2026年数学中考复习 二次函数选择压轴题专练

**基本信息** 15道二次函数选择压轴题，聚焦图像性质、新定义、几何综合等核心考点，通过梯度设计提升解题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15道|二次函数图像与性质、交点问题、新定义（反量点/叠梦点）、最值、几何综合|新定义情境创设，几何与函数结合，梯度适配压轴题训练|

二次函数选择压轴题专练 1．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．我们约定：在平面直角坐标系中，存在横、纵坐标互为相反数的点为“反量点”，顶点是“反量点”的二次函数为“反量函数”，若“反量函数”y＝x2﹣2x+c与正方形ABCD的边有公共点，其中点A（t，0），B（t+3，0），C，D两点在x轴上方，则t的取值范围为（　　） A．﹣1≤t≤3 B．﹣4≤t≤6 C．﹣4≤t≤3 D．﹣1≤t≤6 3．对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 4．小明同学在学习了二次函数时了解到可以用几何画板软件方便地画出函数图象，进而根据图象探索函数的性质．于是他运用几何画板画出了函数的图象如图所示，观察发现，该函数图象关于原点中心对称．若对于时，方程所有的整数解的平方和是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线（a，b，c为常数，且）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为；②在对称轴左侧，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线；④当时，x的取值范围是．其中，正确的结论有（   ） x … 0 1 … y … 4 0 0 … A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 6．如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A 在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（   ） A．无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B．无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C．当时， D．当时， 7．已知当时，二次函数的图象与正比例函数的图象有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 9．定义：在平面直角坐标系中，我们将抛物线的顶点沿对称轴向它的开口方向平移个单位得到点，则点为抛物线的焦点；将其顶点沿对称轴向它的开口方向的反方向平移个单位得到点，再过点作抛物线对称轴的垂线，则直线为抛物线的准线．例如，抛物线的焦点为，准线为；抛物线的焦点为，准线为．抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等． 有下列结论： ①以抛物线上任意一点为圆心且经过其焦点的圆与准线相切； ②抛物线的焦点为，准线为直线； ③若抛物线的焦点和准线间的距离为2，则； ④已知点为抛物线上一点，点，连接，过作轴，垂足为点，则的最小值为1其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①③④ 10．定义：点P与图形G上各点所连线段中，最短的线段的长度称为点P到图形G的距离．有下列结论：①是以为圆心，半径为1的圆，则在y轴上到的距离为1的点有2个；②若点B到函数图象的距离为1，则所有符合要求的点B都在函数或的图象上；③若点C在函数的图象上，则点C到函数图象的距离的最小值为；④已知，点D到函数的图象距离的最小值为，则a的值为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 12．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，结合图像分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图像经过点A，则点在第三象限；⑤点M是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 14．如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．抛物线的图象经过，，若将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后，与直线只有一个交点，则的值为（   ） A．3 B．13 C． D． 个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数选择压轴题专练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B D A D B A 题号 11 12 13 14 15 1．D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 2．C 【分析】由“反量函数”的定义求出二次函数书解析式，由正方形坐标，可以计算出正方形边长，由题意可画出图像，计算出“反量函数”y＝x2﹣2x+c与正方形ABCD的边有公共点时，公共点的坐标，即可求解． 【详解】y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2﹣1+c， 顶点坐标为（1，c﹣1）， ∵二次函数y＝x2﹣2x+c是“反量函数”， ∴c﹣1＝﹣1， ∴c＝0， ∴二次函数为y＝x2﹣2x， ∵四边形ABCD是正方形，且A（t，0），B（t+3，0）， ∴AB＝AD＝3， ∵y＝x2﹣2x+c与正方形ABCD的边有公共点， 如图所示： 令y＝3，则x2﹣2x＝3， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∴A（3，0），B′（﹣1，0），A′（﹣4，0）， ∴﹣4≤t≤3， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，二次函数顶点的公式，正方形的性质，掌握二次函数的图像和性质并依据题意画出示意图是解题关键． 3．A 【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题． 【详解】解：令， 如图所示，则的值为函数较大的值， ∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值． 联立方程     解得 ∴时，解得，， 当时，解得： ∴当时，或 故选：A 【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的图象的应用，由题意得，即得，由函数图象可得，当时，整数，，，即可得方程的整数解为，，进而即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可得，当时，整数，，， 又由方程知， ∴方程的整数解为，， ∴方程所有的整数解的平方和为， 故选：． 5．B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质． 根据表中数据可知，当时，，即可判断①；根据时，，即可求对称轴，从而判断③，根据表格数据观察当，的变化情况，可判断②；根据增减性得出抛物线函数开口方向，结合与轴的交点即可判断④． 【详解】解：根据表格可知，当时，， ∴抛物线与轴的一个交点为，故①错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线，所以③正确； 根据表格当时，随的增大而减小，故②正确； 当时，随的增大而增大，故抛物线开口向上，， 而时，，时，， ∴当时，的取值范围是或，故④错误； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式变形为即可得出该抛物线恒过点，即点，即可判断A；由抛物线的对称轴公式即可判断B；当时，，即点，再根据抛物线对称轴公式计算即可判断C；当时，此时，代入抛物线解析式计算即可判断D；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线恒过点，即点，故A正确，不符合题意； 根据题意可知，对称轴为， 若，则对称轴为轴；若，则对称轴在轴右侧，故B正确，不符合题意； 当时，，故抛物线与轴的交点为， ∴， 当时，，即点， 又∵该抛物线恒过点， ∴对称轴为， 根据对称轴公式得， ∴， 解得，故C正确，不符合题意； 当时，此时， 将点代入抛物线的解析式中得， 解得，故D不正确，符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查两个函数有交点的问题，利用判别式判断根的情况，求根公式，解不等式；两个函数有交点即方程 在 内有实数解，整理得 ，需满足判别式非负且至少一个根在范围内，结合根的位置条件可得的范围． 【详解】解：∵ 两函数有交点， ∴ 方程 在内有解， 整理得 ， 设 ， 判别式 ， ∴ ， 根为 ，， 若 ，则 ，即，解得； 若 ，则 ，即，解得； ∴ ， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 9．B 【分析】根据题意抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等，可判断①正确；根据题目中焦点和准线的定义，进行计算，可判断②正确；根据焦点和准线间的距离为2，可得，进而可求得，可判断③错误；根据抛物线可得点Q在抛物线上，根据题意可得P点和Q点到焦点F的距离与其到准线的距离相等，由于F点和Q点是定点，P点是动点，结合图像可得当P点与Q点重合时，的值最小，最小值为的长，此时的值最小，最小值为的长，即最小值为1，由此可得④正确． 本题为阅读类题，解题的关键是弄清材料中各定义的含义，然后结合二次函数的知识进行求解． 【详解】解：由题意知：抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等， ∴以抛物线上任意一点为圆心且经过其焦点的圆与准线相切． 故结论①正确； ∵抛物线的，顶点坐标为， ∴， 将向下平移个单位得， ∴抛物线的焦点为， 将向上平移个单位得， ∴准线为直线． 故结论②正确； 由题意得抛物线的焦点和准线间的距离为， 若抛物线的焦点和准线间的距离为2， 则， 解得． 故结论③错误； 由得顶点为，对称轴为，交点为，准线为， 当时，， ∴点在抛物线上， ∵P点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时的值最小， ∵， ∴当P点与Q点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵点在抛物线上， ∴， ∴的最小值． 故结论④正确； 故选：B 10．A 【分析】本题主要考查了点到图形的距离的这一定义的理解，涉及点到圆的距离的定义及计算，两一次函数图象间的距离，一次函数图像上的点与二次函数图像的距离的定义，理解定义，数形结合是正确解答此题的关键． 根据点到图形的距离的这一定义的理解，可得在y轴上到的距离为1的点有；共3个点；可判断①；求得点B到函数图象的距离为1时，直线为，直线为，可判断②错误；结合图像，求得点C在函数的图象上，点C到函数图象的距离的最小距离为，可得③正确；分抛物线开口向上、向下两种情况分别求解即可判断④，本题得解． 【详解】解：①是以为圆心，半径为1的圆， 与轴的两个交点坐标分别为，， 在y轴上到的距离为1的点有； 共3个点；错误； ②B到函数图象的距离为1，如图所示： 当时，， ， 当时，， ， ， ， 与轴的相交形成角， 同理可得， ， ， 且为等腰直角三角形，， ， ， ， 直线为，直线为，错误； ③利用对称性和几何性质，如图所示，两个反比例函数的图象与直线相交于点，，此时最小； 解方程，得（取正）， ， 解方程， 得 （取负）， ， ， 最小距离为，正确； ④函数， 其图象的对称轴为． 点， 设，， 由得， 则， 所以点D在直线上． 设直线上一点到抛物线的最小距离为， 如图所示： 直线为，直线为，且， 对于直线， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， 将代入，     ， ， ， 当时，抛物线开口向下， 联立与， 得 ， 即， 因为相切，所以， 整理得， 解得或， 当时，抛物线开口向上，如图所示： 直线到抛物线的最小距离为0． 综上所述，点D到函数的图象距离的最小值为时， a的值为或． 结论④不正确． 综上，正确结论的个数是1个． 11．B 【分析】本题考查“叠梦点”的新定义，函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“叠梦二次函数”的解析式为，确定，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】解：设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点， ， 解得：， ∵这个“叠梦二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ， ， ， ∴点在直线上运动， 设直线与“叠梦二次函数”交于点， 当时，， ， 二次函数的顶点为， ， ∴当点的坐标为时，此时点与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即；当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即； ∴当线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 故选：B． 12．C 【分析】①根据二次函数图象与系数的符号判断即可；②根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式可得；③当时，随的增大而增大；④由直线经过点A可得k与b的数量关系，进行判断．⑤设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出，进而根据求出． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ，故①正确； 抛物线与x轴交于点，对称轴是直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即， 将代入，得， ，故②错误； 观察图象可知，当时，随的增大而增大， 故③错误； ∵一次函数的图像经过点A， 将代入得， 解得， ∵， ∴， ∴点在第三象限，故④正确； 抛物线经过，， 设抛物线的解析式为， ，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点．   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确， 故正确的有，共3个． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 13．D 【分析】主要是要是通过相似三角形边的对应关系，构造所求的式子，并对结果找到限制条件即可 【详解】 由0＜2a＜b，得x0=﹣＜﹣1， 由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1， 则AA1=yA，OA1=1， 连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1， 过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）， 则∠FAA1=∠CBD， 于是Rt△AFA1∽Rt△BCD， 所以=，即=， 过点E作EG⊥AA1于点G， 易得△AEG∽△BCD． 有=，即=， ∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上， 得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c， ∴==1﹣x1， 化简，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去）， ∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1， 则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3， ∴≥3， ∴的最小值为3． 故选D. 14．C 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 15．B 【分析】根据原抛物线与x轴的交点坐标可用含s的式子表示出b、c，进而可求出原抛物线的顶点的坐标，根据平移方式可得平移后的抛物线的解析式和顶点坐标，根据平移后的抛物线的图象开口向下可推出平移后的抛物线的顶点在直线上，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线的图象经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为； 将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后的抛物线解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的图象开口向下， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $