精品解析：甘肃永昌县第一高级中学2026年高三下学期强化考试试卷数学（二）

数学（二） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. i C. D. 1 3. 若双曲线（，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 若的展开式中的系数为40，则正整数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知向量，，若，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（），则下列命题错误的是（ ） A. 若，则有1个零点 B. 若，则没有零点 C. 若有2个零点，则 D. 若，则有2个零点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据：1，，2，x，2，3，若该样本的平均数为2，则（ ） A. B. 该样本数据的极差为4 C. 该样本数据的众数为2 D. 该样本数据的方差为 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 函数在内有5个零点 11. 已知直线AB与x轴垂直，与抛物线交于A，B两点，过C的焦点F与x轴不垂直的直线MN与C的交点为M，N，其中，直线AM与直线BN的交点为D，过点D作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积是定值 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义在上的奇函数满足时，，则________． 13. 设等差数列满足，，则当时，正整数n的最大值为________． 14. 袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求； （2）求的取值范围． 16. 某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分．统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等． （1）求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； （2）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分； （3）在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率． 17. 如图，在四棱柱中，，底面是边长为1的正方形，，点是上异于的一点，． （1）求证：平面； （2）若点E是上的点，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知椭圆：的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线交于，两点，点不在直线上． （ⅰ）求弦长的取值范围； （ⅱ）设直线，直线与直线分别交于点，，试问的中点是否是定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极值小于0，求实数a的取值范围； （3）当时，取得极值b，且，求数列的前n项和，并比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，集合中的元素个数为3． 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以． 3. 若双曲线（，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】通过离心率，求得关系，确定渐近线方程，再由点到线距离公式即可求解. 【详解】设的焦距为，则，又， 得，所以， 故渐近线方程为， 所以点到C的一条渐近线的距离为． 4. 若的展开式中的系数为40，则正整数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式通项公式，结合已知条件逐项判断即可. 【详解】通项公式为， 由，得. 又，所以r是偶数． 当时，，不是整数，舍去； 当时，，系数为，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，不是整数，舍去. 5. 已知向量，，若，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量垂直的坐标表示求出参数，再通过向量数量积与模长公式计算两向量夹角的余弦值. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得，所以，， 所以，又，设与的夹角为， 则． 6. 已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 7. 在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取AB中点D，先证平面平面，再利用球心到两垂直平面的垂线与的重心 、的外心H的关系，通过勾股定理求出外接球半径的平方，进而得到球的表面积. 【详解】取AB中点D，连接PD，CD，由，得，且， 又为边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设球心为O，的重心为G，等边三角形的重心与外心重合，的外心为H， 由球的性质可知平面，平面， 设外接圆的半径为，则， 在中，，即，得， 所以，，记球的半径为R， 则，球的表面积为． 8. 已知函数（），则下列命题错误的是（ ） A. 若，则有1个零点 B. 若，则没有零点 C. 若有2个零点，则 D. 若，则有2个零点 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域然后根据a的符号分三类情况进行讨论，当时由函数值的符号知其没有零点；当时求导找单调性及端点值确定零点个数；当时，根据单调性及极值点、端点值确定零点个数及范围. 【详解】的定义域为， 当时，在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减， 因为，，，所以在内有1个零点，A正确； 当时，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 由得，由得，所以时，没有零点，B正确； 根据已有分析可知当时，极大值，且，， 所以在内有1个零点，在有1个零点，所以有2个零点，C正确，D错误． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据：1，，2，x，2，3，若该样本的平均数为2，则（ ） A. B. 该样本数据的极差为4 C. 该样本数据的众数为2 D. 该样本数据的方差为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由得，A正确； 最大值为，最小值为-1，极差为，B错误； 出现两次，其他数出现一次，故该样本数据的众数为2，C正确； 方差，D正确． 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 函数在内有5个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的变换求出的解析式，再利用余弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】依题意，， 对于A，当时，，而余弦函数 在上单调递减，因此在上单调递减，A正确； 对于B，，的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，，的图象关于点对称，C正确； 对于D，依题意，，而不成立， 则，解得， 由，得，则可取， 因此函数在内有4个零点，D错误. 11. 已知直线AB与x轴垂直，与抛物线交于A，B两点，过C的焦点F与x轴不垂直的直线MN与C的交点为M，N，其中，直线AM与直线BN的交点为D，过点D作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积是定值 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线的方程，设出直线方程并与抛物线方程联立求出点的坐标，再结合圆的切线性质逐一判断即可. 【详解】由在C上，得，抛物线，焦点，设， 对于A，，A正确； 对于B，设的方程为，由得，则， 则，， ，，而点， 则直线AM，BN的方程分别为，， 联立消去y得，解得， 因此点D在直线上，的面积是定值，B正确； 对于C，点F与直线上点的距离的最小值为2，此时该点为直线与轴交点， 由对称性得点D不在x轴上，因此没有最小值，C错误； 对于D，令圆的圆心为，则， ，因此取最小值3时， 取得最小值，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义在上的奇函数满足时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质求出a， 再利用函数的奇偶性及题中所给解析式进行求解. 【详解】由题意知，解得， 因为，所以． 故答案为： 13. 设等差数列满足，，则当时，正整数n的最大值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合，可以求得公差与首项，再利用前n项和公式求出，最后求得正整数n的最大值 【详解】设的公差为，则，， 又，， 所以， 由得 故的最大值为6． 14. 袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球．每次不放回从袋中随机摸出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 【答案】## 【解析】 【分析】X的取值为，求出分布列，再利用期望公式求解. 【详解】X的取值为， 则，， ，， ， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合三角恒等变换得，进而求得答案； （2）根据正弦定理得，，再结合三角恒等变换得，最后结合求解值域即可得答案. 【小问1详解】 在中，， 又，所以， 又，所以， 由，得． 【小问2详解】 由正弦定理有， 所以，， ， 由，有，可得， 所以，即的取值范围为． 16. 某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分．统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等． （1）求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； （2）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分； （3）在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率． 【答案】（1） （2）79.5 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算出不低于80分的男生、女生人数，再求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； （2）由概率和为1列方程求a,再求平均值； （3）先分层抽样，再求概率. 【小问1详解】 评分不低于80分的人数为， 因为评分不低于80分的男、女市民人数相等，所以评分不低于80分的男、女市民人数都是25， 因为这100人中，男、女市民人数之比为9：11，所以100人中，男市民45人，女市民55人， 所以满意度评分低于80分的市民中，男、女人数分别为20，30，男、女人数的比例为2：3． 【小问2详解】 由得， 因为，所以满意度的平均分为79.5． 【小问3详解】 因为评分低于80分的被调查的人员中，男、女人数的比例为2：3，所以用分层随机抽样方法选出5人，男性为2人，女性为3人， 再在这5人中选出3人，3人至少有1位男性的事件为A， 则． 17. 如图，在四棱柱中，，底面是边长为1的正方形，，点是上异于的一点，． （1）求证：平面； （2）若点E是上的点，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，又正方形中，， ，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四棱柱中，，所以， 因为，，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先得平面， 从而，进而可得平面； （2）以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，利用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知四棱柱是正四棱柱，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 设，，，， 因为，所以，， ，设平面的法向量为， 因为，，所以，， 取得． 因为，，所以， 又，，平面，所以平面， 是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则． 18. 已知椭圆：的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线交于，两点，点不在直线上． （ⅰ）求弦长的取值范围； （ⅱ）设直线，直线与直线分别交于点，，试问的中点是否是定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）是定点 【解析】 【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点代入求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合即已知条件求出的范围，设出，坐标，利用两点间距离公式即韦达定理得到，进一步求范围即可. （ⅱ）直线方程与联立，求出点坐标，直线方程与联立，求出点坐标，结合韦达定理化简求解即可. 【小问1详解】 设的半焦距为，离心率，，所以，． 又点在上，所以，所以， 所以，，的方程是． 【小问2详解】 （ⅰ）设斜率为的直线的方程是． 由不在上，知，所以， 联立，消去化简得． 则判别式，解得，所以． 设点，，则由韦达定理得，． 所以由弦长公式，得 ． 因为，所以，所以， 所以，所以． 所以弦长的取值范围是． （ⅱ）由（ⅰ），， 直线的方程为，直线的方程与联立，解得． 直线的方程为，直线的方程与联立，解得， 所以的中点的坐标为， 因为直线的方程为，，，，， 所以 ， 所以的中点是定点． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极值小于0，求实数a的取值范围； （3）当时，取得极值b，且，求数列的前n项和，并比较与的大小． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】(1)利用斜率与导数的关系求解即可； (2)求出导函数，分和两种情况讨论的单调区间和极值情况，根据存在小于0的极值，可得，令，研究在上的单调情况以及最值即可求解； (3)根据题意知，，可得，利用错位相减求出，分为奇数和偶数两种情况讨论的范围即可与比较大小. 【小问1详解】 时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递增，没有极值； 当时，，时，；时，，的单调递增区间为，单调递减区间为． 所以时，取得极小值，没有极大值， 因为的极值小于0，所以，所以， 令，显然在上单调递增， 因为，所以时，，所以，．即的取值范围是． 【小问3详解】 由题意知在处取得极值，则，即，所以， 的极值为，， 所以． 所以， ， 两式相减，得， 所以． 当n为奇数时，，当n为偶数时，设，，k是正整数， ， 记，则，， 所以，又，所以，时，取等号， 所以当n为偶数时，，时，取等号， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $