精品解析：甘肃永昌县第一高级中学2025-2026学年高三下学期强化考试数学

数学（三） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知椭圆的右顶点为，右焦点为，则点到直线的距离之积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若球的半径为2，圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则当圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，直线为图象的对称轴，，且在上单调，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（ ） A. B. 从高一年级中抽取的学生人数为30 C. 从高二年级中抽取的学生人数为27 D. 从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 10. 已知等差数列满足，则（ ） A. 数列的前项和 B. 成等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前200项和为100 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，有3个零点 C. 当时，只有1个零点 D. 当时，有2个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________. 13. 双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 14. 有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. （1）若，求的方程； （2）若，求过点的圆的标准方程. 17. 如图，在中，是的中点，是上的点，.将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，设是上靠近的三等分点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 甲､乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲､乙射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲､乙同时射击，且是否击中目标，互不影响. （1）甲､乙同时射击1次，求甲得1分的概率； （2）甲､乙同时射击2次，记甲的得分为，求的分布列和数学期望； （3）甲､乙同时射击次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲､乙两人击中目标的次数相等. 19. 设函数，，数列的各项都是正数． （1）讨论的单调性； （2）已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（三） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过解一元二次不等式，求出集合的取值范围，再根据集合中的元素，筛选出同时满足集合条件的元素，得到两个集合的交集即可. 【详解】由，解得 或 ， 所以或， 又因为， 所以. 2. 若复数，则复数在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因， 则其对应的点的坐标为，位于第二象限. 3. 已知椭圆的右顶点为，右焦点为，则点到直线的距离之积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由已知，右顶点为，右焦点为的坐标分别为， 点到直线的距离分别为 ， 所以. 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知函数在上单调递减，且， 所以，所以. 5. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量减法法则，计算出的坐标，再利用向量垂直的性质（两个向量垂直，则它们的数量积为0），列方程求出参数的值和的坐标，并计算的坐标，最后根据向量模长公式，求出的值即可. 【详解】由题知， 因为， 所以，解得 所以，则：， 所以. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，即， 所以，（负值舍去）， 所以. 7. 若球的半径为2，圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则当圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用球内接圆锥的几何关系建立底面半径与高的关系式，写出圆锥体积关于的函数，再通过求导分析单调性，找到体积取最大值时的，进而求出和母线长，最后用侧面积公式计算结果． 【详解】 设圆锥的底面半径为，高为，则， 所以，，圆锥体积，， 时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，取得最大值， 此时，， 则圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积为． 8. 已知函数，直线为图象的对称轴，，且在上单调，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由直线为图象的对称轴，得，是整数， 所以， 由在上单调，得. 因为，所以 当时，. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（ ） A. B. 从高一年级中抽取的学生人数为30 C. 从高二年级中抽取的学生人数为27 D. 从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 【答案】AB 【解析】 【详解】A选项，根据分层抽样，，解得，正确； B选项，从高一年级中抽取的学生人数为，正确； C选项，从高二年级中抽取的学生人数为，错误； D选项，从全校中任选一人，此人是高三学生的概率，错误． 10. 已知等差数列满足，则（ ） A. 数列的前项和 B. 成等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前200项和为100 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列性质求出，，，再逐一分析选项即可 【详解】设数列的公差为，则，解得，代入，所以错误； ，B正确； ，所以的前项和为，C正确； 数列的前200项和为，由等差数列定义可知，，前200项的和中有100组，每组结果为1，故数列的前200项和为100，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，有3个零点 C. 当时，只有1个零点 D. 当时，有2个零点 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，时，有1个零点，时，， 当时，时，时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为时，，所以时，没有零点，A错误； 对于B，当时，在时，有2个零点，B正确； 对于C，由得，时，时，， 令，则 对，且时，，所以在上单调递增， 在上单调递增，且时，， 所以只有1个零点，C正确； 对于D，当时，在上单调递增，时，无解； 时，的极小值为有1个零点，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，又， 所以切线方程为，即. 13. 双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式列式求得，求得双曲线的标准方程，将直线与双曲线方程联立，结合弦长公式求得答案. 【详解】设，渐近线的方程为， 则到的距离，到的距离， 所以，又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 由，得， 设，则， ，所以， 所以. 14. 有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________. 【答案】108 【解析】 【详解】当两男生在两端时，坐法有种，当两女生在两端时，坐法有种， 当一男生一女生在两端时， 先选出这两人有种选法，两端的男女生可以交换位置，有种坐法， 再考虑中间四个位置的坐法,若挨着男生的是另一名女生，此时中间另3个位置有种坐法， 若挨着男生的是机器人，此时中间另3个位置有种坐法， 故当一男生一女生在两端时坐法有种， 所以不同坐法总数为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并根据余弦定理求得，从而得到； （2）由已知条件求出，再根据三角形面积公式求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ，所以， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得， 所以. 16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. （1）若，求的方程； （2）若，求过点的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的方程，设的方程，代入，写出韦达定理，利用抛物线的定义，结合题设条件求得，即得的方程； （2）先求出，将点的坐标代入推得，由（1）的结论求得，结合，利用待定系数法即可求得圆的标准方程. 【小问1详解】 因为的焦点为，所以，解得， 故的方程为， 设的方程为，将其代入，消去整理得， 设，则 ， 因为，所以， 由，得， 所以的方程为，即. 【小问2详解】 对于，令，得点， 则，故得， 由（1）知，所以，， 因为，所以，从而，则， 因为点在轴上方，所以，进而可得， 设过三点的圆的方程为，又， 则得 解得， 所以过三点的圆的方程为. 17. 如图，在中，是的中点，是上的点，.将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，设是上靠近的三等分点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 如图，在中，取中点，连接， 因为，所以， 又，所以是的中点， 因为是的中点，所以， 且， 因为是上靠近的三等分点，所以，所以， 由，平面，平面知平面， 由，平面，平面知平面， 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，作，垂足为， 在中，由是中点，， 可得， 将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为， 则， 所以是二面角的平面角，，所以， 因为平面，所以平面，又平面， 所以平面平面，所以平面， 如图，以为原点，过平行于的直线为轴，分别为轴和轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， ，，，， 设平面的法向量为， 因为，，所以，， 取得． 同样可求得平面的一个法向量， 设平面与平面所成二面角为， 则，故． 18. 甲､乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲､乙射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲､乙同时射击，且是否击中目标，互不影响. （1）甲､乙同时射击1次，求甲得1分的概率； （2）甲､乙同时射击2次，记甲的得分为，求的分布列和数学期望； （3）甲､乙同时射击次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲､乙两人击中目标的次数相等. 【答案】（1）0.74 （2） 0 1 2 3 4 0.0064 0.1184 0.5764 0.2664 0.0324 . （3）证明如下： 设次射击中，甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为， 因为甲､乙射击比赛得分规则是：击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分， 所以甲击中目标次，甲得分，乙得分；乙击中目标次，甲得分，乙得分， 所以甲､乙同时射击次，甲的总得分为，乙的总得分为， 因为甲的总得分与乙的总得分相等，所以，所以，即两人击中目标的次数相等. 【解析】 【分析】（1）由概率加法公式和乘法公式进行求解； （2）甲､乙同时射击2次，甲的得分的可能取值为，结合甲、乙击中次数服从二项分布进行求解； （3）设次射击中，甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为，则甲､乙同时射击次，甲的总得分为，乙的总得分为，进行求解． 【小问1详解】 根据得分规则甲､乙同时射击1次，甲得1分的情况是甲､乙都击中目标或甲､乙都未击中目标， 所以甲得1分的概率. 【小问2详解】 甲､乙同时射击2次，甲的得分的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 0.0064 0.1184 0.5764 0.2664 0.0324 . 【小问3详解】 略 19. 设函数，，数列的各项都是正数． （1）讨论的单调性； （2）已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求导并因式分解得到导数零点，再根据与的大小关系分类讨论，确定函数单调区间。 （2）（i）由确定极小值点，推出递推关系，结合首项求等比数列通项； （ii） 按​范围分类验证，排除矛盾情况，结合等比数列性质得出​的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为， ， ，其中， 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，所以的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 （i）因为，所以， 所以由（1）知是的极小值点，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． （ii）当时，， 由（1）知是的极小值点，所以，即， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，，由（1）知的极小值点， 因为是等比数列，所以公比，所以. 令，则， 当时，，， 因为， 所以时，，，， 又，，所以，， 时，， 故当时，对任意均有，由（1）知是的极小值点，这与的递推关系一致， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $