甘肃永昌县第一高级中学2026年高三下学期强化考试试卷数学（二）

数学（二） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题 卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3.非选择题的作答：用签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区战内。写在试题卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区城均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 如 求的。 1.设集合M=(x|zx2-2x<3),N=(一1,0,1,2,3)，则集合M∩N中的元素个数为 毁 A.2 B.3 C.4 D.5 2.设复数z满足(z十i)(1十i)=2i,则z= A.-i B.i C.-1 D.1 3若双曲线C若-苦=1(a>0,6>0)的离心率为3，则点(0,3)到C的-条渐近线的距离为 A.1 B.√2 C.2√2 D.3 4若(-层 的展开式中x2的系数为40，则正整数n= A.4 B.5 C.6 D.7 5.已知向量a=(一1，一1)，b=(x,一5)，若a⊥(a-b),则向量a与b的夹角的余弦值为 A①7 17 B.、7 17 c D.- 6 a'十3a,x>1, 6.已知a>0,a≠1，若函数f(x) 在R上单调递减，则a的取值范围是 (3-5a)x2-2x+5,x≤1 A(得] Bo,号] c[,] D.(o,) 【MN一X·数学（二）第1页（共4页）】 7.在三棱锥P-ABC中，△ABC为边长为2的等边三角形，PA=PB=3,PC=√I,则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为 A.310x 27 B.275x C,241x 24 21 D. 8.已知函数f(x)=alnx一x2(a∈R),则下列命题错误的是 A.若a<0,则f(x)有1个零点 B.若0≤a<e,则f(x)没有零点 C.若f(x)有2个零点，则a>e D.若a>e,则f(x)有2个零点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知样本数据：1，一1,2，x,2,3,若该样本的平均数为2，则 A.x=5 B.该样本数据的极差为4 C.该样本数据的众数为2 D.该样本数据的方差为9 10.将函数f(x)=cos(2x十于)的图象向右平移平个单位长度，得到函数g(x)的图象，则 Ag(x)在(-，-受)上单调递减 B.g(x)的图象关于直线x=否对称 C.g(x)的图象关于点（号，0）对称 D.函数y=f(x)一g(x)在（一π，π）内有5个零点 11.已知直线AB与x轴垂直，与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点，过C的焦点F与x轴不垂直 的直线MN与C的交点为M,N,其中A(1,2),直线AM与直线BN的交点为D,过点D作圆 (x一2)2+(y一1)2=1的两条切线，切点分别为P,Q,则下列结论正确的是 A.p=2 B.△ABD的面积是定值 C.IDF的最小值为2 Dcos∠PDQ的最小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若定义在R上的奇函数f(x)满足x≥0时，f(x)=log2(x十4)十a,则f(2a)= 13.设等差数列(an)满足a1十ag=10,a2十a4=4,则当a1十a2十…十an>0时，正整数的最大值 为 14.袋中有9个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和4个黄球.每次不放回从袋中随机摸 出一个球，共摸4次，记这4次摸球中，摸到黄球的个数为X,则随机变量X的数学期望为 【MN一X·数学（二）第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 sin Acos C+sinC=2sinB,a=√3」 (1)求A; (2)求b十c的取值范围. 16.(本小题满分15分) 某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出一个评分，分数 都不低于60，满分100分.统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图.已知这100人 中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等. (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； 频率/组距 0.04 (2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分；0.035 (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分 层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座0.01 谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率 60708090100成绩/分 【MN一X·数学（二）第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-A1B1CD,中，AA1=3,底面ABCD是边长为1的正方形，AA1⊥BC,点P 是CC1上异于C的一点，AB⊥BP. (1)求证：AA1⊥平面ABCD; (②)若点E是AA1上的点，AE=了，EP1AD,求平面PAB与平面AB,D,的夹角 的余弦值 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C爱+苦=1a>6>0)的离心率为分，点A1,是)在C上. (1)求C的方程； (2)若斜率为的直线L交C于B,D两点，点A不在直线L上. (1)求弦长BD的取值范围； (I)设直线AB,直线AD与直线x=4分别交于点M,N,试问MN的中点是否是定点？若是，请 求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e2+(2a十1)e十ax. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)存在小于0的极值，求实数a的取值范围； (3)当x=一1n2时，✉取得极值b,且a,=a,求数列(a,的前n项和S,并比较S,与6一壳的 大小 【MN一X·数学（二）第4页（共4页）】数学（二）参考答案 1.B因为M={xx2-2x<3}={x-1<x<3},N={-1,0,1,2,3},所以M∩N={0,1,2},集合M∩N中的元素个数 为3.故选B. 2.D因为：+i1+)=2i,所以=亮-D-1.故选D 2 3.A设C的焦距为2c,则C=3,c2=a2+b,所以b=2√/2a,C的渐近线方程为y=±2√2x,所以点(0,3)到C的一条渐 近线的距离为0,3=1.故选A 3 4BT1=Cx(是)厂=(-2yCx中，由m号=2(-2rC=40知r是偶数，且r<6,又r≥0，显然只有r=2, n=5,符合题意.故选B. 5.A因为a=(-1,-1),a-b=(-1-x,4),a⊥(a-b),所以1+x一4=0，x=3,a=√2，|b=√34，a·b=2,设a,b 的夹角为0，则ms0日治-？故选入 6.C由y=a+3a在x>1上单调递减知0a<1,由y=(3-5a)x2-2x+5在x≤1上单调递减知13-5a=0,即a= 号词足题意：2a=号或3-50>0，-28号≥1，所以号<a<号，由)在R上单调递减，得3一5a-2+5≥a+3a -2 所以a≤号，所以号<a≤号.综上，a的取值范围是[号，号]故选C 7.B取AB中点D,连接PD,CD,由PA=PB=3,AB=2得PD=2√2，又△ABC为边长为2的等边三角形，所以CD= √3，又PC=WII,所以PD+CD=PC,所以PD⊥CD,则平面PAB⊥平面ABC,设球心为O,△ABC的重心为G, △PAB的外心为H,易证0G1平面ABC,0HL平面PAB,易得△PAB外接圆的半径r=9,0G=PD-,7号 8 CG-号CD29,记球的半径为R,则R=0C=OG+C心-，球的表面积为S-4标R-2故述R 3 8.Df(x)的定义域为(0，+∞)，a=0时，f(x)=一x2在(0，十∞)上单调递减，且f(x)<0:a<0时，f(x)=4一2x= 2r+0<0,fx)在(0，十∞)上单调递减，ed<1,f(e)=1-(e)2>0,f1)=-1<0,所以f(在(e立，1)内有1个 零点，A正确：a>0时，由()=一-2x=一2+4>0得0<x<√受，由了(0<0得>√号，所以x)的单调 递增区间为(0√号)，单调递减区间为（√号，+∞），由（√号）=号(n受-1)=0得a=2e,由f(√号)>0 得a>2e,所以0≤a<2e时，f(x)没有零点，B正确；因为a>2e时，f(1)=-1<0,f(e)=a2一(e)2<0,所以f(x)在 (1,2e)内有1个零点，在(2e,e)有1个零点，所以f(x)有2个零点，C正确，D错误.故选D. .ACD由1-1+2+x十2+3=12得x=5,A正确，B错误，C正确：方差=合1十9+0+9+0+1)=号，D正确，放 选ACD. 10.ACg)=cos(2x-受+子）=c0s(2x-吾)，由2kx<2x-吾<2kx十x,keZ得x+音<r<kx+登，g(x的单 调递减区间为(kx十音，kx+受)，∈Z,k=-1时，A正确：g(答)=c0s音≠士1，B错误；g(子)=c0s受=0，C正 确：由八)=g()得2x+吾=2kx-(2红-吾），k∈乙，所以y=f()-g)的零点为x=经-牙，k∈乙由一< 【MN-X·数学（二）参考答案第1页（共4页）】 经哥<x得一-2计2<k<2+2因为kC7.所以6可取-10,1.2，函数y=）-8)在（一x内有4个零点， D错误.故选AC. 11.ABD因为A(1,2)在C上，所以p=2,y2=4x,F(1,0),A正确；设MN的方程为x=ty+1,代入C的方程，得y2 4ty一4=0，设M(x1y1),N(x2,2),所以y1+2=41,y12=-4,所以0十x2=42+2,x1x2=1,(y-2)(x2-1) (y+2)(-1)=(y-2)t2-(+2)1y=-21(y+2)=-8,(x-1)(x2-1)=ty12=-4,因为B(1,-2), 直线AM,BV的方程分别为(x1-1)(y-2)=(y1一2)(x一1)，(x2一1)(y十2)=（为+2）(x-1),两式联立，消去y得 少一2)(=1)（2+2)(-D(x1)=-4,2(x-1)=-4,x=-1,所以点D在直线x=-1上，所以△ABD的 (x1一1)(x2一1) 面积是定值，B正确；因为点F到直线x=一1上的距离的最小值为2，但由条件知D点不在x轴上，所以DF没有最 小值，C错误；设圆(x-2)+(y-1)2=1的圆心为E(2,1D,则sin∠PDE=DE,cos∠PDQ=cos2∠PDE=1- 2i证∠PDE-1-D,所以DE取最小值3时，cos∠PDQ取得最小值1-号-子，D正确.故选AD, 2 12.-1f(0)=log2(0+4)+a=2+a=0,a=-2,f(4)=log(4+4)-2=1,f(2a)=f(-4)=-f4)=-1. 13.6设{am}的公差为d,则2d=-6,d=-3,a+a1+2d=10,a1=8,所以an=8-3(n-1)=11-3,由a1+a2+…+ a,-9,3测>0得0<<号，n的最大值为6 2 14号X的取值为o.123,PX=0)-袋-品PX=D==器，PX=2)=A=品，P(X=3= A A CgA-号PX=4)=袋=所以E0=品×0+需×1+9×2+号×3+X1= A 9 15.解：(1)在△ABC中，sinB=sin(A十C)=sin Acos C+cos Asin C, 。。。。。。。。。 …1分 又2 sin Acos C.+sinC=2sinB,所以sinC=2 cos Asin C,.… 3分 、1 以c05月7，…… 由A∈0，x,得A=吾 …6分 （2由正弦定理有.2层-2=BC可得6-20mB.c=2snC …8分 b+c=2snB+2sinC=2snB+2sin(g-B)=2snBh5aosB+snB=3smB+/5csB=2W3sn(B+若），.10分 由0<B<,有各<B+<,可得2<sin（(B+各)≤1， …12分 所以√5<b什c≤23，故b什c的取值范围为(W5,23].…13分 16.解：(1)评分不低于80分的人数为100×10X(0.04十0.01)=50，…2分 因为评分不低于80分的男、女市民人数相等，所以评分不低于80分的男、女市民人数都是25，…3分 因为这100人中，男、女市民人数之比为9：11，所以100人中，男市民45人，女市民55人，…5分 所以满意度评分低于80分的市民中，男、女人数分别为20,30，男、女人数的比例为2：3.…7分 (2)由10(a+0.035+0.04+0.01)=1得a=0.015,… …8分 因为65×10×0.015+75×10×0.035+85×10×0.04+95×10×0.01=79.5，所以满意度的平均分为79.5.…11分 (3)因为评分低于80分的被调查的人员中，男、女人数的比例为2：3，所以用分层随机抽样方法选出5人，男性为2 人，女性为3人，… ……13分 再在这5人中选出3人，3人至少有1位男性的事件为A, 则P(A)=CC+C3C=9 C Γ10 …15分 【MN-X·数学（二）参考答案第2页（共4页）】 17.(1)证明：因为AB⊥BP,又正方形ABCD中，AB⊥BC,BP∩BC=B,BP,BCC平面BCCB1, 所以AB⊥平面BCCB,… …1分 因为BB1C平面BCCB,所以AB⊥BB1,…2分 因为四棱柱中，AA1∥BB1,所以AA1⊥AB,…3分 因为AA1⊥BC,AB∩BC=B,AB,BCC平面ABCD,所以AA1⊥平面ABCD.…5分 (2)解：由(1)知四棱柱ABCD-A1B1CD1是正四棱柱，以D为原点，DA,DC,DD分别为c,y, 之轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A1,000,E(10,了)，B1,1,0)A1,03),D(0,03,B11.1,3),设P(0,10, Ad=(-1.0,3),A3=(01,0.-(-1,11-子） …8分 因为EP⊥AD,所以E2.AD=1+31-7=0,=2,… …9分 A2=(-1,l,2),设平面PAB的法向量为n=(a,b,c), 因为n·AB=0,n·AP-0,所以b=0,-a+b+2c=0, 取c=1得n=(2,0,1). 1分 因为DB=(1,1,0),E2.DB=-1+1=0,所以EP⊥DB1, 又EP⊥AD1,AD1∩DB1=D,AD,DB1C平面ABD1,所以EP⊥平面ABD, E币=(-1,1，一号)是平面ABD的-个法向量，… 13分 设平面PAB与平面AB1D的夹角为a, 则cosa n.EP 795 。。。。。。。。。。。。。 95 …15分 18.解：()设C的半焦距为c,离心率e=台=22=+2，所以a=2c,=32.…2分 a 又点A(1,号)在C上，所以十2=1，所以=1， 3分 所以a=2,b=/3,C的方程是号十，………4分 (2(1)设斜率为2的直线1的方程是y=2x十1 由A1,号)不在1上，知号+≠号所以1≠1， 5分 y=2x+, 联立 消去y化简得x2十tx十t2-3=0. 则判别式△=-4（一3）>0，解得-2<1<2，所以t∈(-2,1)U(1,2). 7分 设点B(x1,),D(x2,2),则由韦达定理得x1十x2=一t,x1x2=2一3.…8分 所以由弦长公式，得 1BD1-√1+（合）1a--号a+-4w-号--4-3D-号2-.· …10分 因为t∈（-2,1)U(1,2),所以0≤<4，所以0<12-3≤12， 所以0<V2-证<2，所以0<号2-≤压. 所以弦长BD的取值范围是(0，√/15].…。 …11分 （i)由(i)B(y),D(x2,), 直线AB的方程为y= 亭一1D十受直线AB的方程与=4联立，解得M(,2西若》 ,…12分 【MN-X·数学（二）参考答案第3页（共4页）】 为、3 直线AD的方程为y=子(：一1D+号，直线AD的方程与x=4联立，解得N(4,35必2). 2 …13分 2x22 所以MN的中点T的坐标为(4,3十6y12+3士6一12)，…14分 4x1-4 4x2-4 因为直线BD的方程为y=号x十，B(m),D),十n=-,=-3, 所以3西+6y12+32十62-12-6u+6-12+6题+61-12 4x1一4 4.x2-4 4x1-4 4x2-4 =31+31-6)(w-1)+(32+31-6)(-1D_60十(31-9)(0+)+12-6 2(x1-1)(x2-1) 2(x1x2一x01-x2+1) 6u3》1319》12-=3二2=名m 2(t2-3+1+1) 2(t2+1-2) …16分 所以MN的中点是定点(4,2)， …17分 19.解：(1)a=0时，f(x)=e2十e2,f(x)=2e2z十e2,…1分 f(0)=3,f(0)=2,…2分 所以曲线y=∫(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y一2=3x,即3x一y十2=0.…3分 (2)f(x)的定义域为R,f'(x)=2e2+(2a十1)e2十a=(e十a)(2e2十1)，…4分 当a≥0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值；…5分 当a<0时，f(ln(一a)=0,x>ln(-a)时，f(x)>0:x<n(一a)时，f(x)<0,f(x)的单调递增区间为(ln(-a), 十o∞)，单调递减区间为（一0∞，n(一a)）.…6分 所以a<0时，f(x)取得极小值f(n(-a)=a-a(2a十1)十aln(-a)=-a2-a十aln(-a),f(x)没有极大值， …7分 因为f(x)存在小于0的极值，所以a2-a十aln(-a)<0,所以-a-1十ln(一a)>0,…8分 令g(x)=x一1十lnx,显然g(x)在(0，十∞)上单调递增，……9分 因为g(1)=0,所以g(x)>0时，x>1,所以-a>1,a<-1.即a的取值范围是(-∞，-1).…10分 (3)由(2)知n(-a)=-h2,所以a=-合 fx)的极值为f(ln(-a)=-a2-a+aln(-a)=1+2n2,b=1+2h2 4 所以a.=a=2 11分 所以S=2+十+ 2 …13分 所以S=号+表. …15分 当n为奇数时，S<0,当0为何数时，设=kS=一号+敛号是正整数， 号+是-2- 9×22 9X224-1, 记c4=3k+1-22,则c+1=3k+4-2+2,+1-c4=3(1-2*)<0, 所以G+1<ck,又c1=0,所以c%≤0，k=1时，取等号， 所以当n为偶数时，Sn≤0，n=2时，取等号， 因为672如1>0，所以8<合 …17分 【MN一X·数学（二）参考答案第4页（共4页）】