精品解析：福建厦门市松柏中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考试题

松柏中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考试题 2026.04.27 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 如下四个散点图中，正相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据散点图中点的分布情况，判断是否具有相关性和正负相关关系. 【详解】对于A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关； 对于B，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关； 对于C、D，散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系； 故选：A. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关正负相关的判断问题，解题方法如下： （1）观察图中散点图是不是成带状区域； （2）判断其从左往右上升正相关，下降负相关. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.22 C. 0.28 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】利用正态密度曲线的对称性可求得的值 因为随机变量，且， 则， 所以. 故选：A. 4. 在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件，通过分类求解即可. 【详解】若发出2种光，则有种；若发出3种光，则有种， 则共有种. 故选：C 5. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C 6. 某中学通过随机询问的方式调查该校100名高中生爱好打篮球的情况，得到如下列联表．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（ ） （其中，，） 打篮球 性别 男 女 爱好 40 20 不爱好 10 30 A. 爱好打篮球和性别有关 B. 爱好打篮球和性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C. 爱好打篮球和性别无关 D. 爱好打篮球和性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出卡方，再根据独立性检验思想判断即可； 【详解】解：根据列联表可得，因为，根据小概率值的独立性检验，爱好打篮球和性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001， 故选：B 7. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 8. 已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案. 【详解】不等式对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得，即，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；； A. 这次考试等级分的标准差为5 B. 这次考试等级分超过80分的约有45人 C. 这次考试等级分在内的人数约为48人 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可. 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，因，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误； 对于C，因, 故这次考试等级分在内的人数约为人，故C正确； 对于D，因 , 故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 有1个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有2条 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出导函数，利用极值点的性质求得，然后求出的单调区间，结合单调性及极值的符号，根据零点存在定理判断零点个数判断A；先判断，再根据单调性判断B；由判断曲线的对称性判断C；设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程化简得，进而求出切点坐标，即可判断切线条数判断D. 【详解】由得，则， 解得，则，当时，， 当时，，所以在，上单调递增， 在上单调递减，所以的极小值为，极大值为， 满足是函数的极值点， 又，由零点存在定理得有1个零点，A正确； 由，得，，所以，又在上单调递增，所以，故B错误； 因为 ，所以曲线关于点对称，C正确； 设过点的直线与曲线相切于点， 所以切线方程， 将点代入切线方程为， 整理得，即，解得，或， 过点的直线与曲线相切于点或， 因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 13. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________． 【答案】100 【解析】 【分析】先分组后排列，分组时有均分组则需要消序，排列时有特殊元素则需要优先排. 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1， 此时分组方法有：； 然后将这三组同学分配给三门劳动教育校本课程，由于甲不能参加课程， 此时分配方法有：； 由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为， 故答案为：. 14. 设为两个随机事件，已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】条件概率公式计算即可得. 【详解】根据条件概率公式 ，代入已知， 得：. 由条件概率公式 ，变形得， 代入， 得：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. （1）一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； （2）若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. 【小问2详解】 根据贝叶斯公式，可得： . 16. 共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期（天） 1 2 3 4 5 用户（人） 13 22 45 55 68 模型①的残差值 模型②的残差值 （1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； （2）求出（1）中所选模型的回归方程． （参考公式：，，参考数据：，） 【答案】（1）应该选择模型①，理由如下： 模型①的残差值的绝对值之和为， 模型②的残差值的绝对值之和为， ∵，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①． （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算模型①和模型②的残差值的绝对值之和，比较大小即可做出判断； （2）先求出，再由参考数据和参考公式求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知：，，，． ∴， ．∴y关于x的回归方程为． 17. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）的分布列如下， 0 1 2 期望为 （2）万元 【解析】 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； 【小问2详解】 设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 18. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值． 【答案】（1） 因为底面，底面，所以， 又底面为矩形，所以， 又平面，平面，且， 所以平面，又平面，所以， 又，为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面，又平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明出平面，进而根据线面垂直的性质推断出，然后根据线面垂直的判定定理，证明出平面，所以； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面的法向量，再结合线面角的向量求法，即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，由（2）所建的直角坐标系，得，因为点是平面与四棱锥的棱的交点，所以，即可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得, 所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，解得，即平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则 【小问3详解】 因为平面与四棱锥的棱交于点， 设，则， 设，则，则， 所以，所以， 由（2）得，平面的法向量为， 所以，即，解得， 所以的值为. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； （3）若有两个零点，且，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） 由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）问题化为且，利用导数研究的性质，并结合分类讨论判断不等式恒成立，即可得参数范围； （3）由题设，应用分析法将问题化为证明，令，进一步化为证明，利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松柏中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考试题 2026.04.27 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 如下四个散点图中，正相关的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.22 C. 0.28 D. 0.36 4. 在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 5. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 6. 某中学通过随机询问的方式调查该校100名高中生爱好打篮球的情况，得到如下列联表．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（ ） （其中，，） 打篮球 性别 男 女 爱好 40 20 不爱好 10 30 A. 爱好打篮球和性别有关 B. 爱好打篮球和性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C. 爱好打篮球和性别无关 D. 爱好打篮球和性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 7. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；； A. 这次考试等级分的标准差为5 B. 这次考试等级分超过80分的约有45人 C. 这次考试等级分在内的人数约为48人 D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 有1个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有2条 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 13. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________． 14. 设为两个随机事件，已知，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. （1）一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； （2）若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 16. 共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期（天） 1 2 3 4 5 用户（人） 13 22 45 55 68 模型①的残差值 模型②的残差值 （1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； （2）求出（1）中所选模型的回归方程． （参考公式：，，参考数据：，） 17. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 18. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； （3）若有两个零点，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $