江苏南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷

南京外国语学校2025一2026学年度第二学期期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 1.设c,y∈R,向量d=(x,1,1),=(1,y,1),c=(2,-4,2)且d⊥，∥c,则a+=() A.2W2 B.3 C.√1o D.4 2(2x一是尸的展开式中是项的系数是() A.672 B.-420 C.84 D.-560 3.某市物价部门对某商品在5家商场的售价x(元)及其一天的销售量y(件)进行调查，得到五对数 据(c,y)(i=1,2,3,4,5),经过分析、计算，得元=10，=8，c,y之间的经验回归方程是：9= -3.2x+a,则相应于点(9.5,10)的残差为（） A.0.4 B.1.5 C.8 D.9.6 4.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三 人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”。 从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为() A.4 B.6 C.8 D.12 5.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m,n.设平面向量d=(4,2),6=(m,n),则向量， 不能作为平面内的一组基底的概率为（) A立 B c. D台 6.现有标有数字1,2,3,4，，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法 总数为m,则下列各式的展开式中x°的系数为m的选项是() A.(1+x)(1+2c)(1+3x..(1+10m） B.(1+x(1+x2)(1+x3)…(1+c0) C.(1+x)(1+x+x2)(1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x10) D.(1+x)2(1+x2)2(1+x3)2.…（1+x10)2 7.如图，正方体ABCD-ABCD1的棱长为1，则异面直线AA1与BD的距离为（) D C A B C - A B A.1 B号 C② D.√2 2 8.2026年秦准区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空 中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力.灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙 核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区.甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至 少有1人，每人只游览一个赏灯区.在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏 灯区的概率为() A音 B.3 4 c号 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若(2-3x)2024=a0十a1x+a22+…+a2m2024,则下列选项正确的有（） A.a0=22024 B.laol +la +la2l+...+a202=1 c受+受+号++器=（号m-2 D.a1+2a2+3ag+..+2023a203+2024a2024=6072 10.随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=号，P(AB)=号，则下列说法正确的是（） A.事件AB与AB互斥 B.事件A与B相互独立 C.P(A+B)=P(B) D.P(BA)=P(A) 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD1中，M,N分别为BC,CD的中点，P为正方形 ADDA1内的动点，则() D P N D C B M A.MN∥平面ABCD B.MN⊥AN C.二面角A-CN-M的余弦值为号 D.当直线PM与平面ADDA所成角的正切值为V5时，点P的轨迹的长度为W -π 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知随机变量满足~N(2,o2),P(E≤0)=0.2，P(≥a)=0.2,正实数x、y满足x+y=a, 则台+专的最小值为 13.甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑 球.采取掷骰子决定选盒，出现1,2或3点选甲盒，4,5点选乙盒，6点选丙盒.在选出的盒子中 随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是 14.正方体六个面上分别标有A,B,C,D,E,F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染 色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有种.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意 见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”.某学校为了解政策落实情况及其 对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布 表 每周活动总时长（单位：时） [0,7刀 [7,140 [14,21) [21,28) [28,35] 颜率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5.0及以上定为“视力良好”，低于5.0定为 “视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 活动时间未达标（低于14小时） 30 合计 100 (1)从活动时长在[0,7)和[28,35]的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人 中随机抽取2人，设X为抽取的2人中活动时长在[28,35]的人数，求X的概率分布列和数学期望 E(X): (2)依据α=0.05的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达 标”有关。 n(ad-bc)2 参考公式及数据：①2=a+bC十dac6十d,其中n=a+b+c+d ②P(x2≥6.635)≈0.01，P(x2≥5.024)≈0.025，P(x2≥3.841)≈0.05，P(x2≥2.706)≈0.1 16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平 面PAD⊥平面ABCD,E,F分别是AD,CD的中点. (1)证明：BD⊥PF (2)若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. B 17.(本小题满分15分)己知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五 名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累 计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的 胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分.己知每场单打比赛 中，甲队获胜的概率为号，乙队获胜的概奉为号；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为号，乙队获 胜的概率为号 (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量X,求X的概率分布列和数学期望(X)； (2)求出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率 (3)求甲队赢得最终胜利的概率 18.(本小题满分17分)马尔可夫链是概率论中的一种数学模型，用于描述一系列状态之间的转移概 率，在天气预报中具有重要的应用.在天气预报中，可以将天气状态分为多种，例如晴天、阴天、雨 天、雪天等，根据以往的天气状态数据，可以计算出每种状态之间的转移概率，即从一种状态转移到 另一种状态的概率，进而可以得到转移概率矩阵，在测评天气时，可以从当前的天气状态开始，根据 转移概率矩阵计算出下一个可能的天气状态，以此类推，就可以测评未来几天的天气情况.某城市准 备在冬季的某段时间举行一场大型户外活动，现需要用马尔可夫链模型来测评天气情况，从而决定 具体的举办日期，假设该城市冬季的天气只有三种状态：晴天、阴天、雨天.根据以往的天气状态数据 得到如下转移概率矩阵： 邻n关 如n+1天 哨天 阴天 丽天 呐天 15 14 阴天 15 15 雨天 15 (1)假设第1天是晴天的概率为 5, 求第2天是雨天的概率； 2)假设第1天是晴天的概率为号，求第4天是晴天的概率， (3)在马尔可夫链模型中，稳态分布为该模型可以演变到平衡状态的分布，当一个马尔可夫链处于稳 定状态时，变量的概率分布将趋近于稳定，并且与初始状态无关.在这个天气预报问题中，不论第1 天是晴天、阴天、雨天的概率分别是多少，第(n足够大)天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一 个常数，试证明该结论，并求出这三个常数， 19.(本小题满分17分)在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称 为信息熵、信源熵.若把信息定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X所有取值为1,2，.，(n ∈T）,P(X=)=p,则定义信息痛HX)=H.(pppJ=-∑p.logp,P,=1,l=1,2,n. (1)若n=2,求随机变量X的信息熵关于p的解析式： 2)若n=p=2,P+1=2p(k=2,3.n,求此时的信息熵： (3)设X和Y是两个独立的随机变量，求证：HXY)=H(X)+H(Y).