，说说台体（棱台、圆台）的体积可以转化为什么来计算？ 锥体 如果台体的上、下底面面积分别为 S′，S，高是 h，可以推得它的体积是 思考：结合柱体、锥体、台体的体积公式，说说它们之间的关系？ 问题 3：试着运用祖暅定理推导球体的体积公式. 球体体积公式 问题 4：如何利用球的体积公式求出球的表面积. 将球 O 的表面分成 n 个小网格，连接球心 O 和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成 n 个“小锥体”． n 越大，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径 R． 设 O-ABCD 是其中一个“小锥体”，则它的体积是 由于球的体积是这 n 个“小锥体”的体积之和，而这 n 个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积． S球 = 4πR2. V球 S球R，即 因此球的体积 例1：某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是 0.3 m，圆柱高 0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要 0.5 kg 涂料，那么给 1000 个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π 取 3.14 ) 解：一个浮标的表面积为： 2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 = 0.8478 (m2)， 所以给 1000 个这样的浮标涂防水漆约需涂料： 0.8478×0.5×1000 = 423.9 (kg). 例2：一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3 cm，瓶里所装的水深为 8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到 8.5 cm. 求钢球的半径. 解得 R = 1.5， 解：如图，设钢球半径为 R cm， 根据题意，得 所以钢球的半径为1.5cm. 练一练：圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比. 解：设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，则： V球 ：V圆柱 V圆柱 V球 根据今天所学，回答下列问题： （1）回顾祖暅原理的描述，说说你对定理的理解？ （2）写出今天所学的所有柱、椎、台、球的体积和表面积公式. $